第18讲相似三角形

1、.第18讲相似三角形命题点相似三角形的性质与断定12019·河北T7·3分假设ABC的每条边长增加各自的10%得ABC，那么B的度数与其对应角B的度数相比DA增加了10% B减少了10%C增加了110% D没有改变22019·河北T9·3分如图，在ABC 中，C90°，BC6，D，E 分别在 AB，AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处假设A为CE的中点，那么折痕DE的长为BA.B2C3D432019·河北T13·3分在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角

2、形，它们的对应边间距为1，那么新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，那么新矩形与原矩形不相似图1 图2对于两人的观点，以下说法正确的选项是AA两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对42019·河北T15·2分如图，在ABC中，A78°，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是C重难点相似三角形的性质与断定在ABC中，ABAC，D为BC的中点，以D为顶点作MDNB.1如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与

3、ADE相似的三角形；2如图2，将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F点E与点A不重合，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；3在图2中，假设ABAC10，BC12，当SDEFSABC时，求线段EF的长【思路点拨】1由题意得ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；2根据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性质得，进而有，从而CEDDEF；3首先利用DEF的面积等于ABC的面积的，求出点D到AB的间隔 ，进而利用SDEF的值求出EF即可【自主解答】解：1图1

4、中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE.2BDFCEDDEF.证明：BBDFBFD180°，EDFBDFCDE180°，又EDFB，BFDCDE.由ABAC，得BC，BDFCED.BDCD，.又CEDF，BDFCEDDEF.3连接AD，过点D作DGEF，DHBF，垂足分别为G，H.ABAC，D是BC的中点，ADBC，BDBC6.在RtABD中，AD2AB2BD2，AD8.SABCBC·AD48.SDEFSABC12.又AD·BDAB·DH，DH4.8.BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.SDEFEF·DG

5、12，EF5.【变式训练1】2019·杭州如图，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E.1求证：BDECAD；2假设AB13，BC10，求线段DE的长解：1证明：ABAC，BDCD，ADBC，BC.DEAB，DEBADC.BDECAD.2ABAC，BDCD，ADBC.在RtADB中，AD12，AD·BDAB·DE，DE.根本图形1斜边高图形有以下根本结论：BADC，BDAC；ADBCDACAB.2一线三等角有以下根本结论：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：假设点D为BC中点，那么有BDECFDDFE.“一线三等角问题一般以等腰三角形、等

6、边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：图中一样标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上点P不与点C，点B重合，且保持APQ90°，CQ1，求线段BP的长解：分三种情况：设BPx.当P在线段BC上时，如图1，四边形ABCD是正方形，BC90°.BAPAPB90°.APQ90°，APBCPQ90°.BAPCPQ，ABPPCQ.，x1x22.BP2；当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP22；当P在BC的延长线上时，如图3，同

7、理，得BP22.综上所述：线段BP的长为2或22或22.12019·白银a0，b0，以下变形错误的选项是BA. B2a3b C. D3a2b22019·重庆要制作两个形状一样的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，那么它的最长边为CA3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm32019·河北模拟如图，在平面直角坐标系中，与ABC是位似图形的是CA B C D42019·哈尔滨如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交CD

8、于点F，那么以下结论一定正确的选项是DA. B. C. D.52019·邯郸一模如图，在ABC中，BCDA，DEBC，与ABC相似的三角形ABC自身除外的个数是BA1 B2 C3 D462019·石家庄裕华区模拟李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱理解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是B：如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC.求证：ADEDBF.证明：又DFAC，DEBC，ABDF.ADEB.ADEDBF.A BC D72019·随州如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，那么的

9、值为CA1 B. C.1 D.182019·岳阳?九章算术?是我国古代数学名著，书中有以下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其意思为：“今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能包容的正方形边长最大是多少步？该问题的答案是步92019·抚顺如图，AOB三个顶点的坐标分别为A8，0，O0，0，B8，6，点M为OB的中点以点O为位似中心，把AOB缩小为原来的，得到AOB，点M为OB的中点，那么MM的长为或102019·江西如图，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长解

10、：BD为ABC的平分线，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE.AE2CE.ACAECE6，AE4.112019·包头如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC，BADBDC90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.假设BC4，CBD30°，那么DF的长为DA. B. C. D.提示：连接DE，可证DEFBAF.122019·达州如图，E，F是ABCD对角线AC上两点，AECFAC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，那么的值为CA. B. C. D1提示：可证AGABCHB

11、C13.13【分类讨论思想】2019·常州如图，在ABC纸板中，AC4，BC2，AB5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，假如有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3AP4142019·福建如图，在RtABC中，C90°，AB10，AC8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.1求BDF的大小；2求CG的长解：1线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，DAB90°，ADAB10.ABD45°.EFG是ABC沿CB方

12、向平移得到，ABEF.BDFABD45°.2由平移的性质，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180°.DAB90°，ADE90°.ACB90°，ADEACB.ADEACB.AC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性质，得CGAE12.5.152019·河北模拟修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，假设AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，且测得BC22.5米1求DE的长；2现有甲

13、、乙两个工程队都具备打通才能，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队理解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元假设仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算解：1连接DE.AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，.又AA，ABCAED.，即DE750米2设甲工程队每天开挖涵洞x米，那么乙工程队每天开挖涵洞1.5x米，根据题意，得25，解得x10.经检验，x10是原方程的解那么1.5x15.甲工程队打通这个涵洞的时间为75天，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为75×3 500262 500元；乙工程队打通这个涵洞的时间为50天，乙工程队打通这个涵洞所需的费用为50×4 000200 000.200 000262 500