初中数学一题多解题

1、 初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,那么较小的奇数为323/x那么有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，那么这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x2-1=323x2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+

2、1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1那么有x2-1=323x2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，那么共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，那么根据题意，得 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求

3、出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1：，得 ，得 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元下面解法后的答均省略 解2：原方程组可变形为 解之得： 2. 主元法 解3：视x、y为主元，视z为常数，解<1>、<2> 得， 解4：视y、z为主元，视x为常数，解<1>、<2> 得 解5：视z、x为主元，视y为常数，解<1>、<2> 得 3. “消元法 解6：令，那么原方程组可化为 解7：令，那么原方程组可化为 解8：令，那么原方程组可化为 4. 参

4、数法 解9：设，那么 ，得 ，得 由<4>、<5>得 即 5. 待定系数法 解10. 设 那么比较两边对应项系数，得 将其代入<1>中，得 附练习题 1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？答案：24.5吨 2. 有甲、乙、丙三种货物，假设购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；假设购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问假设购甲、乙、丙各1件共需多少元？答案：1.05元平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探

5、讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变，必将使人受益匪浅。“一题多变的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保存条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、增加题1的条件AE平分BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、增加题1的条件CE平分BCD，AF平分BAC交BC于F求证：1BF·CE= BE·DF      2AEC

6、F      3设AE与CD交于Q，那么FQBC21、，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证： CE：BC=CF：AC注意此题和16题有无联系22、，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证： EF是O1和O2的一条外公切线23、，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等AT=AC24、，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ACD的中点，

7、连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1与O2外切与点D，  内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD2=AD·DB    AC2=AD·AB    BC2=BD·AB所以1/AC2+1/BC2=1/AD·AB+1/BD·AB=AD+DB/AD·BD·AB=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，A

8、D-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB                  =(AD-DB)AB                 =2DM*AB26、在19题根底上增加一条平行线，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGAB交BC于点G，求证：CE=BG27、在19题根

9、底上增加一条平行线，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGBC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、对19题增加一个结论，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、在23题中去掉一个圆，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1， 求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、在19题中增加一个圆，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F，求证：CED平分线段AF31、在题1中增加一个条件，ABC中，A

10、CB=90度，CDAB，D为垂足，A=30度，求证：BD=AB/4沪科版八年级数学第117页第3题32、在18题根底上增加一条直线，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作BCE=BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NSCD交直线AC与点S，那么PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN三角形内角平分线性质定理BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题33在“题一中，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·A

11、B= AE·BE题33证明CB2= BD·AB因EB=CBEB2= BD·ABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDE·AB= AE·BE题34在19题根底上增加一条垂线，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分CD于F，EGAB交AB于点G，求证：EG2= BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEH·EG= BE·EC又HGCD，CF=FDEH=EGEG2= BE·EC题35在题19中增加点F，ABC中，ACB=9

12、0度，CDAB，D为垂足，AE平分BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD = AF·EF题36、在题16中，减弱条件，删除ACB=90度这个条件，ABC中， CDAB，D为垂足，DEAC于E，DFBC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37在题17中，删除ACB=90度和CDAB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足ACD=ABC，ABC中，D是AB上一点，满足ACD=ABC，又CE平分BCD求证：AE2= AD·AB题38，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD 题39在题19中点E“该为

13、E为BC上任意一点，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CFAE，F为垂足，连结DF，求证：ADFAEB题40：，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题41，如图，ABC中， CDAB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，       求ACB的度数。题42   ，CD是ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD，       那么ACB一定是90度吗？为什么？题43：，ABC中，ACB=90度，

14、CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1，BDC的内切圆O2，求证：SO1：SO2=AD：DB题44：，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1的半径R1，BDC的内切圆O2的半径R2，ABC的内切圆O的半径R，求证：R1+R2+R=CD 题45、，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在ABC内交于P求证： PAD的面积和PBC的面积相等题45解：CAP=CDP=DBP圆周角、弦切角RtAPCRtBPDAP·PD= BP·PC又APD和CPB互补APC+BPD=180度S PAD=1

15、/2·AP·PD·sinAPDS PBD=1/2·BP·PC·sinCPBS PAD= S PBD题46在题38的根底上变一下，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线，又CE平分ACB交ABC与E，交AB与D ，      假设PA=5，PC=10，求   CD·CE的值题47在题46中，求sinPCA题48由题19而变，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于点G，求证：1AC=AG2、AG

16、2= AD·AB3、G在DCB的平分线上4、FGBC5、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50题33再变，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证： AF= 2FE题50解：过点E作EMCF，M为垂足，那么AD：DB=AC2：CB2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF题目51题50中连一线，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求

17、证： ABC=EBF题51的几种解法解法1、作ACB的平分线交AB于点G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题51解法2作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，那么点G 为ACE的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形CGFE为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题51解法3作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，那么点G 为ACE的垂心，易证APGCPFAASPG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBPSASPBG=FBPABC=EBF题51解法4原题图由题50得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2又CAF=BEF=45度ACFEBFACF=

18、EBF又ACF=CBAABC=EBF题51解法5作MECE交CD的延长线于M，证ABCCMEASAABC=M再证MEFBEFSASEBM=MABC=EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N，连结AN，那么NB=2BE，又由题50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N对称点ABC=EBF题51解法7过点C作CHBF交AB于M，B为CE的中点， F为HE的中点又由题50，AF=2EF，H为AF的中点又CHBFM为AB的中点MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF题目52题50、51结论的引伸，ABE中，AC=EC，ACE=90度，CDAB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结

19、FB， 求证：1、AF=2EF2、ABC=EBF3、EBF= E+BAE4、ABF=2DAC5、AB：BF=AE：EF6、CD：DF=AE：AF7、AD：DB=2AF：EF8、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1题目53 题52的一局部   如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AF=2EF、ABC=EBF题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明题目54题53的逆命题1如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AC=CE、ABC=EBF平面几何一题多变题目55题53的逆命题2如图，、AC=CE、AF=2EF、C

20、B=BE、CFAB求证：、ACCE、ABC=EBF题目56题53的逆命题3如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CFAB求证：、CB=BE、ABC=EBF题目57题53的逆命题4如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CB=BE求证：、CFAB、ABC=EBF题目58题53的逆命题5如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB求证：、AF=2EF、AC=CE题目59题53的逆命题6如图，、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、ACCE题目60题53的逆命题7如图，、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB求证：、AF=2EF、CB=BE

21、题目61题53的逆命题8如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、CFAB题目62题53的逆命题9如图，、AF=2EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AC=CE、ACCE题目63题53的逆命题10如图，、ACCE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、AC=CE、CB=BE题目64题53的逆命题11如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=2EF求证：、AC=CE、CFAB题目65题53的逆命题12如图，、AC=CE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、ACCE、CB=BE题目66题53的逆命题13如图，、AC=CE

22、、AF=2EF、CB=BE、ABC=EBF求证：、ACCE、CFAB题目67题53的逆命题14如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、ABC=EBF求证：、CB=BE、CFAB题目68如图，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6，求SBCD=？题68解答解：设SBCD=x,那么SACM/ SCMB=30/6+ x=AM/MBSACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又AC2= AD·ABBC2= BD·ABAC2/ BC2=AD/BDCM平分ACBAM/ BM2=AD/BD30/(6+x)2=36/x解方程得x=

23、4或x=9SBCD=4或SBCD=9题目69如图，ABC中，ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC2= AD·AB求证：CDAB题目70如图，ABC中，AC>BC,ACB=90度，CM平分ACB，且CM+CB=AC，求证：1/AC-1/BC=2 题70证明：过点M作MDBC，D为垂足，作MDAC，E为垂足，设ME=x,AC=b,BC=a,那么CM=2 x，AE=b-x,由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,x=ab/(a+b)又CM+CB=AC2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab两边都除以ab,1/AC-1/BC=2

24、题目71(依题68变)如图，ABC中AC>BC，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。题目71解：显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，又AC>BCAC=8，BC=6由勾股定理AB=10ACDABC，得AC2= AD·ABAD=6.4CM平分ACBAM/MB=AC/CB解得，AM=40/7MD=AD-AM=24/35题目72如图，ABC中，ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且A'MN是正三角形，求A'MN与ABC的面

25、积之比。题72解：ACB=90度，AB=2ACB=30度由题意，四边形AMA'N是菱形，A'BMABCA'M/AC=BM/AB设AM=x, AB=2AC=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面积公式，得SA'MN：SABC=2：9题目73，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CD>AC+BC题73的证明：由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC2AB·CD=2AC·BC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式

26、性质)AB2+2AB·CD =AC+BC2AB2+2AB·CD+CD2 >AC+BC2(AB+CD)2 >AC+BC2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CD>AC+BC题目74，ABC中，ACB>90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CD>AC+BC题74证明：如图，作CBAC交AB于B,于是有AB·CD=AC·BC2AB·CD=2AC·BC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)AB2+2AB·CD =AC+B

27、C2AB2+2AB·CD+CD2 >AC+BC2(AB+CD)2 >AC+BC2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CD>AC+BC在ABB中,BB>CB-CB+得AB BB+CD>AC+BC CB-CBAB+CD>AC+BC题目75如图，ABC中， CDAB，D为垂足，CT平分ACB，CM为AB边上的中线，且ACD=DCT=TCM=MCB求证：ACB=90度题目75的证明：延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，那么N为弧AB的中点，所以MNAB，又CDAB，MNCDDCT=TNM又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN的垂直平分线必

28、过点M，又CM为AB边上的中线，MNABAB的垂直平分线必过点M，即M为两条弦的垂直平分线的交点，M为三角形ABC的外接圆的圆心，因此AB为ABC的外接圆的直径。ACB=90度题目76，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ， 求证：MC=MG 题目77，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,求CD、CM、CE的长题目78  ，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，求证：A

29、M=CM题目79题78再变，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE求证：BG2= AB·BE- AG·GE题目80，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，求证：CD2= DM·DP题目81，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，求证： 2DM·DP= BE·EP题目82，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，

30、又直线AC与直线BE交于H，求证： AB=BH题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目84，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点求证： BC平分DCN题目85，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点，AFMN，F为垂足，AEMN，E为垂足，求证：CD=CE=CF 题目86，ABC中，ACB=90度， 以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E， 求证：BCE=DCE题目87由题38图而变求证：和两定点距离之比等于定比不为1的点的轨迹是一个圆周。提示：从1完备性、2纯粹性 两方面来证明

31、。题目88作图题：两线段之和及积，求作这两条线段。：两线段m和n求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n2补个图题88作法参考AD、BD即为求作线段x、y题目89由题88变梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。题目90利用以下图，证明：两个正数之和为定值，那么这两个数相等时乘积最大。题目89作法：如图，作两腰的延长线交于点O，作PBAB使PB=OA，连结OP，以OP为直径作半圆M，由圆心M作MNOP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EFBC交CD于F，那么EF即为所求线段。 题91(题73变)设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，

32、求证：a+d>b+c题92人教版数学八年级下114页  在RtABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACD=3BCD，E是斜边AB的中点，ECB是多少度？题93题49变，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A、B都是锐角，求A/2+B的值。题目93解：构造法分别以17、13为边作ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高，在RtADC中，AD=17 cosA，在RtBDC中，BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，AC=AB, B=ACB,A+2B=180

33、度A/2+B=90度。题94如图，ABC的C的平分线交AB于D，交ABC的外接圆于E，假设CD·CE等于ABC面积的2倍求证：ACB=90度题目95，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB 交AB于M，假设AC>BC求证：DCM=1/2·B-A题目96，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，求ABC中较小的锐角的度数。题目97，ABC中，ACB=90度，CE平分ACB 交AB于E，且EC+BC=AC， 求AC/BC题97解：设BC=a,AC=b,过点E作EHBC交AC于点H，作EFBC交BC于点F，那么

34、四边形CHEF为正方形，设EH=x.那么CE=2x,由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)由题意得，a+2x=bx=(b-a)/ 2a,(ab)/(a+b)= (b-a)/ 2a,得b2-2ab-a2=0b/a=(2+6)/2即AC/BC=(2+6)/2题目98，ABC中，ACB=90度，两直角边的差为22，CDAB，D为垂足，BD-AD=23，求ABC中的三边长。题目99 圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=23，求A的度数。题目100，ABC中， CDAB，D为垂足，B=2A求证：CB=AD-BD题目101，AB是的直径，AB=4，

35、 D是OB的中点，过点D的弦CEAB，求弦CE的长。题54的解答如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AC=CE、ABC=EBF证明：过点E作EMCF如图，由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2又BD为CEM的中位线，那么BD：EM=1：2AD：DB=4：1=AC2:CB2AC：CB=2：1又CB=BEAC=CE  (再由51的解答即有ABC=EBF成立)题55的解答如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB求证：、ACCE、ABC=EBF证明：过点E作EMCF，如图由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2又BD为CEM的中位线，那么BD：EM=1：2AD：DB=4：1不妨设DB=