第1章 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法

1、.1.1不等式的根本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的根本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.理解实数大小与实数运算性质间的关系，掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质，可以运用不等式的性质比较大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法.根底·初探教材整理1不等式的性质1.对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：a>bab>0；a<bab<0；abab0.2.不等式的根本性质1对称性：a>bb<a.2传递性：a>b，b>ca>c.3加减：a>bac>bc.4乘

2、除：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.5乘方：a>b>0an>bn，其中n为正整数，且n2.6开方取算术根：a>b>0>，其中n为正整数，且n2.7可加性：a>b，c>dac>bd.8可乘性：a>b>0，c>d>0ac>bd.假设a，b是任意实数，且a>b，那么A.a2>b2B.<1C.lgab>0D.<【解析】a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立.又a>bab>0，但不能保证ab>1，

3、从而不能保证C成立.显然D成立.事实上，指数函数y是减函数，所以a>b<成立.【答案】D教材整理2一元一次不等式的解法关于x的不等式ax>b，1当a>0时，该不等式的解集为；2当a<0时，该不等式的解集为；3当a0时，假设b<0，那么该不等式的解集为R；假设b0，那么该不等式的解集为.不等式组的解集是x|x2，那么m的取值范围是 【导学号：38000000】A.m2B.m2C.m1D.m1【解析】原不等式组可化为解集为x|x2，m12，m1.【答案】C教材整理3一元二次不等式的解法形如ax2bxc>0a>0的解法：b24ac>00<0

4、yax2bxc a>0的图象ax2bxc0a>0的根有两个不等的实根x1，x2且x1<x2有两个相等的实根x1，x2且x1x2无实根ax2bxc >0a>0 的解集x|x<x1或x>x2Rax2bxc<0a>0的解集x|x1<x<x2不等式x25x6>0的解集是A.x|2<x<3B.x|x<2或x>3C.x|1<x<6D.x|x<1或x>6【解析】原不等式可化为x25x6<0，即x2x3<0，所以原不等式的解集为x|2<x<3.【答案】A质疑·

5、;手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型比较大小1x>3，比较x33与3x2x的大小；2假设m>0，试比较mm与2m的大小.【精彩点拨】1只需考察两者的差同0的大小关系；2注意到2m>0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质.【自主解答】1x333x2xx2x3x3x3x1x1.x>3，x3x1x1>0，x33>3x2x.2，当m2时，1，此时mm2m；当0<m<2时，0<<1，<1，mm<2m；当m>2时，>1，>1，

6、mm>2m.1.利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题.作差时，只需看差的符号，至于差的值终究是多少，这里无关紧要.2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第2步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.再练一题1.A，B，其中x，y为正数，试比较A与B的大小. 【导学号：38000001】【解】AB.x，y均为正数，x>0，y>0，xy>0，xy>0，xy20，AB0，即AB.利用不等式的性质求范

7、围设fxax2bx，且1f12,2f14，在求f2的取值范围时有如下解法：由得3f24a2b12.上述解法是否正确？为什么？【精彩点拨】此题错在屡次运用同向不等式相加单向性这一性质上，导致f2的范围扩大.因此需要将f2用ab与ab整体表示.【自主解答】给出的解法不正确.设f2mf1nf1，那么4a2bmabnab，即4a2bmnamnb.于是解得f23f1f1.又1f12,2f14，53f1f110.因此，f2的取值范围是5,10.1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格根据不等式的性质和运算法那么进展运算，是解答此类问题的根底.2.先建立待求范围的整体与范围的整体的等量关系

8、，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围，是防止犯错误的一条途径.再练一题2.6<a<8,2<b<3，分别求ab，的取值范围.【解】6<a<8,2<b<3.3<b<2，9<ab<6，那么ab的取值范围是9,6.又<<，1当0a<8时，0<4；2当6<a<0时，3<<0.由12得3<<4.因此的取值范围是3,4.一元二次不等式的解法解以下关于x的一元二次不等式.13x25x2>0；29x26x1>0；3x24x5>0.【精彩点拨】先由不等式确定对

9、应的一元二次方程ax2bxc0的根，再根据二次函数yax2bxc的图象确定不等式的解集.【自主解答】1方程3x25x20的两根为x12，x2，函数y3x25x2的图象开口向上，与x轴交于两个点 2,0，观察图象可得不等式3x25x2>0的解集为x或x<2.2方程9x26x10有两个相等的实数根x1x2，二次函数y9x26x1的图象开口向上，与x轴仅有一个交点，观察图象可以得到不等式9x26x1>0的解集为.3方程x24x50可化为x2210，故方程x24x50没有实数根，函数yx24x5的图象开口向上并且与x轴没有交点，由图象可得，不等式x24x5>0的解集为R.当a&

10、gt;0时，解形如ax2bxc>00或ax2bxc<00的一元二次不等式，一般可以分为三步：1确定对应的一元二次方程ax2bxc0的解；2画出对应函数yax2bxc的图象；3 由图象得出不等式的解集.再练一题3.不等式x2x20的解集为_.【解析】方程x2x20的两根为x12，x21，函数yx2x2的图象开口向上，不等式x2x20的解集为2,1.【答案】2,1含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式：ax2a1x10.【精彩点拨】由于aR，故分a0，a0，a0讨论.【自主解答】假设a0，原不等式可化为x10，即x1.假设a0，原不等式可化为x10，即x或x1.假设a0，原不等式

11、可化为x10.*其解的情况应由与1的大小关系决定，故1当a1时，由*式可得x；2当a1时，由*式可得x1；3当0a1时，由*式可得1x.综上所述：当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式0，0，0；第三层次是根的大小的讨论.再练一题4.解关于x的不等式x2aa2xa3>0aR.【解】原不等式可化为xaxa2>0，当a<0时，a<a2，解集为x|x<a或x>a2

12、；当a0时，a2a，解集为x|x0；当0<a<1时，a2<a，解集为x|x<a2或x>a；当a1时，a2a，解集为x|x1；当a>1时，a<a2，解集为x|x<a或x>a2.综上所述：当a<0或a>1时，解集为x|x<a或x>a2；当0<a<1时，解集为x|x<a2或x>a；当a0时，解集为x|x0；当a1时，解集为x|x1.一元二次不等式的应用设aR，关于x的一元二次方程7x2a13xa2a20有两个实数根x1，x2且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围.【精彩点拨

13、】假设把方程左边看成二次函数fx，那么它的图象是开口向上的抛物线，与x轴相交的条件是f0>0，f1<0，f2>0，所以只需解关于a的不等式组，即可求出a的取值范围.【自主解答】设fx7x2a13xa2a2.x1，x2是方程fx0的两个实根，且0<x1<1,1<x2<2，有即有有有2<a<1或3<a<4.a的取值范围是a|2<a<1或3<a<4.解关于二次方程根的分布问题，应考虑“三个二次的关系，分清对应的二次函数的开口方向及根所在区域的范围，画出对应的二次函数的图象，根据图象列出有关的不等式或不等式组进展

14、求解.再练一题5.一个服装厂消费风衣，日销售量x件与售价p元/件之间的关系为p1602x，消费x件的本钱R50030x元.1该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？2当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？【解】1由题意知，日利润ypxR，即y1602xx50030x2x2130x500，由日利润不少于1 300元.得2x2130x5001 300，即x265x9000，解得20x45.故当该厂日产量在2045件时，日利润不少于1 300元.2由1得，y2x2130x5002，由题意知，x为正整数.故当x32或33时，y最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利

15、润，最大利润为1 612元.可化为一元二次不等式的分式不等式的解法解不等式：2.【精彩点拨】把不等式转化为0求解.【自主解答】2，20，即0，0，x2或x5.即原不等式的解集为x|x2或x5.解分式不等式总的原那么是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式组求解.即0fx·gx0或fx0.0或fx·gx0.再练一题6.不等式0的解集为A.x|1x2B.x|x2且x1C.x|1x2且x1D.x|x1或1x2【解析】因为不等式0，等价于x1x1x20，所以该不等式的解集是x|x1或1x2.【答案】D探究共研型不等式的性质及恒成立问题探究1甲同学认为a>b<，乙同学认

16、为a>b>0<，丙同学认为a>b，ab>0<，请你考虑一下，他们谁说的正确？【提示】它们的说法都不正确.设fx，那么fa，fb，可以利用函数fx的图象比较fa与fb的大小.探究2不等式两边同时乘以或除以一个数时，要注意什么？【提示】要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以或除以这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变.探究3ax2bxc>0对一切xR都成立的充要条件是什么？【提示】或假设不等式x2ax10对一切xR都成立，务实数a的取值范围.【精彩点拨】设fxx2ax1，只要fx的图象全部位于x轴上方，只要顶点在x轴上或x轴上方即可.【自主解

17、答】a240，2a2，实数a的取值范围是2,2.再练一题7.把上述例题中“xR改为x，求a的取值范围.【解】法一：x2ax10，x可化为ax，设fxx，x，afxmin.fx在上是减函数，fxminf，a，a，a的取值范围是.法二：设fxx2ax1，那么对称轴为x.当，即a1时，fx在上是减函数，应有f0a1；当0，即a0时，fx在上是增函数，应有f01>0恒成立，故a0；当0<<，即1<a<0时，应有f110恒成立，故1<a<0.综上，有a.a的取值范围是.构建·体系1.假设x2且y1，Mx2y24x2y，N5，那么M与N的大小关系是A.M

18、>NB.M<NC.MND.不能确定【解析】MNx2y24x2y5x22y12.x2且y1，x20且y10，x22y12>0，故M>N.【答案】A2.函数fxxx3，x1，x2，x3R，x1x2<0，x2x3<0，x3x1<0，那么fx1fx2fx3的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能【解析】x1x2<0x1<x2.又fxxx3为奇函数，且在R上递增，fx1<fx2fx2，即fx1fx2<0.同理：fx2fx3<0，fx1fx3<0.以上三式相加，整理得fx1fx2fx3<0.【答案】B3.，那么的范围是_. 【导学号：38000002】【解析】，.又，0，0.【答案】4.关于x的不等式0x2x24的解集为_.【解析