第1章 1.3 第2课时 利用组合数公式解应用题

1、.第2课时利用组合数公式解应用题1能用组合数计算公式解决一些简单的应用问题重点2掌握常见组合问题的求解方法难点3在实际应用过程中区分排列与组合易混点小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在以下条件下，有多少种不同的选法？1任意选5人；2甲、乙、丙三人必需参加；3甲、乙、丙三人不能参加；4甲、乙、丙三人只能有1人参加【精彩点拨】此题属于组合问题中的最根本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含与“不含作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】1从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法2甲、乙、丙三人必

2、需参加，那么只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法3甲、乙、丙三人不能参加，那么只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法4甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法解答简单的组合问题的考虑方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1现有10名老师，其中男老师6名，女老师4名1现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2选出2名男老师或2名女老师去外地学习的选法有多少种？【解】1

3、从10名老师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.2可把问题分两类：第1类，选出的2名是男老师有C种方法；第2类，选出的2 名是女老师有C种方法，即CC21种有限制条件的组合问题高二1班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动1其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？2其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？3恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？4至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？5至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进展合理分类，弄清关键词“恰有“至少“至多等字眼使用两个计

4、数原理解决【自主解答】1从余下的34名学生中选取2名，有C561种不同的取法有561种2从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5 984种不同的取法有5 984种3从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100种不同的取法有2 100种4选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种不同的取法有2 555种5选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的取法有6 090种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：假设要选取的元素中有特殊元素，那么要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类根据2含有“至多“

5、至少等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类根据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要擅长利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解再练一题2“抗震救灾，众志成城，在我国“四川5·12抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：1抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？2至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？3至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】1分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C90种抽调方法2

6、“至少的含义是不低于，有两种解答方法法一直接法按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有C·C种选法；选3名外科专家，共有C·C种选法；选4名外科专家，共有C·C种选法根据分类计数原理，共有C·CC·CC·C185种抽调方法法二间接法不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CC·CC185种抽调方法3“至多2名包括“没有“有1名“有2名三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有C·C种选法；有2

7、名外科专家参加，有C·C种选法所以共有CC·CC·C115种抽调方法组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 【导学号：29440013】【精彩点拨】解答此题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第3类：共线的4

8、个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类计数原理知，不同的三角形共有4811256216个法二间接法：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点能构成三角形的个数为CC216个1解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法再练一题3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点

9、，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如下图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理，不同的取法有3C333种探究共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事指的是什么？【提示】共有C6个不同结果完成的“这件事是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事指的是什

10、么？【提示】共有A210个不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进展第一类：0在个位，那么百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，那么需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18种不同的结果，由分类原理，完成“这件事共有ACCC3

11、0种不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合以下条件的选法数：1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定担任语文课代表；3某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；4某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【精彩点拨】1按选中女生的人数多少分类选取2采用先选后排的方法3先安排该男生，再选出其别人担任4科课代表4先安排语文课代表的女生，再安排“某男生课代表，最后选其别人担任余下三科的课代表【自主解答】1先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种，共CCCC·A5 400种2除去该女生后，先选

12、后排，有C·A840种3先选后排，但先安排该男生，有C·C·A3 360种4先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原那么1按事情发生的过程进展分步2按元素的性质进展分类解决时通常从以下三个途径考虑：1以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；2以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数再练一题4某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、

13、乙两名同学至少有一人参加，且假设甲、乙同时参加，那么他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为_种. 【导学号：29440014】【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，那么有CCA2×10×24480种选法第二类，甲、乙都参加时，那么有CAAA10×2412120种选法所以共有480120600种选法【答案】600构建·体系1有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，那么不同的选法共有_种【解析】从6名男医生中选出2名男医生共有C种不同选法，从5名女医生中选出1名女医生，共有C种不同选法，故组成一个医疗小组共有

14、CC75种不同的选法【答案】7527名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有_种用数字作答 【导学号：29440015】【解析】由题意可知周六共有C种安排方式，周日共有C种不同安排方式，共有CC140种不同安排方式【答案】1403将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有_种用数字作答【解析】有C·C·A36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的

15、方法数【答案】364在直角坐标平面xOy上，平行直线xnn0,1,2，5与平行直线ynn0,1,2，5组成的图形中，矩形共有_个【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C15×15225个【答案】2255车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，如今要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法【解】法一：设A，B代表两名老师傅A，B都不在内的选派方法有：C·C5种；A，B都在内且当钳工的选派方法有：C·C·C10种；A，B都在内且当车工的选派方法有：C·C·C30种；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：C·A·C·C80种；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：C·C·C20种；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：C·C·C40种所