第1章 §4 数学归纳法

1、.§4数学归纳法1.理解数学归纳法的思想本质，掌握数学归纳法的两个步骤.重点2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.重点、难点根底·初探教材整理数学归纳法阅读教材P16P18，完成以下问题.1.数学归纳法的根本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的根本步骤是：1验证：当n取第一个值n0如n01或2等时，命题成立；2在假设当nknN，kn0时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立.根据12可以断定命题对一切从n0开场的正整数n都成立.2.应用数学归纳法注意的问题1用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.2在用数学归纳法证明

2、中，两个根本步骤缺一不可.3步骤2的证明必须以“假设当nkkn0，kN时命题成立为条件.判断正确的打“，错误的打“×1与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.2数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.3数学归纳法的两个步骤缺一不可.【答案】1×2×3质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型用数学归纳法证明等式1用数学归纳法证明等式123n3 nN时，第一步验证n1时，左边应取的项是A.1B.12C.123D.12342用数学归纳法证明n1·n2·

3、83;nn2n×1×3××2n1nN，“从k到k1左端增乘的代数式为_. 【导学号：94210022】【自主解答】1当n1时，左边应为1234，应选D.2令fnn1n2nn，那么fkk1·k2kk，fk1k2k3kk2k12k2，所以22k1.【答案】1D222k1数学归纳法证题的三个关键点1.验证是根底找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的本质在于递推，所以从“k到“k1的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利

4、用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立作为条件来导出“nk1，在书写fk1时，一定要把包含fk的式子写出来，尤其是fk中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.再练一题1.下面四个判断中，正确的选项是A.式子1kk2knnN中，当n1时，式子的值为1B.式子1kk2kn1nN中，当n1时，式子的值为1kC.式子1nN中，当n1时，式子的值为1D.设fnnN，那么fk1fk【解析】A中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子1；D中，fk1fk.故正确的选项是C.【答案】C用数学归纳法证明不等式

5、1用数学归纳法证明不等式>n2，nN的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_.2证明：不等式1<2nN.【精彩点拨】1写出当nk时左边的式子，和当nk1时左边的式子，比较即可.2在由nk到nk1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】1当nk1时左边的代数式是，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是.【答案】2证明：当n1时，左边1，右边2，左边<右边，不等式成立.假设当nkk1且kN时，不等式成立，即1<2.那么当nk1时，1<2<2.当nk1时，不等式成立.由可知，原不等式对任意nN都成立.再练一题2

6、.试用数学归纳法证明上例1中的不等式.【证明】当n2时，>.假设当nkk2且kN时不等式成立，即>，那么当nk1时，>>.这就是说，当nk1时，不等式也成立.由可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.归纳猜测证明数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.1求a2，a3；2猜测数列an的通项公式，并证明.【精彩点拨】1令n2，3可分别求a2，a3.2根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜测an，再用数学归纳法证明.【自主解答】1a2，a1，那么a2，类似地求得a3.2由a1，a2，a3，猜得：an.证明：当n1时，由1可知等式成立；假设当nk时猜测成立，即ak，那么，当

7、nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk2k1akk2k1，Sk1k12k1ak1，ak1Sk1Skk12k1ak1.因此，k2k3ak1，所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立.由可知命题对任何nN都成立.1.“归纳猜测证明的一般环节2.“归纳猜测证明的主要题型1数列的递推公式，求通项或前n项和.2由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.3给出一些简单的命题n1，2，3，猜测并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.再练一题3.数列an满足Sn2nanSn为数列an的前n项和，先计算数列的前4项，再猜测an，并证明.【解】由a12a1，得a11；由a1

8、a22×2a2，得a2；由a1a2a32×3a3，得a3；由a1a2a3a42×4a4，得a4.猜测an.下面证明猜测正确：1当n1时，由上面的计算可知猜测成立.2假设当nk时猜测成立，那么有ak，当nk1时，Skak12k1ak1，ak12k1Skk1，所以，当nk1时，等式也成立.由1和2可知，an对任意正整数n都成立.探究共研型用数学归纳法证明整除性问题探究1数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?【提示】不一定，如证明n边形的内角和为n2·180°时，第一个值为n03.探究2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联络？【提示】第一步是验证命题

9、递推的根底，第二步是论证命题递推的根据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤1而缺少步骤2就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤1，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法断定，同样只有步骤2而缺少步骤1时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤1这个根底，假设就失去了成立的前提，步骤2也就没有意义了.用数学归纳法证明：n3n13n23能被9整除nN.【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进展拼凑.【自主解答】1当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；2假设当nkkN，k1时结论成立，即k3k13k23能被9整除.那么当nk1时，k13k23k33k3k13k23k33

10、k3k3k13k239k227k27k3k13k239k23k3.因为k3k13k23能被9整除，9k23k3也能被9整除，所以k13k23k33也能被9整除，即nk1时结论也成立.由12知命题对一切nN成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将nk1时的式子进展增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联络起来.再练一题4.用数学归纳法证明“n35n能被6整除的过程中，当nk1时，对式子k135k1应变形为_. 【导学号：94210023】【解析】由nk成立推证nk1成立时必须用上归纳假设，k135k1k35k3kk16.【答案】k35k3kk1

11、6构建·体系1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于n2时，归纳奠基中n0的取值应为A.1B.2C.3D.4【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故n03.【答案】C2.用数学归纳法证明1aa2an1nN，a1，在验证n1成立时，左边所得的项为A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3【解析】当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.【答案】B3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1×42×7k3k1kk12，那么当nk1时，表达式为_. 【导学号：94210024】【解析】当nk1时，应将表达式1×42×7k3k1kk12中的k更换为k1.【答案】1×42×7k3k1k13k4k1k224.以下是用数学归纳法证明“nN时，2nn2的过程，证明：1当n1时，2112，不等式显然成立.2假设当nkkN时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k12×2k2k2kk2k2k22k1k12.即当nk1时不等式也成立.根据1和2，可知对任何nN不等式都成立.其中错误的步骤为_填序号.【解析】在2k12×2k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论.如k2时，k22k1.【答案】25.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，n212n222nn2