注册岩土空间解析几何与向量代数

1、注册岩土工程师考试高等数学第一节空间解析几何与向量代数一、向量代数1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影一一r,向量的坐标a-；ax,ay,az：=axiayjazk在相应坐标轴上的投影模长：a=,a2+ay+a2方向余弦：cosCt=ax-=ax|a*|Jax+a+a2ay_ay由Ja2+ay+a2cosaz 二az| a| . ax2 a2 a"第9页共8页单位向量o,a=icos=,cos:,cosJ2、向量的运算：(1)向量的加法：向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则。*34(2)向量的减法：向量a与一b的和称为a与b的差，记作

2、ab。(3)数与向量乘法：实数K与向量a的乘积九a是一个平行于a的向量，它的模是向量a的",JT模的九倍，即九a=八a,并规定，当儿A0时，Ka与a的方向相同，当九0时，aa与a的方向相反，当九=0时，九a为零向量。3.向量的加法，数与向量的的乘法有以下运算性质：(1) 交换律a+b=b+a(2) 结合律(a+b)+c=a+(b+c)TM2a)=(.)a(X,是数)；444(3)分配律(%+曰a=Ka+%(九,弱!数)；Ma+b=九a+Kb是数)>>向量的数量积ab（内积）平面向量数量积（内积）的定义，a?b=|a|b|cos。!并规定0与任何向量的数量积为0。a b c

3、os?=axbx ' ayby ' azbz几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos。的乘积。性质:2,2,2a=ax+ay+azTTTT(2)ab=0ua_Lbuaxbx+avbv+azbz=0xxyyzz向量的向量积（外积、叉积）两向量a和b的向量积是一个向量c,记为c=aMb。c由下列条件确定：（1）c=aMb=a11bsin（a,b）,（0毛abWn）。（2） c_La且c_Lbo（3） a、b、c的方向服从右手法则：即平移a、b、c使其有共同的始点，当右手的四个手指从a以不超过冗的角度转向b握拳时，大拇指所指方向就是c的方向。向量积又称为叉积或外

4、积，向量积的模的几何意义是：它的数值是以a、b为邻边的平行四边形的面积。向量的向量积满足下列运算规律(1)aMb=-bMa(Xa)xb=Ma父功=a义(/b)(为实数)ayb+c)=aMb+aMc(bc)a=bacaijkaMb=(axi+ayj+azk)父i十byj+bzk)=axayazbxbybzaybyazbzaxbxay by两向量间的关系设a-妊，a2,a3；b-'h,b2,b3:关系向里表小向里坐标表小a,b间夹角(华)cos邛=a-b同bcos(p_ah+a2b2+a3b322221222Vai+a2+a3bbi+b2+b3a与b垂直ab=0aibi+a2b2+b3b3

5、=0a与b平行a父b=0史义曳bibb3、空间解析几何(一).空间解析几何1 .空间解析几何研究的基本问题(1)已知曲面(线)作为点的几何轨迹，建立这曲面(线)的方程。(2)已知坐标x,y和z间的一个方程(组)，研究这方程(组)所表示的曲面(线)。2 .距离公式空间两点A(xi,yi,Zi)与B(x2,y2Z)间的距离d为d=，仅2xi2+(y2yif+(Z2Zi23 .定比分点公式M(x,y,z遑AB的分点：AM=九，点A,B的坐标为A(xi,yi,Zi),MBB(x2,y2,Z2恻xix2y1y2zi1z2x二,y=,z=iii1当M为中点时，xix2yiy2ZiZ2x二,y=,z=222

6、(二).平面及其方程1 .法(线)向量，法(线)方向数。与平面几垂直的非零向量，称为平面n的法向量，通常记成n。法向量m,n,p的坐标称为法(线)方向数。对于给定的平面n,它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2 .点法式方程已知平面n过M(Xo,yo,Zo说，其法向量n=AB,C,则平面n的方程为A(x-Xo)+B(y-yo)+C(zZo)=0或n(rr0)=0其中ro=lx。，yo,zo；r=",y,z.3 .一般式方程AxByCzD=0其中A,B,C不全为零。x,y,z前的系数表示n的法线方向数，n=A,B,C是n的法向量。特别情形：Ax+By+Cz=0,表示通过原点的

7、平面。Ax+By+D=0,平行于z轴的平面。Ax+D=0,平行yOz平面的平面。x=0表示yOz平面。6.有关平面的问题两平面为：-：1:A1xB1yC1zD1=0二2：A2xB2yC2zD2=0n1与“间夹角即)巾AA2+B1B2+C1C2cos中二二j；A2+B2+C：、/A*B2+C22垂直条件AA2+B1B2+C1C2=0平行条件A1且12'A2-B2C2JD2J重合条件A旦_C_2A2一B2-C2D2设平面冗的方程为Ax+By+Cz+D=0,而点M（x1,y1,z1）为平面冗外的一点，则M到平面n的距离d:Ax1+By1+Cz1+Dd:一,，A2+B2+C2（3） .直线及其

8、方程1 .方向向量、方向数与直线平行的非零向量S,称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2 .直线的标准方程（对称式方程）。x-X0y-y0z-Z0lmn其中（小，丫。？。）为直线上的点，l,m,n为直线的方向数。3 .参数式方程x=x°lty=y°mtz=z0nts=4,m,nt为参变量。4 .一般式方程（作为两平面的交线）Ax+B1y+C1z + D1 =0A2x+B2y+C2z+D2 =0s = '：A,Bi,cJ 况岛12):x-x2 _ y-y2,I2m2z- z2/5 .有关直线的问题两直线为x-为二y-yi=z-乙li色niL与L2间夹角（日

9、）口用2+mIm2+n1n2cos0=1,W；+m；+n2,3+m2+n2垂直条件"2+m1m2+4%二0平行条件lm1n1=，=l2m2n2（4） .平面与直线相互关系平面n的方程为：Ax+By+Cz+D=0|法向量n(A,B,C)直线L的方程为：xx0 _ yy0l m三二包方向向量S(l, m, n) nAl+Bm+Cn;八22-222222VA+B+Cvl+m+nL与冗间夹角(ct)nS（=cosB=百厂|）ln|SL与n垂直条件Jm_nA一B一CL与n平行条件Al+Bm+Cn=0L与n重合条件Al+Bm+Cn=0L上什-点在冗上三.常见的曲面方程1.球面方程设Po(X0,y

10、o,Z0)是球心，R是半径，P(x,y,z)是球面上任意一点，则|P°p=R,即(x-Xo2+(yy°f+(z4f=R22.旋转曲面的方程f(x,z)=0,(1)设L是xOz平面上一条曲线，其方程是,L绕z轴旋转得到旋转曲面，J=0.设P(x,y,z)是旋转面上任一点,由点F0(x0,O,z0旋转而来(点M(0,0,z)是圆心)。由|x0|=|MP0|MpP=jx2+y2,z0=z得旋转面方程是f二.；x2y2,z=0或由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)(tw依，P得旋转面的参数方程x=Jf2(t)+g2(tJcosH,jy=jf2(t)+g2(tjsinj

11、0f<t<p,0<e<2nz=ht.(2)求空间曲线3F1'x，y，Z)-0绕Z轴一周得旋转曲面的方程p2(x,y,z)=0第一步：从上面联立方程解出x=f(z),y=g(z)22一22第二步：旋转曲面万程为x,y=fzgz绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理。5.二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面222xyz(+J+=12,22abc旋转抛物面22+y=zp>0)2p2p椭圆抛物面22+=z(p,q>0)2p2q双曲抛物面22-2p+2q=zp,q>0)单叶双曲面222xyz.+-12,221abc双叶双曲面222xyz2+2-2-1abc二次锥面222L+匕一二=02,22abc椭圆柱面22x±y十一=12.21ab双曲柱面22x-，=1a2b2抛物柱面2=y(p>0)2p(四).空间曲线在坐标平面上的投影1 .曲线C的方程；F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0曲线C在xy平面上的投影先从曲线C的方程中消去z得到H(x,y)=0,它表示曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面方程，那么'H(x,y)=0