函数单调性、奇偶性、周期性

1、精选文档函数单调性、奇偶性、周期性知识点梳理（一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数在原点有定义，则；2、是奇函数图像关于原点对称；3、是偶函数图像关于y轴对称；4、一些判断奇偶性的规律:奇±奇=奇，偶±偶=偶奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性 方法：导数法； 规律判断法；图像法。1、单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负；3、对于已知单调区间求参数范围，一般有以下两种方法：转化为恒成

2、立问题，接着用求最值的视角去解决；先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。4、一些判断单调性的规律:减 + 减 =减，增 + 增 = 增；的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数分解为基本初等函数： 与；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性。（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有，则称函数为周期函数，为它的一个周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。2、三角函数的周期，3、与周期有关的结论：或 的周期为；的周期为；的周期为；考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、 设函数

3、f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是 . 变式1、 若函数为偶函数，则a=（ ） ABCD变式2、 函数的图像关于（ ） A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称（二）考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性（1） （2）变式3、已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1） （2）（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意R有，则下列说

4、法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数变式5B、已知函数，当时，恒有，求证是偶函数。（三）考查一般函数的单调区间（暂不讲）例4、 设函数，求函数的单调区间； 变式6、函数的单调递增区间是（ ）A. B.(0,3) C.(1,4) D. （四）考查复合函数的单调区间例5、判断函数f(x)=在定义域上的单调性.变式7、求函数y=（4x-x2）的单调区间.（五）考查函数单调性的运用例6A、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（ ）(A) (B) (C) (D) 变式8、(2008全国)设奇函数在上为增函数，且，则

5、不等式的解集为（ ）ABCD例6B、已知函数在区间上递增，求的取值范围。变式9、已知函数，常数 （1）略 （2）若函数在上为增函数，求的取值范围 （六）考查函数周期性的应用例7、函数对于任意实数满足条件，若则_。变式10、已知函数满足：，则=_.变式11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 ( )(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内，且不可以有“”，只能用“和”，“，”.2、含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立

6、的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与a，验证f(a)±f(a)0.4、函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.课后强化1.若函数，则下列结论正确的是（ ）A，在上是增函数21世纪教育网 B，在上是减函数C，是偶函数 D，是奇函数2. 下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（ ）A= B. = C .= D 3.已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（

7、）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）4.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6、已知在R上是奇函数，且（ ） A.2 B.2 C.98 D.987、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-38、给定函数，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）（A） （B） （C） （D）9、若函数f（x）=3x+

8、3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ） Af（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数10、11、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_12、以下4个函数: ; ; ; .其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( )A. B. C. D. 13、已知函数若f (a)M, 则f (a)等于 ( )A. B. C. D. 14、设yf (x)是定义在R上的奇函数, 当x0时, f (x)x 22 x, 则在R上f (x)的表达式为 ( )A. B. C. D

9、. 15函数（是减函数，则的取值范围是（ ） A B C D16函数的单调增区间是（ ） A BC D 17已知是上的减函数，那么的取值范围是 ( )（A）（B）（C）（D）18若f(x)=-x2+2ax与在区间1,2上都是减函数，则a的值范围是（ ）ABC（0，1）D19若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）AB CD20函数是（ ） A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数21函数是（ ） A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数22函数是（ ） A奇函数 B偶函数 C是奇函数也是偶函数 D非奇非偶函数23定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(

10、x+2)，当x3，5时，f(x)=2|x4|，则（ ）Af(sin)<f(cos) Bf(sin1)>f(cos1)Cf(cos)<f(sin) Df(cos2)>f(sin2)24定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，则的值为（ ）A B C D25已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x),则,f(6)的值为 ( )(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)226是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A5B4C3D227下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）（A

11、）（B）（C）（D）28若函数f(x)=, 则该函数在(-,+)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值29下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D. 30已知，函数为奇函数，则a（ ）（A）0（B）1（C）1（D）±131若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )(A) (-¥,2) (B) (2,+¥) (C) (-¥,-2)È(2,+¥) (D) (-2,

12、2) 32设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数33函数的单调增区间是_,减区间是_.34. 函数的单调增区间是_,减区间是_.35.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.36若函数是奇函数，则a= .37、函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称38、函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.39、若f(x)为奇函数，且在(0，+)

13、内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)<0的解集为_.40、如果函数f(x)在R上为奇函数，在(1，0)上是增函数，且f(x+2)=f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_41、已知函数y=f(x)= (a,b,cR,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.42、已知函数（1）判断的奇偶性；（2）当时，判断的单调性，并证明43、已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则不等

14、式的解集是 44、函数的单调递减区间是 45、若函数是奇函数，则实数的值为 46、若函数在上为增函数，则实数、的取值范围分别是 47、已知对于任意实数，函数满足，若方程有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 详细解析例1、变式1、C变式2、C例2、解：（1）故为偶函数。（2）的定义域由确定，解得定义域为关于原点对称 故为奇函数变式3、解：（1）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 变式4、解：（1）由解得，则定义域关于原点对称。为奇函数（2），故为偶函数。例3、证明： 函数定义域为R，其定义域关于原点对称.f（x+y）=f（x）+f（y），

15、令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.变式5A、C变式5B、证明：令，可得；令，可得即又 是偶函数例4、解：其中若 则 ，此时单调递减，故减区间为；若 则 ，此时单调递增，故增区间为；变式6、解析】,令,解得,故选D例5、解： 函数的定义域为x|x-1或x1,则f(x)= ,可分解成两个简单函数.f(x)= =x2-1的形式.当x1时，u(x)为增函数，为增函数.f（x）=在1，+)上为增函数.当x-1时，u（x)为减函数，为减函数，f(x)=在（-,-1上为

16、减函数.变式7、解： 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).例6、答案:A. 解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.变式8、D例6B、解：在区间上递增在区间上恒成立即在区间上恒成立 在区间上恒成立 只要满足变式9、（2）解：在上为增函数 在上恒成立即在上恒成立，故只要满足 显然 的取值范围是 例7、解析：由得，所以，则。

17、变式10、解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= 变式11、解析：由由是定义在R上的奇函数得，故选择B。1、答案：C 【解析】对于时有是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。3、【答案】A 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|)得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性 得|2x1| 解得x4、【答案】A 【解析】若0，则有，取，则有： （是偶函数，则 ） 由此得

18、于是，5、【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D. 6、选A7、【答案】D8、答案：B9、D10、11、解析 g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D 19.B 20.A 21.C 22.B 23.D 24.D 25.B 26.B 127.D 28.A 29.A 30、A 31.D 32.D 33.; 34.; 35.0 36.37、答案：C 解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.38、解析：令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减.答案：(,139、答案：(3，0）(0，3） 解析：由题意可知：xf(x)0x(3,0)(0,3)40、答案：f()f()f(1) 解析：f(x)为R上的奇函数f()=f(),f()=f(),f(1)=f(1),又f(x)在(1，0)上是增函数且>>1.f()>f()>f(1),f()f()f(1).41、解：(1)f(x)是奇函数，f(x)=