概率统计第3节二维正态分布课件

1、概率统计第3节二维正态分布1第三节第三节 概率统计第3节二维正态分布2定义定义 若二维随机向量若二维随机向量 ( X, Y ) 具有概率密度具有概率密度记作记作. ),(),(22212 1NYX则称则称( X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布. ,21211| , 0, 021 其中其中均为常数均为常数, 且且 ,2121),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx概率统计第3节二维正态分布3可以证明可以证明, 若若),(),(222121 NYX则则, ),(211 NX. ),(222 NY 这就是说这就是说, 二维正态

2、分布的两个边缘分布仍然二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布为正态分布, 而且其边缘分布不依赖于参数而且其边缘分布不依赖于参数 . 因因此可以断定参数此可以断定参数 描述了描述了X与与Y之间的某种关系之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布. .再次说明联合分布和边缘分布的关系再次说明联合分布和边缘分布的关系:概率统计第3节二维正态分布4解解例例1 1 设随机变量设随机变量 X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 8822exp),(22 yyxCyx 试求常数试求常数C 和各参数的值和各参

3、数的值 ),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx;41)2(4121exp),(22 yxCyx ,041, 241, 0222211 ，概率统计第3节二维正态分布5解解8822exp),(22 yyxCyx 试求常数试求常数 C 和各参数的值和各参数的值 ;41)2(4121exp),(22 yxCyx ,041, 241, 0222211 ，.2121221 C例例1 1 设随机变量设随机变量 X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 概率统计第3节二维正态分布6),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(

4、21e yyxx可以证明，可以证明，, ),(),(22212 1NYX若若则其中的参数则其中的参数 即为即为X、Y 的相关系数，证明略的相关系数，证明略. .若若 = 0，则有，则有)()(212122222121e21),( yxyxf,e21e21222221212)(22)(1 yx概率统计第3节二维正态分布7, )()(),(yfxfyxfYX 前面说明前面说明, 若若),(),(222121 NYX则则, ),(211 NX. ),(222 NY所以所以 = 0时，有时，有即若即若 X 与与 Y 不相关性不相关性，则，则 X 与与 Y 必独立必独立. . 所以所以在在正态分布正态分

5、布的场合的场合, ,独立性与不相关性是独立性与不相关性是等价等价的的. . 222221212)(22)(1e21e21),( yxyxf概率统计第3节二维正态分布8),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分别别服服从从正正态态分分布布与与已已知知相相互互独独立立，与与，知知由由YXXY0 例例2 2解解.),(, 0的的联联合合密密度度求求若若YXXY )()(),(yfxfyxfYX 的的联联合合密密度度为为所所以以),(YX22224232)1(e241e231 yx .e2413218)1(22yx 概率统计第3节二维正态分布9例例3 3解解由题意知由题意知, ,所以所以( (X, ,Y ) )的协方差矩阵为的协方差矩阵为)(YXD ,),(Cov2)(