第1章 4 简单计数问题

1、.§4简单计数问题1进一步理解计数原理和排列、组合的概念重点2可以运用原理和公式解决简单的计数问题难点根底·初探教材整理简单计数问题阅读教材P18P21，完成以下问题1计数问题的根本解法1直接法：以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_又称元素分析法或以_为考察对象，先满足_的要求，再考虑_又称位置分析法2间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数【答案】1元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2解决计数问题应遵循的原那么先_后一般，先_后排列，先_后分步，充分考虑元素的特殊性，进展合理的分类与分步【答案】特殊组合分类5个不同的球放入4个不同的

2、盒子中，每个盒子至少一个球，假设甲球必须放入A盒，那么不同放法总数是A120B72C60D36【解析】分两类：第一类，A盒只有甲球，那么余下4个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共有CA种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，那么有A种排法由分类加法计数原理，得共有放法总数CAA60种【答案】C质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型排列问题某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，

3、丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A504种B960种C1 008种D1 108种【精彩点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工【自主解答】1假设甲、乙安排在开场两天，那么丁有4种选择，共有安排方案ACA192种；2假设甲、乙安排在最后两天，那么丙有4种选择，共有ACA192种；3假设甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，假设丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×ACA192种；假设丙安排在中间5天的其他3天，那么丁有3种安排法，共有4×ACCA432种所以共有1921921924321 008种【答案】C1本小题用到分类讨论

4、的方法，按照特殊元素甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置进展讨论2较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法再练一题1由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是 【导学号：62690018】A72B96C108D144【解析】第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有AA种；1,3,5均不相邻，有A种故总的排法为AAAA108种，应选C.【答案】C组合问题某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在以下各种情况中，各有多少种不同的选法？只列式不计算1正、副班长必须入选；2正、副班长只有1人入选；3正、

5、副班长都不入选；4正、副班长至多有1人入选；5班长以外的某3人不入选；6班长有1人入选，班长以外的某2人不入选【精彩点拨】这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素【自主解答】1先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人由分步乘法计数原理，得C·C种2先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人由分步乘法计数原理，得C·C种3因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共C·C种，即C种4只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C·CC·C种，或CC·C种5某3人可除外，故共有C·C种，即C种

6、6C·C·C种，即C·C种解答组合应用题的总体思路1整体分类，对事件进展整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理2局部分步，整体分类以后，对每一类进展局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理再练一题2将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不一样的分配方案共有A252种B112种C20种D56种【解析】不同的分配方案共有CCCCCCCC112种【答案】B探究

7、共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事指的是什么？【提示】共有C6个不同结果完成的“这件事是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事指的是什么？【提示】共有A210个不同结果这个问题属于排列问题完成的“这件事是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，

8、而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进展第一类：0在个位，那么百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，那么需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18种不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事共有ACCC30种不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合以下条件的选法数：1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定担任语文课代表；3某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；4某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表

9、【精彩点拨】1按选中女生的人数多少分类选取2采用先选后排的方法3先安排该男生，再选出其别人担任4科课代表4先安排语文课代表的女生，再安排“某男生课代表，最后选其别人担任余下三科的课代表【自主解答】1先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共CCCC·A5 400种2除去该女生后，先选后排，有C·A840种3先选后排，但先安排该男生，有C·C·A3 360种4先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原那么1

10、按事情发生的过程进展分步2按元素的性质进展分类解决时通常从以下三个途径考虑：1以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；2以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数再练一题3某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个，那么该外商不同的投资方案共有A16种B36种C42种D60种【解析】假设选择了两个城市，那么有CCA36种投资方案；假设选择了三个城市，那么有CA24种投资方案，因此共有362460种投资方案【答案】D构建·体系1某班级要从4名男生、2名

11、女生中选派4人参加某次社区效劳，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A14B24C28D48【解析】间接法：6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以致少有1名女生的选派方案有CC14种【答案】A2在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有A6个B9个C12个D18个【解析】由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有AA12个【答案】C36个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种用数字作答. 【导学号：62690019】【解析】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙

12、两人外的4人，有A种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A种方法，所以共有：A·A480.【答案】4804将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有_种用数字作答【解析】有C·C·A36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数【答案】365车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，如今要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法【解】法一：设A，B代表两名老师傅A，B都不在内的选派方法有：C·C5种；A，B都在内且当钳工的选派方法有：C·C·C10种；A，B都在内且当车工的选派方法有：C·C·C30种；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：C·A·C·C80种；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：C·C·C20种；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：C·C·C40种所以共有C·CC·C·CC·C