六年级奥数比和比例2

1、六年奥数综合练习题十二答案比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个容，也是学习更多数学知识的重要根底有了 “比这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处有所理解这一讲分三个容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题一、比和比的分配最根本的比例问题是求比或比值 从一些比或者其他数量关系，求出新的比例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等甲的长与宽之比是 3 : 2,乙的长与宽之比是 7： 5.求甲与乙的面积之比解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是 864： 875

2、.作为答数，求出的比最好都写成整数例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两局部，它们的面积之比是10 : 7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形 CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB： CD=E角形ABC的面积：三角形 ADO的面积=10-7： 7X 2= 3 : 14.答：AB： CD=3： 14.两数之比，可以看作一个分数， 处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲 述的重点例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯

3、、4 小杯容量之和，求与之比解：大杯与中杯容量之比是 5 : 2=10 : 4,中杯与小杯容量之比是 4： 3,大杯、中杯与小杯容量之比是10 ： 4 ： 3.=10X 2+4X 3+3X 4 =44 : 75.10 X 5+4X 4+3X 3答：两者容量之比是 44 : 75.10 : 4 : 3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法,把5 : 2与4 : 3这两个比合在一起，成为三样东西之比 再举一个更一般的例子.甲：乙=3 : 5，乙：丙=7 : 4,3 : 5=3X 7 : 5X7=21 : 35,7 : 4=7X 5 : 4X5=35 : 20, 甲：乙：丙=21 : 35 : 20.

4、例4甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的扌等于乙花钱数的卜 乙花钱数的扌等于丙花钱数的*结果丙比甲多花钱9玩问他们三人共 花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲：乙：丙=2 X 16 : 3X 16 : 3X 2=32 : 48 : 63.三人共花了 妙 芝笃詐=4沙(元)一答：甲、乙、丙三人共花了 429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不一样的钉子，甲与乙长度的比是6 : 5,甲钉子的号钉入墙内，甲与丙钉入墙内的局部之比刁：4，而它们留在墙外的局部一样长 问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的局部是百X (1-|) =2甲钉入墙内的局部是5| = 4?

5、丙钉入埴内的局部为莖，满足比例式4:x=5 : 4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6 : 5=30 : 25.甲：乙：丙=30 : 25 : 26.答：甲、乙、丙的长度之比是30 : 25 : 26.设甲的悅度是&也就是把甲分成瀛以它的;作为长度单位一这样便6于利用条件6 : 5，使大局部计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段 .例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列

6、出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22, 30, 33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路解二：先求出这三种糖果所买数量之比 .不妨设，所花钱数是 330,立即可求出，所买数量之比是甲：乙：丙 =15 : 11 : 10.平均数是15+11 + 10+ 3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配问题，当一个数量被分成假设干个数量，如果知道这些数 量之比，我们就能求出这些数量 例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23,分母加32,新的分数约分后是令原耒的分数是多少7解：新的分数，

7、分子与分母之和是10+23+32，而分子与分母之比 2 : 3.因此例8加工一个零件，甲需 3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任 务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例 分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700X 3=2100 分钟=35 小时.答：甲、乙、丙分别完成 700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题 .例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14 ： 11,会员分成

8、三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12 : 13,乙：5 : 3,丙：2 ： 1,那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100十2=50人.全体男会员人数是100X 岛二兀人.甲组男会员人数是50X7 = 24 人.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32人.乙组男会员占全组人数的= | .2 2丙组男会员占全组人数的缶=;如杲丙组男会员也是占右 两组男会员只有50X | =因此丙组总OO入数是f 250,2 乂 “ 厂人、32-=人答：丙组有12名男会员. 上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼解法一致，可以设想，“兔的脚数是,“鸡的脚数是- 隹脚

9、数是仏总头数是刘.JO例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1 : 2 : 3.小龙走各段路程所用时间之 比依次是4 ： 5 : 6.他上坡时速度为每小时 3千米，路程全长 50千米问小龙走完全程用了多少时间? 解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比上坡、平路、下坡的速度之比是平路速度是彳亍扌二辛千米/小吋31下坡速度是炉 一 I 千氷/小时.64走完全程所用时间50X150X22450X3-p- 3 + 4十 61 十2 十 31 + 2 十 351 + 2H-3100M25+150=36=1。詈不吋答：小龙走完全程用了10小时25分.上

10、面是通常思路下解题.1 : 2： 3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事事实上，灵活运用比例有简捷解法解二：全程长是上坡这一段长的1+2+3=6倍.如果上坡用的时间是4扮.全程都是上坡.所用时间是41 W ,具体时间是晋&卜吋设小龙走完全程用 x小时.可列出比例式二、比的变化两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的容例11甲、乙两同学的分数比是 5 : 4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么他们的分数比是 5 : 7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化 .原来要分成5+4=9份

11、，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键 .9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按 36份来算.5 : 4= 5X 4： 4 X 4=20 : 16.5 : 7=5X 3： 7X 3=15 : 21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得 22.5 - 5X 20=90分，乙得 22.5 - 5 X 16=72分.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程解二：设原先甲的得分是 5x,那么乙的得分是 4x.根据得分变化，可列出比例式 .5X-22.5： 4X+22.5=5

12、 : 7即 54X+22.5=7 5X-22.515x=12X 22.5x=18.甲原先得分18X 5=90分，乙得18X 4=72分.例12有一些球，其中红球占土当再放入呂个红球后，红球占总球数 的害，问现在共有多少球？解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5 ： 14-5=5 : 9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1 ： 3-1=1 : 2=4.5 : 9.因此8个红球是5-4.5=0.5份.现在总球数是答：现在共有球224个.此题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1 : 2写成4.5 : 9，就是充分利用这一特点.此题也可以列出如下方程求解：x+8

13、： 2x=5 : 9.例13家与家的收入钱数之比是8 : 5,开支的钱数之比是 8 : 3,结果家结余240元，家结余270元问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8 : 5,那么结余的钱数之比也应是8 : 5.家结余240元，家应结余x元.有240 : x=8 : 5, x=150元.实际上家结余270元，比150元多120元.这就是8 : 5中5份与8 : 3中3份的差，每份是120十5-3 =60.元.因此可求出答：家收入 720元，家收入 450元.解二：设家收入是8份，家收入是5份.家开支的3倍与家开支的8倍的钱一样多 我们画出一个示意图：家开支

14、的3倍是8份-240X 3.家开支的8倍是5份-270X 8.从图上可以看出5X 8-8 X 3=16份，相当于270 X 8-240 X 3=1440元.因此每份是1440* 16=90元.家收入是90X 8=720元，家收入是 90X 5=450元.此题也可以列出比例式：8x-240： 5x-270=8 : 3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量 关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8 : 5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少一样的数34,因此未减时，与减了以后， A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用

15、这一点.8 : 5,就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2 : 1，两者相差1.将前项与后项 都乘以3，即2 : 1=6 : 3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2份或5-3=2份.因此，每份是34 : 2=17.A数是 17X 8=136, B数是 17X 5=85.答：A, B两数分别是136与85.此题也可以用例13解一“假设方法求解，不过要把减少后的2 : 1，改写成8 : 4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4 : 3,小明又买来15.小强用掉了 8，现有的图画纸之比是 5： 2问原来两人各有多少图画纸？解一：充分利用数据的特殊性4+3=7，5+2

16、=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成 7份，总数多了 7，因此，新的1份=原来1份+ 1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的 1 份有 15-1 X 4=11.小明原有图画纸11 X 5-15=40，小强原有图画纸 11 X 2+8=30丨.答：原来小明有40,小强有30图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设方法.先要将两个比中的前项化成同一个数实际上就是通分4 : 3=20 : 155 : 2=20 : 8.假设小强也买耒1% |二乎张，那么变化后的比仍应是20 :但现在是20 : 8,因此这个比的每一份是小明现有抚城=兮张，原有右_15 =他张- 棉现有3X =

17、 22 张,原有22 + 8-30 张.当然，也可以采用实质上与解方程完全一样的图解法解三：设原来小明有4 “份，小强有3 “份图画纸.把小明现有的图画纸数乘 2,小强现有的图画纸数乘 5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图:从图上可以看出，3X 5-4 X 2=7份相当于图画纸 15X 2+8X 5=70.因此每份是10,原来小明有40,小强有30.例11至15这五个例题是同一类型的问题 .用比例式的方程求解没有多大差异 .用算术方法，却可以充分利 用数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算， 对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握 .例1

18、3的解一，也是一种通用的方法“假设这一思路是很有用的，希望读者能 很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点 4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了 一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍问这两支蜡烛点了多少时间？解设粗*鈿蜡烛长度是h每小时粗蜡烛点去宁 鈿蜡烛点去士我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2,每小时点现在两者相关是2-1,每水时能缩水差距扌,因此两者相等需要时间是答：这两支蜡烛点了 3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时

19、烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“ 2倍变成“相等，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3倍多2只.每次从箱子里取出 7只白球，15只红球， 经过假设干次后，箱子里剩下 3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最 后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7 X 3 = 21只，最后应剩3 X 3= 9只. 因此共取了 51- 3 X 3十7X 3-15= 7次.红球有

20、 15 X 7 + 53 = 158只白球有7 X 7 + 3= 52只原来红球比白球多 158-52 = 106只答：箱子里原有红球数比白球数多 106只.三、比例的其他问题比例关系可以用比表示，也可以用分数袤示.例如.甲比乙的专多7，这里必须用分数来说，而不能用比 实际上它还是隐含着比例关系：甲-7丨：乙=2 : 3.因此，有些分数问题，就是比例问题 例边有一些画片.小明取了其中的扌还多羽儘小強取了剩下的;再加33,他们两人取的画片一样多 问这些画片有多少？1 2解设这些画片是整体1卜明取走扌加囲缸 剩下的是彳少朋总取剩下 痢土就是取因为两人取的一样多，的羞，相当于歼1耶的差纹1 ?这些画

21、片有2汁彳=261 GK 答：这些画片有261.2例19 一个容器内贮有一些水.现在俐掉其中彳的水，剩下的水和容器2茯重肢千克.再俐掉剩下水的扌此时水与容器的重量是原来第一次倒 掉小之前的扌问原来容器中有多少千克的水？解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是按照题目条件.常的水加一个容器的重量諾的水磅的容器重量一样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有 8.4千克水例18和例19,通常在小学数学中，叫做分数应用题 “比有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进展加、减运算这就是把比或除法写成分数的好处下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些例20有两堆棋子，A堆有黑子

22、350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个为了使A堆中黒子占A堆的扌，E堆中黒子占扌要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？解=要B堆中黒子占学 即黑子与白子之比是辈1先从B堆中拿出黑斗子100个，使余下黑子与白子之比是40-100： 100= 3 : 1.再要从B堆拿出黑子与白子到 A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持 3 : 1的比.现在A堆已有黑子350 + 100 = 450个,与已有白子 500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3： 1这个比，要拿出白子数是50十3-1= 25个.再要拿出黑子数是 25 X 3= 75个.答：从B堆拿出黑子175个，白子

23、25个.例21高中学生的人数是初中学生人数的二 高中毕业生的人数是初中612毕业生人数的昔，高、初中毕业生毕业后，高.初中留下的人数都是520人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5 = 1,相当于图中相差17-12 = 5份，初中总人数是5 X 6= 30份，因此，每份人数是520+ 30-17= 40人.因此，高、初中毕业生共有40X 17+ 12= 1160人.答：高、初中毕业生共 1160人.解二*用二乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可6计算出每份是(520-520X 4)亠门* I- 12)= 40 (人)6 6例21与例14是完全一样的问题，解

24、一与例14的解法也是一样的.你是否发现？解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便例18, 19, 20, 21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用例毙张 王*李三个人共有血元弓烘了自己钱数的?王用了自 己钱数的吕 李用了自己钱数的吕 各买了一支相同的钢笔，问张和李剩43下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是剩下的钱数是剩下的钱数答：、两人剩下的钱共 28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“ T统一地折算解分数应用题中，设定统一的计算单位是

25、常用的解题技巧作为这一讲最后的容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比例器一头猪卖屮艮币，一头山羊卖1#艮币，一彩祥卖+银帀有人用100个银币买了 100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉17071783提出的问题.解每头牲畜的平均价是L猪每头玮比1多冷，山苹每头斗，比1 多而绵羊每头比1少右澤多要用0 耒补，才这到均价斗： = 5： 1.1头猪鄭*龄来补+ : y=2： 3,咲山羊賈決绵羊来补我们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使1+ 5X A + 3 + 2X B = 100,或简写成6A + 5B= 100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例 17,很明显，A必定是5的整数倍.A = 5, B = 4 , 6 X 5 + 5 X 4 = 50,50是100 的约数，符合要求A= 5,猪5头，绵羊25头，B=4,山羊12头，绵羊8头.猪：山羊：绵羊=5 ： 12 ： 25 + 8.现在已把1 : 5和3: 2