二次函数的概念—知识讲解(提高)

1、二次函数的概念一知识讲解提高学习目标1. 理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等根本概念；2. 了解表示函数的三种方法一一解析法、列表法和图像法；3. 会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值围；4. 理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系要点梳理要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x, y，对于自变量x在某一围的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值围的一个确定的值a,函数y有惟一确定的对应值， 这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：1函

2、数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；2 判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值 与它相对应；3函数自变量的取值围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问 题有意义要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：1 解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，或解析式，用数学式子表示函 数的方法称为解析法2 列表法：用一个表格表达函数关系的方法.3图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法 要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；

3、列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数 值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋 势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色对照表如下：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法XVVX解析式法VVXX图象法XXVV要点三、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c 是常数，0)的函数叫做 x的二次函数.假设b=0，那么y=ax2+c； 假设c=0，那么y=ax2+bx； 假设b=c=0，贝U y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特2殊形式，而y=ax +bx+c (a* 0)是二次

4、函数的一般式.在二次函数的一般式 y=ax2+bx+c (a* 0)中，ax2叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数 项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.要点诠释：(1) 如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a* 0)，那么y叫做x的二次函数.这里，当 a=0时就不是二 次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.(2) 判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含 其前面的符号.典型例题类型一、函数的相关概念B .变量：“满足 I" '，那么"是卞的函数;C .变量满足丿=用，那么丁是*的函数；d

5、.变量儿x满足y = 1,那么丁是x的函数.思路点拨严格依照函数的概念进行判断 .答案A；解析B C、D三个选项，对于一个确定的 忑的值，都有两个?值和它对应，不满足单值对应的条件, 所以不是函数.总结升华理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是 惟一确定的.举一反三：思路点拨要使函数有意义，需1 沁nm或<x-l >07x-1 <0.»J解这个不等式组即可答案与解析即彳pm-1 < 0解方程组得，自变量取值是二或总结升华自变量的取值围是使函数有意义的x的值.见、如下列图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度为1

6、5米的矩形菜园ABCD设AB的长为x米，那么菜园的面积y单位：米2与x单位：米的函数关系式为 写自变量的取值围.JJ1JJ UJ JjTJ f JF JfjTf JJJ J J! J1 JcAH思路点拨根据矩形的周长和一边 AB的长表示出另一临边 AD的长，再根据矩形的面积公式来求解1 2答案y X 15x 0 V X< 15230 x解析解：矩形的周长为 30米，边AB长x米， AD=3米，230 x 1矩形的面积 y=x 一= x215x 0 v x< 152 2总结升华考虑到实际情况，对于自变量x来说，一定不能超过墙的长度举一反三：变式圆的半径是1cm,假设半径增加xcm,圆

7、的面积增加ycm2，那么y与x的关系式为： ,答案yx2 2 x类型二、函数的三种表示方法矩形的面积为 a( a为常数,a> 0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少?数学模型a设该矩形的长为x，周长为y，那么y与x的函数关系式为y 2(x)(x>0).x探索研究1我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y x -(x>0)的图象性质.x 填写下表，画出函数的图象：JT1413:21234y 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；2 在求二次函数y=ax + bx+ c( a* 0)的最大(小)值时，除了通过观察图象， 还可以通过配方得到.请1你通过配方求函

8、数 y x(x > 0)的最小值.x解决问题用上述方法解决“问题情境中的问题，直接写出答案.思路点拨此题告诉我们一种研究问题的方法，从最根本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数所以一定要跟着题目教给我们的思路走答案与解析17解y的值依次是：一,105 , 2,51017432234函数y x (x 0)的图象如图.xJ5-/斗r/3/2卜1卜.1.1.1 *-1 C-1)2345此题答案不唯一，以下解法供参考.x 1 (x 0)的x当0 x 1时，y随x增大而减小；当x 1时，y随x增大而增大；当x 1时函数y 最小值为2.y x 1x=(x)2 ( J2= (7x)2 (J1)2 2坂 J

9、1 2lx x x当乂匚 J =0,即x 1时，函数y x 1 (x 0)的最小值为2.V xx当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4Ja .总结升华此题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行 列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法.综合考察了类型三、二次函数的概念5、(2021秋校级月考)一个二次函数y (k 1)xk 3k 4 2x 1 .(1) 求k的值.(2) 求当x=3时，y的值？思路点拨关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为 0.答案与解析解(1 )依题意有k2 3k 4 2解之得，k=2.(2)把k=2代入函数解析式中得：y=x 2+2x-1,当 x=3 时，y=14.总结升华此题考察二次函数的定义和函数值.举一反三：变式1函数y (m 3)xim 1 3x 1是二次函数，那么 m的值是()A . 3 B . -3 C .土 2 D .土