中考数学专题：动态几何问题

1、中考数学专题：动态几何问题以下是查字典数学网为您推荐的 中考数学专题：动态几何问题，希望本篇文章对您学习有所帮助。中考数学专题：动态几何问题第一部分 真题精讲【例1】如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 .动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动;动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动.设运动的时间为 秒.1当 时，求 的值;2试探究： 为何值时， 为等腰三角形.【思路分析1】此题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之

2、间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就此题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：1由题意知，当 、 运动到 秒时，如图，过 作 交 于 点，那么四边形 是平行四边形. 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题. 这个比例关系就是将静态与动态联络起来的关键.解得 .【思路分析2】第二问失分

3、也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。详细分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】2分三种情况讨论： 当 时，如图作 交 于 ，那么有 即.利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质 当 时，如图，过 作 于H.那么 ， 当 时，那么 .综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形.【例2】在ABC中，ACB=45.点D与点B、C不重合为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.1

4、假如AB=AC.如图，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.2假如ABAC，如图，且点D在线段BC上运动.1中结论是否成立，为什么?3假设正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC= ， ，CD= ，求线段CP的长.用含 的式子表示【思路分析1】此题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而此题并未给出那个静止点，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进展传递，就可以得解。【解析】：1结论：CF与BD位置关系是垂直;证明如下：

5、AB=AC ，ACB=45，ABC=45.由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90，DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABD.BCF=ACB+ACF= 90.即 CFBD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。2CFBD.1中结论成立.理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45BCF=ACB+ACF= 90. 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置

6、是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.3过点A作AQBC交CB的延长线于点Q，点D在线段BC上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4. DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ，点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x.过A作 交CB延长线于点G，那么 . CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形.1求证：梯形 是等腰梯形;2动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变.设 求 与 的函数关系式;3在2中，当 取最

7、小值时，判断 的形状，并说明理由.【思路分析1】此题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联络了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】1证明： 是等边三角形 是 中点2解：在等边 中，这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩设元以后得出比例关

8、系,轻松化成二次函数的样子【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了给定PC=2，求PQC形状的问题了。由的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。3解： 为直角三角形当 取最小值时，是 的中点， 而以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点挪动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。假如没有特殊条件，那么就需要研究在动点挪动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些详细的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】正方形 中， 为

9、对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为 中点，连接 .1直接写出线段 与 的数量关系;2将图1中 绕 点逆时针旋转 ，如图2所示，取 中点 ，连接 ，.你在1中得到的结论是否发生变化?写出你的猜测并加以证明.3将图1中 绕 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问1中的结论是否仍然成立?不要求证明【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，此题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等

10、关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。121中结论没有发生变化，即 .证明：连接 ，过 点作 于 ，与 的延长线交于 点.在 与 中，在 与 中，在矩形 中，在 与 中，【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，假如BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢?假如题目要求证明，应该如何考虑。建议

11、有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的仍然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想方法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。31中的结论仍然成立.【例5】正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B 处.1当 =1 时，CF=_cm，2当 =2 时，求sinDAB 的值;3当 = x 时点C与点E不重合，请写出ABE翻折后与正

12、方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，只要写出结论，不要解题过程.【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折就是轴对称也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，此题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】1CF= 6 c

13、m; 延长之后一眼看出，EAZY2 如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF， ABEFCE， . =2， CF=3. ABCF，BAE=F.又BAE=B AE， B AE=F. MA=MF.设MA=MF=k，那么MC=k -3，DM=9-k.在RtADM中，由勾股定理得：k2=9-k2+62， 解得 k=MA= . DM= .设元求解是这类题型中比较重要的方法sinDAB如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N，同可得NA=NE.设NA=NE=m，那么B N=12-m.在RtAB N中，由勾股定理，得m2=12-m2+62， 解得 m=AN= . B N= .

14、sinDAB= .3当点E在BC上时，y= ;所求A B E的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长当点E在BC延长线上时，y= .【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成假设干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它

15、是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进展分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。假如没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分 发散考虑【考虑1】：如图1，射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别在 、 上运动点 与点

16、 不重合、点 与点 不重合， 是 边上的动点点 与 、 不重合，在运动过程中始终保持 ，且 .1求证： ;2如图2，当点 为 边的中点时，求证： ;3设 ，请探究： 的周长是否与 值有关?假设有关，请用含有 的代数式表示 的周长;假设无关，请说明理由.【思路分析】此题动点较多，并且是以和的形式给出长度。考虑较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，假如是关于M的函数，那么就是有关，假如是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【考虑2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动

17、点，BP=BA，假设 PBC，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，1当BP与BA重合时如图1，BPD=2当BP在ABC的内部时如图2，求BPD的度数;3当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形.【思路分析】此题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢?留给大家考虑一下【考虑3】如图：，四边形ABCD中，AD/BC， DCBC，AB=5，BC=6，cosB= .点O为BC边上的一个动点，连结OD

18、，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN.1当BO=AD时，求BP的长;2点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况?假设存在，恳求出当BO为多长时BP=MN;假设不存在，请说明理由;3在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请直接写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。【思路分析】这道题和其他题目不同点在于此题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。此题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问那么需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论

19、他们的数量关系。第三问的猜测一定要记得分类分情况讨论。【考虑4】在 中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 得到线段EF如图11在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点P1不与C重合时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明;当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.2假设AD=6,tanB= ,AE=1,在的条件下，设CP1= ，S = ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围.【思路

20、分析】此题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学仍然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分 考虑题解析【考虑1解析】1证明： ， . .又 ， .2证明：如图，过点 作 ，交 于点 ， 是 的中点，容易证明 .在 中， ， .3解： 的周长 ， .设 ，那么 . ， .即 .由1知 ，的

21、周长 的周长 .的周长与 值无关.【考虑2答案】解：1BPD= 302如图8，连结CD.解一： 点D在PBC的平分线上，2. ABC是等边三角形，BA=BC=AC，ACB= 60. BP=BA，BP=BC. BD= BD，PBDCBD.BPD=3.- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACD.BPD =30.解二： ABC是等边三角形，BA =BC=AC. DB=DA，CD垂直平分AB. BP=BA，BP=BC. 点D在PBC的平分线上，PBD与CBD关于BD所在直线对称.BPD=3.BPD =30.3BPD= 30或 150 .图形见图9、图10.【考虑3解析】解：1过点A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3.CDBC，AD/BC，BC=6，AD=EC=BC-BE=3.当BO=AD=3时， 在O中，过点O作OHAB,那么BH=HP ,BH= .BP= .2不存