弹性力学27圣维南原理28按位移求解平面问题课件

1、预习：预习：2-9,2-10,3-1,3-2作业：作业：2.82-7 2-7 圣维南原理圣维南原理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本方个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。条件无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力静力等效力系等

2、效力系。)(iOOFmMiFR 2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布不，变换为分布不同但同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有显著的应力分布将有显著改变，而改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP 小部分边界（次要边界）；小部分边界（次要边界）； 静力等效；静力等效； 影响范围限于近处，远处不受影响；影响范围限于近处，远处不受影响； 3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力

3、等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1) 必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2) 只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界 如果物体的一小部分边界上的面力是一个平衡力如果物体的一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例子：例子：书上的。书上的。例例图示矩形截面水坝

4、，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。边界条件。yyx例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。边界条件。左侧面：左侧面：yhxx右侧面：右侧面：00hxxyhxx上端面：上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：d

5、xyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！0 hxxy例例图示竖柱，试写出其边界条件。图示竖柱，试写出其边界条件。yxy例例图示竖柱，试写出其边界条件。图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：0, 1mlqY 0X2hxqsxysx)(0)(右侧面：右侧面：0, 1mlqY0X2hx0)(sxqsxy)(上侧面：上侧面：0y220)(hhyydx220)(hhyxydxyxy00220)(hhyyxdxqlh次要边界，可用圣维南次要边界，可用圣维南原理列写边界条件：原理列写边界条件：y方向力等效；方向力等效；x方向力等效；方向力等效；力矩等效。力矩

6、等效。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss, 2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本

7、未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量应力分量 ；再由几何方程、物理方程求出形变再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量位移分量 和部分和部分应力分量应力分量 为基本未知函数，并求为基本未知函数，并求出这些未知量出这些未知量，再求出

8、其余未知量。再求出其余未知量。3. 按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-16）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-18） 用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条

9、件：位移边界条件：vvuuss,应力边界条件：应力边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）（2-17） 用位移表示的应力边界条件用位移表示的应力边界条件（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,（2-17）应力边界条件：应力边界条件：YyuxvlxuyvmEXx