中考数学专题：坐标系中的几何问题

1、中考数学专题：坐标系中的几何问题以下是查字典数学网为您推荐的 中考数学专题：坐标系中的几何问题，希望本篇文章对您学习有所帮助。中考数学专题：坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质表达。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且根本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至总分值的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几

2、何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。第一部分 真题精讲【例1】：如图1，等边 的边长为 ，一边在 轴上且 ， 交 轴于点 ，过点 作 交 于点 .1直接写出点 的坐标;2假设直线 将四边形 的面积两等分，求 的值;3如图2，过点 的抛物线与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，过 轴上一点 作 的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，当 点在线段 上运动时，现给出两个结论： ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明.【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，略微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要渐渐将题目拆解，条

3、分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点费事，不过略微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压

4、轴大题的7分就成功落入囊中了。【解析】解：1 ; .2过点 作 于 ，交 于点 ，取 的中点 . 是等边三角形， .在 中， . 交 于 ， . 就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C一样，纵坐标就是E的纵坐标的一半直线 将四边形 的面积两等分.直线 必过点 .3正确结论： .证明：可求得过 的抛物线解析式为由题意 .又过点 作 于由题意可知 即： . 这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图【例2】如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线 与x正半轴交于点A,与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个

5、单位的速度沿OA向终点A挪动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B挪动,点P停顿运动时,点Q也同时停顿运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q挪动的时间为t单位:秒1求A,B,C三点的坐标;2当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;3当04当t _时,PQF为等腰三角形?【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的断定性质非常熟悉。此题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问

6、就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中条件有何关系。在运动中，QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的断定性质，只要QC=PA时候即可。第三问求PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的间隔 ，而运动中这个间隔 是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点4t,0Q 8-t,-10,F18+4t,0两点间间隔 公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问本来是作为解答题来出的本来是3分,但是此题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中假如碰

7、到这么费事的,假如没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.【解析】解：1 ，令 得 ，或在 中，令 得 即 ;由于BCOA，故点C的纵坐标为-10，由 得 或即于是，2假设四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA.故只要QC=PA即可得3设点P运动 秒，那么 ， ，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故又点Q到直线PF的间隔 PQF的面积总为904由上知， ， 。构造直角三角形后易得假设FP=PQ，即 ，故 ，假设QP=QF，即 ，无 的 满足条件;12假设PQ=PF，即 ，得 ， 或 都不满足 ，故无 的

8、 满足方程;综上所述：当 时，PQR是等腰三角形。【例3】如图，抛物线 ： 的顶点为 ，与 轴相交于 、 两点点 在点 的左边，点 的横坐标是 .1求 点坐标及 的值;2如图1，抛物线 与抛物线 关于 轴对称，将抛物线 向右平移，平移后的抛物线记为 ， 的顶点为 ，当点 、 关于点 成中心对称时，求 的解析式;3如图2，点 是 轴正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 后得到抛物线 .抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于 、 两点点 在点 的左边，当以点 、 、 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 的坐标.【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B1,0代入，第一问轻松拿分。第二问

9、直接求出M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。第三问那么需要设出N，然后分别将NP，PF,NF三个线段的间隔 表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。【解析】解：由抛物线 ： 得顶点 的为点 在抛物线 上解得，连接 ，作 轴于 ，作 轴于点 、 关于点 成中心对称过点 ，且顶点 的坐标为 标准答案如此，其实没这么费事，点M到B的横纵坐标之差都等于B到P的，直接可以得出4,5抛物线 由 关于 轴对称得到，抛物线 由 平移得到抛物线 的表达式为抛物线 由 绕点 轴上的点 旋转 得到顶点 、 关于点 成中心对称由得点 的纵坐标为设点 坐标为作 轴于 ，作 轴于作 于旋转中

10、心 在 轴上，点 坐标为坐标为 ， 坐标为 ，根据勾股定理得当 时， ，解得 ， 点坐标为当 时， ，解得 ， 点坐标为综上所得，当 点坐标为 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形是直角三角形.【例4】如图，在平面直角坐标系 中，直线l1： 交 轴、 轴于 、 两点，点 是线段 上一动点，点 是线段 的三等分点.1求点 的坐标;2连接 ，将 绕点 旋转 ，得到 .当 时，连结 、 ，假设过原点 的直线 将四边形 分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式;过点 作 轴于 ，当点 的坐标为何值时，由点 、 、 、 构成的四边形为梯形?【思路分析】此题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造才能提出

11、了要求，也是一道比较典型的动点挪动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为费事,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.【解析】1根据题意： ， 是线段 的三等分点或 -2分2如图，过点 作 轴于点 ，那么 .点 在直线 上 是由 绕点 旋转 得到的无论是 、 点，四边形 是平行四边形且 为对称中心所求的直线 必过点 .直线 的解析式为: 当 时，第一种情况： 在 点左侧假设四边形 是梯

12、形 与 不平行此时第二种情况： 在 点右侧假设四边形 是梯形 与 不平行 是线段 的中点是线段 的中点由 ， .点 的横坐标为当 时，同理可得第一种情况： 在 点左侧时， -第二种情况： 在 点右侧时， -综上所述，所求M点的坐标为： ， ， 或 .【例5】在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.1请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标.2将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F不与A、B两点重合，请你求出F点坐标.3在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使PBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积.

13、4假设平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.【思路分析】此题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，略微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来渐渐做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C到对称轴的间隔 刚好是1，所以挪动两个间隔 以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F直接写出为-2,-3第三问看似棘手，但是只要将PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在X轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和

14、前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。【解析】.解：1 .23过点 作 轴的平行线与 交于点 ，与 轴交于点易得 ，直线 解析式为 .设 ，那么 ，的最大值是 .当 取最大值时 的面积最大的面积的最大值为 .4如图，当直线 在 轴上方时，设圆的半径为 ，那么 ，代入抛物线的表达式，解得 .当直线 在 轴下方时，设圆的半径为 ，那么 ，代入抛物线的表达式，解得圆的半径为 或 . .【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来非常复杂，但是只要一问一问研究渐渐分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质纯

15、熟掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会非常方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间考虑拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。第二部分 发散考虑【考虑1】. 如图，

16、在平面直角坐标系 中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，延长AC到点D,使CD= ,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.1求D点的坐标;2作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，假设过B点的直线 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;3设G为y轴上一点，点P从直线 与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题那么

17、是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.【考虑2】：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.1直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;2假设抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?假设存在，求出点P的坐标;假设不存在，说明理由;3设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，

18、Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看四边形的线段是否平行且相等，角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假设有平行四边形，那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。【考虑3】抛物线与x轴交于A-1，0、B两点，与y轴交于点C0，-3，抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的间隔 为6.1求此抛物线的解析式;2在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标;3抛物线对称轴上是否存在一点P，使得SPAM=3SAC

19、M，假设存在，求出P点坐标;假设不存在，请说明理由.【思路分析】第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解,假如能巧妙的将ACM的面积看成是四边形ACEM减去AME,那么就会发现四边形ACEM刚好也是AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的间隔 ,然后分类讨论PM的位置即可求解.【考虑4】如图，抛物线 ，与 轴交于点 ，且 .I求抛物线的解析式;II探究坐标轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形为直角三角形?假设存在，求出 点坐标，假设不

20、存在，请说明理由;III直线 交 轴于 点， 为抛物线顶点.假设 ，【思路分析】此题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了X=0时Y=-3，于是C点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中，因为AC是固定的，所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问那么是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现CBE=DBO，于是所求角度差就变成了求OBC。第三部分 考虑题解析【考虑1解析】解：1 ， ，设 与 轴交于点 .由 可得 .又 ，同理可得 .点的坐标为 .2由1可得点 的坐标为 .由 ，可得 轴所在直线

21、是线段 的垂直平分线.点 关于直线 的对称点 在 轴上.与 互相垂直平分.四边形 为菱形，且点 为其对称中心.作直线 .设 与 分别交于点 、点 .可证 .直线 将四边形 分成周长相等的两个四边形.由点 ，点 在直线 上，可得直线 的解析式为 .3确定 点位置的方法：过 点作 于点 .那么 与 轴的交点为所求的 点.由 ，可得 ，在 中， .点的坐标为 .或 点的位置为线段 的中点【考虑2解析】解：1点C的坐标为 . 点A、B的坐标分别为 ，可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .将 代入抛物线的解析式，得 .过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .2可得抛物线的对称轴为 ，顶点D的坐标为，设

22、抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为 .-设点P的坐标为 .解法一：如图8，作OPAD交直线BC于点P，连结AP，作PMx轴于点M. OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD.，即 .解得 . 经检验 是原方程的解.此时点P的坐标为 .但此时 ，OMOP直线BC上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PNx轴于点N. 那么PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG .由 ，可得E点的坐标为 .NE=EG= ， ON=OE-NE= ，NP=DG= .点P的坐标为 . x= 时， ，点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点P .3 的取值范围是 .说明：如图10，由对称性可知QO=QH， .当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线， 获得最大值4即为AH的长;设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时， 获得最小值0.【考虑3解析】解：1设直线AC的解析式为 ，把A-1，0代入得 .直线AC的解析式为 .依题意知，点Q的纵坐标是-6.把 代入 中，解得 ，点 Q1， 点Q在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴