刚体一章习题解答

1、P mv mgtj据定义，质点对原点O的角动量为L r P (bi gtj)mgtjbmgtk习题42我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运 动，地球的中心 O为椭圆的一个焦点如图， 地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离 li=439km，与地面的最远距离 b=238km。假设 卫星在近地点A1的速度V1=8.1km/s,那么卫星 在远地点的速度V2=。卫星|2习题42图l1V1A1刚体一章习题解答习题4 1如下列图，X轴沿水平方向，丫轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m的 质点由a处静止释放，让它自由下落，那么在任意时刻 t，质点对原点0的力矩 M ;在任意时刻t，质点对原点的角动量L 。解

2、：作用于质点上的重力为任一时刻t质点也是重力的作用点的位置矢量为 b XIr bi gtj据定义，该重力对原点O点的力矩为cM r G (bi gtj) mgj bmgk1 v=gtaty任一时刻t质点的动量为习题41图G mgj(R h)(R l2)6378 4396378 2386.3km/s解：卫星受到地球引力有心力的作用，对地心O的角动量守恒。因此(R l1)mv1 (R 12) mv2解得习题43光滑圆盘面上有一质量为 m的物体A,栓在一根穿过圆盘中心光滑 小孔的细绳上，如下列图。开始时，物体距离圆盘中心O的距离为re，并以角速度°绕圆盘中心O作圆周运动，现向下拉绳，当物体

3、 A的径向距离由re减少到 rg 2时，向下拉的速度为v,求下拉的过程中拉力所作的功。分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是 刚好沿半径为r的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度解：设在末态物体的速度的切向分量为 Vt, 法向分量为Vn(亦为下拉速度)。同时考虑到速度 的法向分量Vn与矢径r反平行，其相应的角动量 为零，由角动量守恒可得r°mvor。 mvt21v习题43图所以，末态速度的切向分量v t 2v02r00EkEk。1m(v2 v2) imv22 2由质点动能定理，下拉

4、的过程中拉力所作的功122121m(2r0 0)v 2m(r0)32 21mr00 mv2 2习题44质量为mi的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用，B保持在原 点不动。最初，当A离B很远(r = s)时，A具有速度v。，方向沿图中所示直线 Aa，B与这条直线的垂直距离为 D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路 线，沿着图中所示的轨道运动，这轨道与 B之间的最短距离为d,求B的质量 mB。D m1v0d gv 习题44图解：粒子A在粒子B的有心力场中运动，系统的角动量和机械能均守恒。 因此，我们可以得到2m1v2联立、两式解得B的质量为mB2 , 2、 2 (D d )v。2Gd习题45在

5、光滑的水平面上，一根长 L=2m的绳子，一端固定于 0点，另一 端系一质量m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置 A，OA间距离d=0.5m，绳 子处于松弛状态。现在使物体以初速度 vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如下列图， 设以后的运动中物体到达位置 B，此时物体速度的方向与绳垂直。那么此刻物体 对O点角动量的大小Lb=，物体速度的大小vb =。解：由质点角动量守恒定律有因此，物体在B点时对0点的角动量为d mvA L mvB2LBLA d mvA 0.5 0.5 4 1 kg? m /svB0.5 421m/s物体在B点时的速度为习题46 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线

6、在直角坐标系下 的定义为：r acos ti bsin tj，其中a、b、皆为常数，那么此质点所受的对原点的力矩M;该质点对原点的角动量L 。解：依定义，质点的加速度a 空 2 2(acos ti bsin tj)2rdtdt2质点受到的力为2F ma m r因此力矩2M r F m r r 0因为drva sin ti b cos tjdt所以质点角动量为L r P r mv (acos ti bsin tj) m( a sin ti b cos tj)abm k(abm cos2 t)k (abm sin2 t)k习题47两个匀质圆盘A和B的密度分别为A和B，假设A B，但两圆 盘的质量和

7、厚度一样，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为JA和，那么：(A) JA JB。(B) JA JB。(C) JA JB。(D) JA、JB 哪个大不能确定。 解：圆盘的转动惯量J mR2 R22又因为m VR2h所以有R2这样一来因为a B ,因而JaJb，故应选择答案(B)习题4-8如下列图，A、B为两个一样的绕着轻绳的定滑轮，A滑轮挂一质量为 M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg，设A、B两滑轮的角加速度分别为 !和2，不计滑轮轴的摩擦，那么有：(A)12 ° (B)12 ° (C)1解：由牛顿定律与转动定律Mg TTRMa对A：对B：FR(D)习题48图从

8、以上各式可解得MgR1 J MR2显然FRJMgRJm习题49图所以，应中选择答案(C)。习题49 一长为I，质量可以忽略的细杆，可 绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面作定轴 转动，在杆的另一端固定着一质量为 m的小球， 如下列图。现将杆由水平位置无初速度地释放， 那 么杆刚被释放时的角加速度0 ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度°解：细杆对轴的转动惯量为 J=ml2，由转动 定律，当杆刚被释放时的角加速度为M lmg g 0 J ml2 l 当杆与水平方向夹角为60°时的角加速度为Mmgl cos60gJml22l习题410长为I、质量为M的匀质细杆可绕通过

9、杆的一端 0的水平光滑固定轴转动，转动惯量为Ml彳3，开始时杆竖直下垂，如下列图，有一质量为 m的子弹 以水平速度vo射入杆上A点，并嵌在杆中，0A=2I 3，那么子弹射入后瞬间杆的角速度/解：子弹射入杆并嵌在其中，射击过程系统角 动量守恒212mvo(-l) -Ml2 m(-l)2333容易解得2l 3IAVo习题410图(4 3M m)l习题411两个质量都是100kg的人，站在一质量为200kg、半径为3m的水 平转台的直径两端，转台的固定转轴通过其中心且垂直于台面， 初始时，转台每 5s转动一圈，当这两个人以一样的快慢走到转台中心时，转台的角速度。(转台对转轴的转动惯量J MR22，计

10、算时忽略转台在转轴处的摩擦) 解：系统角动量守恒1 2 2 1 2(MR 2mR ) 0 MR2 2式中°为系统的初始角速度，其值为rad/s5所以，当两个人以一样的快慢走到转台中心时，转台的角速度为1 2 2-MR 2mR21MR20.5 200 32 2 100 32 20.5 200 3253.77 rad/s习题412 一飞轮由一直径为 30cm、 厚度为2.0cm的圆盘和两个直径都为 10cm、长为8.0cm的共轴圆柱体组成， 设飞轮的密度为7.8kg?m-3,求飞轮对轴 的转动惯量。解：转动惯量具有可加性，而且圆盘 和两个圆柱体共轴，因此飞轮对轴的转动惯量为轴题解412图

11、b > I1 212121 d1 d1 2Jm1 R12m2R2(11)(-)(4d；4d2 2 咗)132i32di4li116d21213244(lidi 22)7.8 1 033.14 ( 0.02 0.3042 0.08 0.104)0.136kg? m2习题413 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03X 103N - m, 涡轮的转动惯量为 25kg m2。当轮的转速由2.80X 103r min一1增大到1.12X 104r min一1,所经历的时间t为多少？解：根据转动定律，涡轮的角加速度为M 2.03 103281.2rad/sJ25再由刚体转动运动学公式

12、所经历的时间t为212 (n2 nJ2 3.14 (1.12 104 2.80 103) 10.8 s 81.2 60习题414 质量为0.50kg、长为0.40m的均匀细棒，可以绕垂直于棒的一端的 水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下。求：1当棒转过60°时解：1当棒转过 时所受的力矩为的角加速度和角速度；2下落到竖直位置时的动能；3下落到竖直位置时的 角速度。根据转动定律，棒的角加速度为mgl cosM(1 2)mgl cos3gJ (1 3)ml22l COs当 60时3 9.82 0.40根据定义cos 60218.4 rad/sddddtddtd d2lcos别离

13、变量再积分%sd0 2l棒的角速度为当 60时1 2 3g .sin2 2l甲sin3 9.80.40sin607.98rad/s(2)下落到竖直位置时的角速度为3 9.80.40sin 908.57rad/s所以棒的动能为Ek -J 2 - -ml22 - 0.50 0.402 8.572 0.98J22 36此步还可用机械能守恒定律求得棒的动能：设重力势能零点在棒原来的水平位 置处，那么有10 Ek ( mgl)2所以1Ek mgl 0.5 0.50 9.8 0.400.98J(3)由(2)可知，下落到竖直位置时8.57 rad/sA目八目B习题415图习题415 如下列图，A和B两个飞轮

14、的轴 杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别 为 JA=10kg?m2 和=20kg?m2，开始时，A 轮 转速为600rev/min, B轮静止，C为摩擦啮 合器，其转动惯量可忽略不计，A、B分别 与C的两个组件相连，当 C的左右组件啮 合时，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮 的速度相等为止，设轴光滑，求：(1)两轮啮合后的转速； 两轮各自所受的冲量矩解：A 2 nA 2600 6020 rad/s；由角动量守恒有J A A (J A JB)J A A102020 9 rad/s=200rev/minJ AJ B1020- 7 d VI/厶 W1 匸 V/1 1 III 1(2)由角动量定理

15、GALA2LA1J AJ A A1020.910 20 3.14419N?m?sGbGa419N?m?s解得或者GbLb2 LbiJ BJ B B20 20.9 0419 N?m?s习题4 16 匀质细棒长为2L,质量为m, 以与棒长方向相垂直的速度 V0在光滑水平面 平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于棒中心的一方 L/2 处，如下列图。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度 。(细棒绕通过其端点且与其垂 直的轴的转动惯量为ml2. 3，式中的m和I分 别为棒的质量和长度)解：棒与O点碰撞前后其角动量守恒。 但棒碰撞前的角动量须作积分才能求得，为 此，我们在棒上距支点

16、 O为x处取线元dx , 其元角动量为BA习题416图dL x dm v0 x dx v0式中 为棒的质量线密度。由此，我们可以得到碰撞前棒的角动量为L23L'2L0L1L2o x dx v0o x dx v0mv0L 9mv0L1,mv0L 16 162碰撞后棒的角动量为L J式中J为棒对O点的转动惯量3L.：2 272J dJx dx mLL.212L。L2mv0 L J ( mL )2 12解得6vo7L习题4 17图习题417如下列图，一个质量为 m的物体与 绕在定滑轮上的绳子相连，绳子质量可以忽略 不计，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质 量为M，半径为R，其转动惯量为MR2

17、 2，滑 轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程 中，下落速度与时间的关系。解法I :对物体m：mg T ma 对定滑轮(圆盘刚体):1 2TR (MR2)2由角量与线量的关系a R联立以上三式可得a2m M可见，物体下落的加速度是常量。又因为其下落的初速度为零，所以，物体下落 速度与时间的关系为2mgtv at2m M解法n :把圆盘和物体作为定轴系统，由角动量定理有(mgR)t (Rmv J )0又因为1 2J -MR ，v R2由上述关系可以解得2mgRt v2m M习题418 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J=3.0kg?m2，角速度0 6.0rad/s，现对物体加一恒定的制

18、动力矩M = - 12N?m，当物体的角速度减慢到2.0rad/s时，物体已转过了角度。解：物体的角加速度为12J 3.04rad/s2由于角加速度为恒量，所以满足公式因此2.02 6.022 ( 4)4.0rad习题419 一定滑轮半径为0.1m,相对于中心轴的转动惯量为1xi0-3kg?m2, 一变力F=0.5t(SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态， 忽略轴承的摩擦，试求它在1s末的角速度。解：作用于定滑轮上的外力矩为M FR 0.5t 0.10.05t定滑轮的角加速度为M 0.05t350tJ 1 10因此50tddt应用初始条件t=0时，00，对上式积分d01

19、50tdt 250所以，定滑轮在1s末的角速度为25 rad/s习题420电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定转速，此时相应的角 速度为°，当关闭电源后，经过t2时间风扇停转。风扇转子的转动惯量为 J,并 假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据推算电机的电磁力矩。解法I :设电机的电磁力矩为 M，摩擦阻力矩为Mf。由转动定律，从开启 电源到到达额定转速的过程中有M Mf J 1 从关闭电源到风扇停转的过程中有M f J 2 由刚体运动学公式有01上1002t2 联立以上四式可得电机的电磁力矩为tit2解法n :由刚体角动量定理可得(M M f)t1 J0 0 M f 0

20、 J o 联立以上两式可得电机的电磁力矩为习题421转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，角速度为°，设它所受阻力矩与角速度成正比，即M 时间。解：由转动定律k (k>0)，求圆盘的角速度从°变为。；2所需要的MkJ ddt别离变量并积分0 2 dk tdt0J 0解得t -l n 2 k习题422 一轻绳跨过两个质量均为m、半 径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别 挂着质量为m和2m的重物，如下列图，绳与滑 轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮 的转动惯量均为mr2 2，将由两个定滑轮以与 质量为m和2m的重物组成的系统从静止释 放，求两滑轮之间绳的力。解：对滑轮和重物分别列式可得2mg T1 2ma(T1 T3)r 丄 mr22(T3 T2)r -mr22a r联立以上五式可求得两滑轮之间绳的力习题4 22图mg !题解4 22图T2 mg ma11T3严习题423质量分别为m和2m、半径分别为 r和2r的两个均匀圆盘，同