双曲线的简单几何性质（4）

1、-直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系一、直线与椭圆的位置关系一、直线与椭圆的位置关系：（2 2）弦长问题）弦长问题|1|2akAB（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）经过焦点的弦的问题）经过焦点的弦的问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或设点作差法0_|)1(1|/2akAB二、直线与双曲线位置关系种类：二、直线与双曲线位置关系种类：XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(两个交点两个交点,一个交点一个交点)两个交点两个交点 一个交点一个交点 0 个交点个交点相交相交相相切切相相交交相离相离交点个数交点个数方程组解的个数方程组解的个数有没有问题有没

2、有问题 ?1 0 个交点和两个交点的情况都正常个交点和两个交点的情况都正常, 那么那么 ,依然可以用判别式判断位置关系依然可以用判别式判断位置关系2一个交点却包括了两种位置关系一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交相切和相交 ( 特殊的相交特殊的相交 ) , 那么是否意那么是否意味着判别式等于零时味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相即可能相切也可能相交交 ? 判断下列直线与双曲线之间的位置关系：判断下列直线与双曲线之间的位置关系：11169:,3:22yxcxl21169:,134:22yxcxyl相相 切切相相 交交试一下试一下:判别式情况如何判别式情况如何?一般情况的研究1:,:

3、2222byaxcmxabyl显然显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交也就是相交.把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程,看看看判别式如何看判别式如何?根本就没有判别式根本就没有判别式 ! 当直线与双曲线的渐进线平行时当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直把直线方程代入双曲线方程线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所当然也就没有所谓的判别式了谓的判别式了 。 结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系位置关系

4、 ！判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离例1、判断下列直线与双曲线的位置关系：2241 :1, :1 ;525 16xyl yxc相交相交(一个交点一个交点)2252 :1, :1.425 16xyl yxc相离相离例例2、设双曲线、设双曲线 )0( 1:222ayaxC与直线与直线1: yxl相交于不同的点相交

5、于不同的点A、B，求双曲线求双曲线C 的离心率的离心率e的取值范围的取值范围.2211162|.2OABxyykxkkS例3、已知双曲线及直线，（）若直线与双曲线有交点，求 的范围；（ ）若，求y.F2F1O.x11122yxkxy）联立解：（022)1 (22kxxk) 1|(|x时，当1k1xy个交点直线与双曲线有1时，当1k0)1 (8422kk122kk且22k综上，当时，直线与双曲线有交点.y.F2F1O.一个交点？思考：什么情况下只有点直线与双曲线只有一交时，或当12kk交点？思考：什么情况下两个个交点时，直线与双曲线有两且当122kk交点在右支？思考：什么情况下两个个交点都在右支

6、时，直线与双曲线有两当21 k交点在两支上？思考：什么情况下两个个交点在两支上时，直线与双曲线有两当11k)( ,|21)2(的距离到直线是ABOddABSOAB211kd1122yxkxy联立022)1 (22kxxk|1|2akAB由弦长公式：|1 |481222kkk222211122121kkkkS21222kky.F2F1OAB1 axy例例4、已知直线、已知直线与双曲线与双曲线1322 yx交于交于A,B两点，若以两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数为直径的圆过坐标原点，求实数a的值的值.22142xy已知双曲线方程 例5、11 11212MABMABABlNll（）过 （

7、，）的直线交双曲线于 、两点，若为弦的中点，求直线的方程；（ ）是否存在直线 ，使，为 被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由.解：，则，设)()(2211yxByxA1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyMMAByxk2121，即21ABk的方程为：直线 AB) 1(211xy.012 yx即)(21xx xyo2222.NM解法二：) 1(1:xkylAB设，21 k的方程为：直线 AB) 1(211xy.012 yx即xyo2222.NM42122yxkkxy联立04)1 (2)1 (4)21 (222kxkkxk121

8、)1 (22221kkkxx，则，的直线交双曲线于假设过)()()2(2211yxDyxCN1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyNNyx211，即1CDk11122lyxyx的方程为：即2211242xyyx把代入得xyo2222.NMl 直线 与双曲线没有交点与所设矛盾.)211 (在为弦的中点的直线不存，以 N2920504xx 其中221133131( ,),1213( 26 6),0 512yxA x yBC xyFyyAC在双曲线的一支上有不同的三点，（ ， ）且与点 （ ，） 的距离成等差数列。（）求；（ ）求证的垂直平分线必过定点.解：edAFA1|AAFde11BCBFdCFdee同理，成等差数列、CFBFAF.1231yy例6、成等差数列CBAddd,13,6,yy成等差数列y.F2F1OxCBAy.F2F