同济大学数学系编

1、同济大学数学系 编 线线 性性 代代 数数（第六版）（第六版）课程简介课程简介 线性代数是理工科学生学习的三大数学课程之一，学好这门课线性代数是理工科学生学习的三大数学课程之一，学好这门课程，会对学习程，会对学习线性规划线性规划，运筹学运筹学等课程有所帮助，也能等课程有所帮助，也能为从事经济计量分析提供有力的工具。目前，线性代数还是研究为从事经济计量分析提供有力的工具。目前，线性代数还是研究生入学考试中生入学考试中高等数学高等数学所考的重要内容之一。我们在本课程所考的重要内容之一。我们在本课程中将主要介绍线性方程组及其相关理论。中将主要介绍线性方程组及其相关理论。教材说明教材说明 本教材由浅入

2、深地讲解了五章内容（第一章至第五章），在线本教材由浅入深地讲解了五章内容（第一章至第五章），在线性代数的教材中属于较为精练的。性代数的教材中属于较为精练的。教学要求教学要求1 1、仔细听讲，适当做好笔记；、仔细听讲，适当做好笔记；2 2、课后认真复习，按时提交作业；、课后认真复习，按时提交作业；3 3、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。成绩评定成绩评定1 1、本课程为考查课；、本课程为考查课；2 2、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成）、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成）3 3、平时成绩包括：

3、出勤、作业、课堂笔记等。、平时成绩包括：出勤、作业、课堂笔记等。第一章第一章 行列式行列式11 1122121 12222(1)(2)a xa xba xa xb1222)2() 1(aa1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式212221121122211)(baabxaaaa得得12212211 2121121122122111221221,baa ba bbaxxa aa aa aa a当当021122211aaaa时，方程组有时，方程组有(唯一唯一)解解一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式如何如何“长久长久”记住上面的公式？记住上面的公式？11211122221

4、2121112111221222122,baabbaabxxaaaaaaaa记记2112221122211211aaaaaaaa则有：则有：2112221122211211aaaaaaaa二阶行列式定义：二阶行列式定义：分母不能为零！分母不能为零！对角线法则（划线法定义）对角线法则（划线法定义）:22211211aaaa主对角线主对角线副对角线副对角线2112aa2211aa例例1. 解方程组解方程组 1212232121xxxx解解：07)4(31223D14112121D21121232D, 271411DDx372122DDx二、二、 三阶行列式三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组类似地

5、，讨论三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a得到得到三阶行列式三阶行列式的定义的定义对角线法则（划线法定义）：对角线法则（划线法定义）：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa例例2：381141102416482

6、48)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(22 全排列和对换全排列和对换一、排列及其逆序数一、排列及其逆序数定义定义1：把：把 n 个不同的元素排成的一列个不同的元素排成的一列, 称为这称为这 n个元素的个元素的一个全排一个全排 列列, 简称排列。简称排列。例例3：1, 2, 3 作成的全排列如下：作成的全排列如下：123，231，312，132，213，321共有共有321 =3！= 6 种。种。 一般地，一般地， n个元素作成的排列共有个元素作成的排列共有 n!种。种。下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。标准次序：由小到

7、大的排列次序。标准次序：由小到大的排列次序。定义定义2：在在n个个 元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序逆序，一个排，一个排列中所有逆序的总数称为这个列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫逆序数为奇数的排列叫奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列叫，逆序数为偶数的排列叫偶排列偶排列。例例4：求排列：求排列 32514 的逆序数。的逆序数。解：解： 3 2 5 1 43 2 5 1 4故该排列的逆序数是故该排列的逆序数是5 5。(32514)5(

8、32514)5N可记作或二、对换二、对换定义定义3 对调排列中两个元素的位置，其余元素不动，称为对换。对调排列中两个元素的位置，其余元素不动，称为对换。 （对换分为相邻对换和不相邻对换。）（对换分为相邻对换和不相邻对换。）定理定理1 （经过一次）对换改变排列的奇偶性。（经过一次）对换改变排列的奇偶性。推论推论 奇排列对换成标准排列（奇排列对换成标准排列（1 2 3 n）的对换次数为奇数，偶排列）的对换次数为奇数，偶排列 对换成标准排列的对换次数为偶数。对换成标准排列的对换次数为偶数。14二阶行列式二阶行列式1212121112(12)(21)112212211122122()1212122(

9、1)( 1)( 1)j jjjj jaaa aa aa aaaa aaa 1 2 31231 2 3()123( 1)j j jjjjj j ja aa3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义仔细观察前面提到的二、三阶行列式，可以将它们的形式作等价变形：仔细观察前面提到的二、三阶行列式，可以将它们的形式作等价变形：111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a三阶行列式三阶行列式n阶行列式阶行列式有没有类似有没有类似形式？形式？定义定义1： n! 项项nn

10、ppptaaa2121)1(的和的和nnppptaaa2121)1(称为称为 n 阶行列式阶行列式 (n1)，记作，记作另记：另记：1 2121 21112121222()1212( 1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa不同行不同列的不同行不同列的n个元素的乘积个元素的乘积取遍了所有可能取遍了所有可能代数和代数和1 2121 21112121222()1212( 1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa注：注：n阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。按不同行不同列只能按不同行不同列只能取到主对角线上的取到主对角线上的n个元素作乘积，由定个元素作乘积，由定义得该行列式等于义得该行列式等于（2）下三角形行列式）下三角形行列式nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 例例 5 5 试证明：试证明：（3）上三角形行列