知识讲解-单调性与最大（小）值-基础

1、.单调性与最大小值 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目的】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性【要点梳理】要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念一般地，设函数fx的定义域为A，区间假如对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有fx1<fx2，那么就说fx在区间上是增函数；假如对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有fx1>fx2，那么就说fx在区间上是减函数.要点诠释：1属于定义域A内某个区间上；2任意两个自变量且；3都有；4图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图

2、象从左向右是下降的.2单调性与单调区间1单调区间的定义假如函数fx在区间上是增函数或减函数，那么就说函数fx在区间上具有单调性，称为函数fx的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描绘函数性质的；不能随意合并两个单调区间；有的函数不具有单调性.2解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？根本方法：观察图形或根据定义.3函数的最大小值一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满足：1对于任意的，都有或；2 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值或最小值.

3、要点诠释：最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；对于定义域内的任意元素，都有或，“任意两字不可省；使函数获得最值的自变量的值有时可能不止一个；函数在其定义域某个区间内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤1取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；2变形.作差变形变形方法：因式分解、配方、有理化等或作商变形；3定号.判断差的正负或商与1的大小关系；4得出结论.5.函数单调性的判断方法1定义法；2图象法；3对于复合函数，假设在区间上是单调函数，那么在区间或者上是单调函数；假设与单调性一样同时为增或同时为减，那么

4、为增函数；假设与单调性相反，那么为减函数要点二、根本初等函数的单调性 1正比例函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.2一次函数当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.3反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.4二次函数假设a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；假设a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数要点三、一些常见结论1假设是增函数，那么为减函数；假设是减函数，那么为增函数；2假设和均为增或减函数，那

5、么在和的公共定义域上为增或减函数；3假设且为增函数，那么函数为增函数，为减函数； 假设且为减函数，那么函数为减函数，为增函数.【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】例1.：函数1讨论的单调性.2试作出的图象.【思路点拨】此题考察对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.【解析】1设x1，x2是实数集上的任意实数，且x1<x2，那么当时，x1-x2<0，1<x1x2，故，即fx1-fx2<0x1<x2时有fx1<fx2上是增函数.当-1<x1<x2<0 x1-x2<0，0&l

6、t;x1x2<10<x1x2<1 故，即fx1-fx2>0x1<x2时有fx1>fx2上是减函数.同理：函数是减函数, 函数是增函数.2函数的图象如下【总结升华】1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？作差3如何判断一个式子的符号？对差适当变形举一反三：【变式1】 证明函数在上是增函数.【解析】此题考察对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，那么，即在上是增函数类型二、求函数的单调区间例2. 判断以下函数的单调区间；1y=x2-3|x|+2； 2【思路点拨】 对进展讨论

7、，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。【答案】1fx在上递减，在上递减，在上递增.2fx在上递增.【解析】1由图象对称性，画出草图fx在上递减，在上递减，在上递增.2图象为fx在上递增.举一反三：【变式1】求以下函数的单调区间：1y=|x+1|； 23 ；4y=|x2-2x-3|.【答案】1函数的减区间为，函数的增区间为-1，+；2上为减函数；3单调增区间为：-，0，单调减区间为0，+【解析】1画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为-1，+；2定义域为，其中u=2x-1为增函数，在-，0与0，+为减函数，那么上为减函数；3定义域为-，00，+，单调增区间为：-，0，单调减区间为0，+；【高

8、清课堂：函数的单调性 356705 例3】4先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如以下图所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是-，-1，1，3；单调增区间是-1，1，3，+.【总结升华】1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化Þ复合函数为增函数；内外层函数反向变化Þ复合函数为减函数.类型三、单调性的应用比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值例

9、3. 函数是定义域为的单调增函数1比较与的大小；2假设，务实数的取值范围【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再根据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。【答案】1；2或【解析】1因为，所以，由，是单调增函数，所以2因为是单调增函数，且，所以，解得或例4. 求以下函数的值域：1； 1x5，10； 2x-3，-2-2，1；2 ； 3 ； 4.【思路点拨】1可应用函数的单调性；2中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；3由单调性求值域，此题也可换元解决；4单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.【答案】11，2；2；3；4【解析】12个单位，再上移2个单位得到，如图1fx在5，10上单增，；2；2 ；3经观察知，；4令.举一反三：【变式1】当的定义域为以下区间时，求函数的最大值和最小值.10，3；2-1，1；33，+.【答案】1在区间0，3上，当时，；当时，.2在区间-1，1上，当时，；当时，.3在区间3，+上，当时，；在这个区间上无最大值.【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数