第1章 1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、.§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理1通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理重点2正确地理解“完成一件事情的含义，能根据详细问题的特征，选择“分类或“分步易混点3能利用两个原理解决一些简单的实际问题难点根底·初探教材整理1分类加法计数原理阅读教材P3“例1以上部分，完成以下问题完成一件事，可以有n类方法，在第一类方法中有m1种方法，在第二类方法中有m2种方法，在第n类方法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N_种方法也称加法原理【答案】m1m2mn判断正确的打“，错误的打“×1在分类加法计数原理中，两类不

2、同方案中的方法可以一样2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事3从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班假设李先生从甲地去乙地，那么不同的交通方式共有7种4某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种【解析】1×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能一样的2在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事3由分类加法计数原理，从甲地去乙地共347种不同的交通方式4根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任

3、务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8614种【答案】1×234教材整理2分步乘法计数原理阅读教材P4，完成以下问题完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有N_种方法也称乘法原理【答案】m1×m2××mn判断正确的打“，错误的打“×1在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不一样的2在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事3x2,3,7，y3，4,8，那么x·y可表示不同的值的个数为9个

4、4在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种【解析】1因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不一样2×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成3因为x从集合2,3,7中任取一个值共有3个不同的值，y从集合3，4,8中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×39个不同的值4×因为每个工程中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况【答案】12×34×质疑·手记预习完成后，

5、请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型分类加法计数原理的应用1从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】1按所选组长来自不同班级为分类标准2按个位或十位取09不同的数字进展分类【自主解答】1分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种2法一按十位上的数字分别是1,

6、2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136个法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836个1应用分类加法计数原理解题的策略1标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法2不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏3方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事2利用分

7、类加法计数原理解题的一般思路再练一题11某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，那么购置方式共有A1种B2种C3种D4种2有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个假设从三个袋子中任取1个小球，有_种不同的取法. 【导学号：62690000】【解析】1分两类：买1本或买2本书，各类购置方式依次有2种、1种，故购置方式共有213种应选C.2有三类不同方案：第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取

8、1个小球都能独立地完成“任取1个小球这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有65415种【答案】1C215分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码各位上的数字允许重复?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组

9、成N10×10×10×1010 000个四位数的号码1应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可2利用分步乘法计数原理解题的一般思路1分步：将完成这件事的过程分成假设干步；2计数：求出每一步中的方法数；3结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果再练一题2张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购置国债人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购置国债那么可以从一年期、二年期和三年期中选择一种问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完

10、成理财目的应分步完成第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第二步，用另一部分钱购置国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式由分步乘法计数原理，得2×36种探究共研型两个计数原理的辨析探究1某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事指的是什么？假设配成“一荤一素是否“完成了这件事？【提示】“完成这件事是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成而只选出“一荤一素不能算“完成这件事探究2在探究1中，要“完成配成套餐这件事需分类，还是分步？为

11、什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能到达“一荤一素一汤的要求，即都不能完成“配成套餐这件事探究3在探究1中，假设要配成“一素一汤套餐，试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法故由加法计数原理，配成“一素

12、一汤的套餐共有3333315种不同的套餐利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法由分步乘法计数原理，配成“一素一汤的套餐共有5×315种不同套餐两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，那么不同的选

13、派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成即解答此题可“先分类，后分步【自主解答】第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×24种方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类加法计数原理，共有42118种选派方法1能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：1完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；2完成每

14、一步有假设干种方法；3把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数2利用分步乘法计数原理应注意：1要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；2“步与“步之间是连续的、不连续的、缺一不可的，但也不能重复、穿插；3假设完成某件事情需n步，那么必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成再练一题3一个袋子里有10张不同的中国挪动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡1某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？2某人手机是双卡双待机，想得到一张挪动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】1第一类：从第一个袋子取一张挪动卡，共有10种取

15、法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分类加法计数原理，共有101222种取法2第一步，从第一个袋子取一张挪动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法根据分步乘法计数原理，共有10×12120种取法构建·体系1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，假如一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法种数为A7B12C64D81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×312种不同配法应选B.【答案】B2从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交

16、通工具，假如一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为A1113B3429C3×4×224D以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法所以，共有3429种不同的走法【答案】B3从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，那么可产生不同的分数的个数是_，其中真分数的个数是_. 【导学号：62690001】【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×420个分数产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有432110个真分数【答案】20104十字路口来往的车辆，假如不允许回头，不同的行车道路有_条【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的道路有4×312条【答案】125某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息1假设小明爸爸任选一个凳子坐下小明不坐，有几种坐法