注册岩土工程师基础考试基本公式汇总

1、高等数学公式导数公式：基本积分表:2(tgx) = sec x(ctgx)二-csc2 x(secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax) = axln a1(logax)xln a(arcsin x)：1(arccos x)=(arctgx)二12-x121 -x21(arcctgx) = -1 x三角函数的有理式积分：tgxdx - -ln cosx C ctgxdx = In sinx Cs secxdx = In secx + tgx + Cdx.2-cos xdx2sin x2=sec xdx = tgx C2= csc xdx - -ctgx C

2、ccscxdx = In cscx - ctgx + Csecx tgxdx = secx Csin xdx.2a xdx.-22x -adx22a -xdx. a21 u2一些初等函数:1, x c二-arctg Caln2an2ax -a口 c a -x.x _=arcsin- C acscx ctgxdx - -cscx Cxa xdx =- C ln ashxdx = chx Cchxdx = shx Cj dx = ln( x + dx2 a2) + C-x2,a22万门_1In = sinnxdx = cosn xdx I00n2! ： x2 a2dx 二 x , x2 a2 ln

3、(x . x2 a2) C 22, , 2r j22,x ,2 a , 上；22I x x -a dx =Fx -a lnx +、x -a222! a2 -x2dx = * a2 -x2arcsin C22 a21-u, x . 2ducosx =7, u =tg , dx =71 u221 u2两个重要极限:双曲正弦双曲余弦双曲正切x x, e -e:shx :2x_x. e e:chx :2x-xs shx e -e：thx =- chx e esin x /lim =1x-0 x1 xlim (1 -)x =e = 2.718281828459045x xarshx=ln(xx21)2a

4、rchx=ln(xx-1)1 1xarthx=-ln2 1-x三角函数公式：和差角公式:诱导公式：数角A.sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180-sin-cos-tg-ctgaaaaa180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+-cossin-ctg-tgaaaaa360-sincos-tg-ctgaaaaa360+asinacosatgactga和差化积公式:sin(1二P)=sin:cos。-cos-sin:cos(、之二P)

5、=cos_：cos:-sin.：sin:tg（二-：）=tgj-tg11tg二tg:ctg(:工二I1)ctgCctg：-1ctg匚,二ctg;Ga+Pa-Psin：rsin:=2sincos22a+Pa-Psin；.；-sin:=2cossin22Ra+Pa-Pcos：Fos:=2coscos22Ra+Pa_Pcos-cos-2sinsin倍角公式:sin2：=2sin=cos二2222cos21=2cos:-1=12sin二=cos:-sin;一一2,cctg-1ctg2：=-2ctg;c2tg二tg21一tg:3sin3：-3sin：-4sin;3cos3-4cos:-3cos二33tg

6、：-tg:、tg3：=-1-3tg2：半角公式：,a,：1-cosasin=.221cos.工cos一2:2,二1-cos二1-cos二sin二tg=.=211cos二sin二1cos;正弦定理：_a_=)_=_c_=2RsinAsinBsinCTt,反三角函数性质：arcsinx=arccosx2高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:,二1cos二1cos二sin;ctg=21-cos二sin二1-cos;余弦定理：c2=a2，b2-2abcosCarctgx=arcctgx2n(n)-k(n_k)(k)(uv)=Cnuvkz0(n)(n_L)n(n1)(n.2)1rn(n1)(nk1

7、)(n)(k)=uvnuvuvuv一uv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)f()(b-a)柯西中值定理:当F(x)=x时,曲率：弧微分公式：f(b)-f(a)_f()F(b)-F(a)F()柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。ds=j1+y2dx,其中y二tgo(平均曲率:Act-s.Act:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;As：MM弧长。M点的曲率:AaLsd二dsyi.(1y2)3直线：K=0;半径为a的圆:定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)ab：b:K(y0yn)y1抛物线法：f(x)：g(y0yn)2(y2y4ynj)4(y1yay

8、n)定积分应用相关公式:功：W=Fs水压力：F=p.A引力：f=kmm2,k为引力系数rb函数的平均值：y=-1-f(x)dxb-a均方根：.1f2(t)dt1b-aa多元函数微分法及应用全微分：dz=dxdydu=dxdydz二x二y二x二y二z全微分的近似计算：，z:dz=fx(x,y).xfy(x,y).：y多元复合函数的求导法：dz；:zfu；:z；:vz=fu(t),v(t)kV7V7J_lt.1-.c.1-.fdt二u二t:v二tz二z二u二z二vz=fu(x,y),v(x,y)=；x；u;x:V；x当u=u(x,y),v=v(x,y)时，du：u7*7dxdy.xtydv二dxe

9、x二vddy-y隐函数F (x, y) =0,dy _Fxdx F、，隐函数的求导公式:-2dyFFxx.：(Fxxdy2-=()十()dxtxF:vFydx隐函数F(x,y,z)=0,立fxFxFz隐函数方程组:F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0；z_Fy3二,：(F，G)J-f(u,v)FvGv2 V _Fx1 .f(F ,G)J .:(u, x),:u二1f(F,G)：:xJ：:(x,v)2u_1f(F,G)NJ：:(y,v)2_f(F,G)2yJ：:(u,y)多元函数的极值及其求法:fxy(x, y) =B, fyy(x, y) =C设fx(x,y)=fy(x0,y0)

10、=0,令：fxx(x0,y0)=A,AC -B2 CW,则： AC -B2 0时,A0,(x0,y0)为极小值,无极值AC-B2=0日t不确定重积分及其应用:iif(x,y)dxdy=f(rcosn，rsin?)rdrd1DD-曲面z=f（x,y）的面积M.x：(x，y)d二平面薄片的重心：x=M=M11P(x,y)deD,Myy=M!y：(x,y)d二DIl:(x,y)dcD平面薄片的转动惯量:对于x轴Ix=Hy2P(x,y)dcr,对于y轴Iy=JJx2P(x,y)dcrDD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a0）的引力:F=Fx,Fy,Fz,其中:Fz = _fa

11、：(x,y)xd二 3D (x2 y2 - a2产Fx二fx,y)xd；=3,Fy=f：(x,y)ydJD(x2y2-a2)2D(x2y2a2产常数项级数：n等比数列：1qq-q-=1-q等差数列：123，n=W_1)-n2调和级数：1工是发散的23n级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1时,级数收敛设：P=limn/UT,则Pa1时，级数发散nJpCv,P=1时，不确定2、比值审敛法：设:：=lim Un，则n F： U ny二0）的审敛法 莱布尼兹定理:sn=u1+u2+un;limsn存在，则收敛；否则发nnn)二二n交错级数U1u2+u3-U4+(或u1+u2u3

12、+su1,其余项rn的绝对值rn Un*。UnUn书如果交错级数满足一那么级数收敛且其和limun=0j-jpe绝对收敛与条件收敛：（1）U1+U2+-+Un+，其中Un为任意实数；(2)U1+U21+U3十十|Un+如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称为条件收敛级数。调和级数：、.1发散，而,、匕口-收敛；nn级数：、,；收敛;np-1时发散p.1时收敛哥级数23nX：:时，收敛于1xxx，x:1-X|x_1时，发散对于级数（3）a0+a1x+a2x2+十anxn十，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存/|xR时发散，其中

13、R称为收敛半径。|x=R时不定求收敛半径的方法：设.an+lim-Tan=P，其中aan卡是（3）的系数，则（P=0时，R=+cP=时，R=函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:f(x0)2f(x0)nf(x)=f(x0)(x-x0)(x-x0)(x-x0)2!n!余项：Rn=f(n1)()(n1)!（x-x0）n由f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0xo=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)f(0)x-Ux2-.5xnn!些函数展开成骞级数:m.m(m-1)2m(m-1)(m-n1)n(1x)m=1mxx2xn2!n!（一1：x：1）35xxsinx=x3!5!欧拉公式

14、：2n1(-1)nJ(2n-1)!ix_ixe+ecosx=eix=cosx+isinx或42ix-ixe-esinx:2三角级数：odCOf(t)=A0Ansin(nt：n)=曳%(ancosnxbnsinnx)n12nm其中，a0=aAg,an=AnSinQ,bn=AnCOS*n，8t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在-兀，元上的积分=0。傅立叶级数：f(x)=八(ancosnxbnsinnx),周期2n1二一、,=一f(x)cosnxdxan其中bn冗-511二=f(x)sinnxdxji-3T(n=01,2)(n=1

15、,2,3)d1112-丁3252111-2-222426282442bn1丁1_2=一（相加）6_2=一（相减）12正弦级数:an=0,余弦级数:bn=0,an二0周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2=f(x)sinnxdx二02二=f(x)cosnxdxn=1,2,3n=0,121、向量代数向量的有关概念；向量间的夹角、向量的方向角、模长:f(x)=bnsinnx是奇函数f(x)=a_+ancosnx是偶函数厅向余弦、向量在数轴上的投影向量的坐标a-ax,ay,azJ=axiayjazk在相应坐标轴上的投影222xayaz方向余弦：cos工axax|a|,a2-a2,a2ay222，xaya

16、zcos=7|a|aza：a；-a20单位向量a7cos：,cos：,cos向量的运算：线性运算：加法亲胃、减法a_b、数乘at乘积运算：数量积、向量积向量的数量积abbcosr-axbxaybyazbz几何意义;J)aba在b上的投影性质：（1）T22.2.2xayaz(2)ab=0=a_b：=axbxavbvazbz=0xxyyzz微分方程的相关概念:一阶微分方程：y，=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法:g(y)dy=f(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程

17、可以写成包=f(x,y)=P(x,y),即写成的函数，解法：dxx设u=,则5=u+xdu,u+ju=Wu),jx=du分离变量,积分后将上代替u,xdxdxdxx：(u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：曳P(x)y=Q(x)dx/当Q(x)=0时,为齐次方程，y=CeI(、当Q(x)#0时，为非齐次方程，y=(JQ(x)e(x)dxdx+C)eTP(x)dx2、贝努力方程：dyP(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即:uudu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=

18、0,其中：丁=P(x,y)=Q(x,y)二x二yu(x,y)=C应该是该全微分方程的通解二阶微分方程：翳忤(噫+3加=”f(x)三0时为齐次f (x):0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)ypyqy=0,其中p,q为常数;求解步骤:1、写出特征方程：(开2+pr+q=0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y”,y：y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：ri,2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2-4q0)rixr2xy=c1e+c2e两个相等实根(p24q=0)y=(c1+c2x)er1x一对共轲复根(p

19、24q0)ri=豆+iP,2=cc-iPE=、4q-P22,2y=ecx(c1cosBx+c2sinPx)二阶常系数非齐次线性微分方程y*+py，+qy=f(x),p,q为常数f(x)=ePm(x)型，儿为常数；f(x)=eR(x)costox+Pn(x)sinsx型二、空间解析几何（一）空间直角坐标系（三个坐标轴的选取符合右手系）空间两点距离公式PQ=（x2-x1）2（y2-y1）2（z2-乙）2（二）空间平面、直线方程1、a、空间平面方程b、点法式一般式A(x-Xo)B(y-yo)C(z-Zo)=0AxByCzD=0c、截距式d、点到平面的距离d二Ax0By0CzqD.A2B2C22、空间

20、直线方程a、般式，A1x+B1y+C1z+D1A2xB2yC2zD2=0b、点向式（对称式）c、x=Xo参数式y=y0x-Xolltmt匕Y0=_z二z0（分母为0,相应的分子也理解为0)z=z0kt3、空间线、面间的关系a、两平面间的夹角:两平面的法向量TniTn2两平面位置关系:&1 / &2 :二Tn1 /n2匕的夹角9 (通常取锐角)jAl _ _B1 _ CiA2 一 B2 一 C2A1A2B1B2C1C2=0b、两直线间的夹角:两直线的方向向量的夹角两直线位置关系:eii（取锐角）_ m _ nm2 n2TLi L2 = a1一Ta2匕l1l2m1m2 n1n2 : 0（取锐角）称

21、为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时,（邛=日2线面位置关系：L 二u a _ n ：=T -fL 二二a / n =lA mB nC =0_l m _ _n ABCb、平面与直线间的夹角线面夹角：当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角a。f(x)二八(ancos2 nbn sin),周期=2lan其中bn1 l 一、=f(x)cos1 lf (x)sinn 二 x ,dxl(n =0,1,2 )n 二 x /dxl(n =1,2,3 )物理学1、执学pv=MRT ； P = nkT ；=2 nA； 5 = EkT； Z=，kT；冰 E =M，RT 32222、麦氏分布:, dNf v =，表示单位速度间隔的分子数占总分子数的百分比。Ndv最概然速率Vp=1/J-;平均速率 v = 1.6jJ-;方均根速率v v2 =1.7 |九工V-丫 N3、平均碰撞次数2 一1Z=j2nd vn；平均自由程 Z = -j=r4、等温过程PV 一 V 一一一 P，一，,=C ;等压过程 V = C ;等容过程工二C ;绝热过程比等温