一、问题的提出

1、一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.已知已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）为电阻）的分布等的分布等.t0t0 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X

2、 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面进行讨论下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的上都是重要的.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时，时， Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.3013502075.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率的事件，两者具有相同的概率.故故如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作

3、适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概率函数为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(如：如： X1 . 016 . 03 . 001则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：406010.Y 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )2

4、8y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)( xfX即即 8 y 0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yFyFXX若若exxfX2221 )(则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：0, 00,21)(221yyyf

5、eyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X) y 等价的等价的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从的分布，从而求出相应的概率而求出相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.例例4 设随机变量设随机变量X的概率

6、密度为的概率密度为其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度., 0)(yFY当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 1)(yFY10 y x0当当时时故故解：注意到解：注意到,xsinx0 01 1)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） ydxxarcsin022ydxxarcsin22解：当解：当0y1时时, 例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.xsinx0 01 1y当当0y1, G(y)=1;对对y0 , G(y)=0;10

7、y由于由于对对0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y)=P(X (y)1F1F=F( (y)= y1, 110,0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函数是的分布函数是其它, 010, 1)(yyg求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见, Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 例如，想得到具有密度函数为例如，想得到具有密度函数为的随机数的随机数. 000)(xxexfx0参数为参数为 的的指数分布指数分布 根据前面的结论，根据前面的结论， Y=F(X)服从服从0,1上上的均匀分布的均匀分布. 由于由

8、于 当当x0时，时， xexF1)(是严格单调的连续函数是严格单调的连续函数 .应如何做呢？应如何做呢？ Y=F(X)服从服从0,1上的均匀分布上的均匀分布. 由于由于 当当x0时，时， xexF1)(是严格单调的连续函数是严格单调的连续函数 .记记 u=F(x)为为0,1上的随机数上的随机数, u=1- -xe则由则由x即为指数分布的随机数即为指数分布的随机数.得得)1ln(ux由于由于1-u仍为仍为0,1上的随机数上的随机数,上式也可写为上式也可写为rxlnr为为0,1上的随机数上的随机数 于是得到产生指数分布的随机数的方于是得到产生指数分布的随机数的方法如下法如下:均匀随机数均匀随机数

9、r给指数分布参数给指数分布参数指数随机数指数随机数令令rxlnx其它, 0,)()()( ydyydhyhfyfY其中，其中，),(minxgbxa),(maxxgbxa此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率，具有概率密度密度 f(x)的连续型的连续型r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且对于任意对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，它的概率密度为，它的概率密度为0)( xg0)( xg例例6

10、 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 02xy于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取绝对值绝对值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 对于连