第六章相关与回归分析

1、1.函数关系函数关系当一个或几个变量取一定的值当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。定性的函数关系。 函数关系的例子函数关系的例子某种商品的销售额某种商品的销售额(y)与销售量与销售量(x)之间的关之间的关系可表示为系可表示为 y = p x (p 为单价为单价)圆的面积圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为与半径之间的关系可表示为S = r2 企业的原材料消耗额企业的原材料消耗额(y)与产量与产量(x1) 、单位产、单位产量消耗量消耗(x2) 、原材料价格、原材料价格(x3)之间的关系

2、可之间的关系可表示为表示为y = x1 x2 x3 相关关系的例子相关关系的例子商品的消费量商品的消费量(y)与居民收入与居民收入(x)之间的关系之间的关系商品的消费量商品的消费量(y)与物价与物价(x)之间的关系之间的关系商品销售额商品销售额(y)与广告费支出与广告费支出(x)之间的关系之间的关系粮食亩产量粮食亩产量(y)与施肥量与施肥量(x1) 、降雨量、降雨量(x2) 、温度温度(x3)之间的关系之间的关系收入水平收入水平(y)与受教育程度与受教育程度(x)之间的关系之间的关系父亲身高父亲身高(y)与子女身高与子女身高(x)之间的关系之间的关系) 1 ()2() 3()4(）为非线性相关

3、。）、（）为线性相关，（）、（图中（4321u3.按相关的方向划分可分为 正相关和负相关消费物价收入1.相关分析相关分析就是用一个指标来表明现象间相互就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。广义的相关依存关系的密切程度。广义的相关分析包括相关关系的分析（狭义的分析包括相关关系的分析（狭义的相关分析）和回归分析。相关分析）和回归分析。2.回归分析回归分析是指对具有相关关系的现象，根据是指对具有相关关系的现象，根据其相关关系的具体形态，选择一个其相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型（称为回归方程合适的数学模型（称为回归方程式），用来近似地表达变量间的平式），用来近似地表达变量间的平

4、均变化关系的一种统计分析方法。均变化关系的一种统计分析方法。一、一、相关关系的判断u定性分析：定性分析：u定量分析：定量分析：完 成 量 （ 小 时 ）20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50单 位 成 本 （ 元 /小 时 ）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14完成量（小时）20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50单位成本（元/小时）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14完 成 量 （ 小 时 ）

5、20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30单 位 成 本 （ 元 /小 时 ）16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15完成量（小时）20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40单位成本（元/小时）15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14完成量（小时）40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 80 80 80 80 80单位成本（元/小时）15 15 15 16 14 14 15 15 15 1

6、6 14 14 14 14 15广告费（万元）3033334056586572808090年销售收入（百万元）1212121314142022262630yxxyr222)()()(yyxxyyxxr yxnxyyyxx1)(222)(1)(xnxxx222)(1)(ynyyyyyLxxLxyLr )()(yxxynxyL2)(2xxnxxL2)(2yynyyLu例：下表是有关15个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。 yxxynLxy2261362664785115151937928663342362610676141522)(xxnLxx222613950391522)(yynLyy

7、81346481346428663341519379yyxxxyLLLr9950. 0yxnynxnxy22)()()(yyxxyyxxrnyyxxnyyxx/ )()(/)(22yxyxxynyynxxnyyxx2)(2)()(n 确定显著性水平确定显著性水平 ，并作出决策，并作出决策 若若tt，拒绝，拒绝H0 若若tt，拒绝，拒绝H0； t t=2.201，拒绝，拒绝H0，表明，表明人均收入人均收入与人均消费之间有线性关系与人均消费之间有线性关系对前例的回归系数进行显著性检验对前例的回归系数进行显著性检验( 0.05)051872. 0867789. 1111St418049. 88047

8、.39000StniiyxxxnSS122)()(10niiyxxSS12)(12. 点估计值点估计值3. 注意：在点估计条件下，平均值的点估计注意：在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的点估计是一样的，但在区间估计和个别值的点估计是一样的，但在区间估计中二者则不同。中二者则不同。1. 对于自变量对于自变量 x 的一个给定值的一个给定值x0 ，根据回，根据回归方程得到因变量归方程得到因变量 y 的一个估计值的一个估计值吨。即十吨6305.234)(6305.2344005301. 05905.22yniiyxxxxnSnty1220201)2(式中：式中：Sy为为估计标准误估计标准误差差0X

9、X220XXXXi220XXXXiXX0XXX00Y0e0YiiYXXXXnSntY22020112预测上限预测上限预测下限预测下限u下表是有关15个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。种食物需求量和人口增加量的关系。u分析步骤如下：l1、定性分析变量间是否有相关关系。l （说明略）l2、制作相关图或表，观察相关形态。l3、计算样本相关系数，说明样本资料相关程度。 yxxynLxy2261362664785115151937928663342362610676141522)(xxnLxx222613950391522)(yynLyy81346481346428663341519379yy

10、xxxyLLLr9950. 0种食物需求量和地区人口增加量种食物需求量和地区人口增加量yxxynLxy2261362664785115151937928663342362610676141522)(xxnLxx5301. 0286633415193791xxLxyL5905.2216362605301. 015226110 xy15nxxy5301. 05905.2210所以1 0 ， 1 1， ， p是参数是参数 是被称为误差项的随机变量是被称为误差项的随机变量 y 是是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项的线性函数加上误差项 说明了包含在说明了包含在y里面但不能被里面但不能被p个

11、自变量的线个自变量的线性关系所解释的变异性性关系所解释的变异性y1 = 0 0 1 1 x11 x12 px1p 1 1y2= 0 0 1 1 x21 x22 px2p yn= 0 0 1 1 xn1 xn2 pxnp n2. 根据最小二乘法的要求，可得求解根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数各回归参数 的标准方程如下的标准方程如下1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得达到最小来求得 。即。即2. 计算检验统计量计算检验统计量F3. 确定显著性水平确定显著性水平 和分子自由度和分子自由度p、分母自由度、分母自由度n-p-1找出临

12、界值找出临界值F 4. 作出决策：若作出决策：若F F ，拒绝，拒绝H0；若若FF ，接受，接受H03. 确定显著性水平确定显著性水平 ，并进行决策，并进行决策 tt，拒绝，拒绝H0； t t，接受，接受H02. 线性化方法线性化方法两端取对数得：两端取对数得：lny = ln + x令：令：y = lny，则有，则有y = ln + x1. 基本形式基本形式3. 图像图像2. 线性化方法线性化方法两端取对数得：两端取对数得：lg y = lg + lg x令：令：y = lgy，x= lg x，则则y = lg + x1. 基本形式：基本形式：3. 图像图像2. 线性化方法线性化方法令：令：y = 1/y，x= 1/x, 则有则有y = + x1