初中数学培优竞赛讲座第19讲--丰富的图形世界

1、第十九讲 丰富的图形世界 我们生活在一个数字化时代，也生活在一个图形的世界里，图形有黑色的，也有彩色的；有静止的，也有运动的；有平面的，有立体的；有具体的，有抽象的，它既可以是艺术中的绘画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录 数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者互相结合，常常有助于问题的解决 历史上一些著名科学家，如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦，都曾被欧基里德几何迷住过，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人，不准入门在学习几何的起始阶段，我们可以自己动手实验、操作，在观察和实验中，掌握知识的来龙去脉，学到发现规律的方法

2、，感受到发现的欢乐，促进科学思维能力的提高例题【例1】 爸爸给女儿圆圆买了一个圆柱形的生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的假设干块(不少于10块)，分给l0个小朋友，假设沿竖直方向切分这块蛋糕，至少需要切 刀 (“希望杯邀请赛试题) 思路点拨 把蛋糕看作一个圆面，每切一刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一条线段，于是问题转化为：在一个圆内画两个端点在圆周上的线段，这些线段把圆分成假设干局部，问至少画几条线段才可以把圆分成不少于10局部注：小学阶段学的是实验几何，即时一些简单图形性质的认识，往往是通过观察和实验，对一些图形的研究也仅侧重于面积和体积的计算，只告诉你应该这样，并没有告诉你为什么这样

3、，并没向你介绍证明结论的普遍性，更没教你证明结论普遍性的方法 初中学习的是推理几何，是在学习知识的同时开展能力，使你学习逻辑分析、论证的方法，使你逐步具备可持续开展的能力 爱因斯坦曾说：“推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后成就所必需的信心 【例2】 图中有一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，那么展开图应当是( )思路点拨 展开与折叠是两个步骤相反的过程，只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面【例3】 棱长为a的正方体，摆放成如下列图的形状 (1)如果这一物体摆放三层，试求该物体的外表积

4、； (2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的外表积 (河北省竞赛题) 思路点拨 由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，每个方向上均有6个等面积的小正方形【例4】 用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体 (1)如图，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的外表积为 cm； (2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图中的虚线)从前到后打一个边长为lcm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的外表积为 cm2； (3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm、宽lcm的长方形通孔，能不能使所得橡皮

5、泥块的外表积为130cm2？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由 (第16届江苏省竞赛题)思路点拨 对于(3)，扩孔有不同的方案，通过一一列举、计算比较，求x的值注：学习几何的方法与学习算术、代数相比有较大突变，我们应通过剪拼、折叠，设计等操作活动，去感受图形运动变化规律，还应注意利用图形直观，仔细观察从图形的结构分析，提高抽象、概括能力 【例5】 请以给定的图形“OO、(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件，构思尽可能多独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词 (俞学明等著?根底教育新概念一创造教育?)思路点拨 解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有

6、意义的图形此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养学力训练1 如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的4组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形的对应关系，填空 A与 对应；B与对应；C与 对应；D与 对应 (江西省中考题)2图是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图的图形，如果把图的纸片重新恢复成图的纸盒，那么与点G重合的点是 (江苏省竞赛题) 3你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形如果你所拼得的图形中正方形的面积为1，且正方形与正方形的面积相等，那么正方形的面积为 4一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，

7、5，6根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“?处的数字是 5我们从不同的方向观察同物体时，可能看到不同的图形如图，图是由假设干个小正方体所搭成的几何体，图是从图的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图的左面看这个几何体所看到的图形是( ) (无锡市中考题) 6下面几个图片都是由6个相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是( )(连云港市中考题)7图是一个水平放置的小正方体木块，图、是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形时，小正方体木块总数应是( ) (宁波市中考题) A25 D66 C91 D1208一个画家有14个边长为1米的正方体

8、，他在地面上把它摆成如图的形式，然后，他把露出的外表都染上颜色，那么被她染上颜色的面积有( )平方米A21 B24 C33 D37 E429如图是“毕达哥拉斯树，它是由一个正方形不断“生长而得的，找出它的“生长规律，并画出一个更大的“枝繁叶茂的毕达哥拉斯树10现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少种不同的三角形?画图说明11把两个长3cm、宽2cra、高lcm的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切成两个大小相同的小长方体，最后一个小长方体的外表积最多可比起初一个小长方体的外表积大 cm212一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5 cm，先从这个长方体上尽可能大地切

9、下一个正方体，再从剩余局部上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余局部上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余局部的体积为 cm213把正方体的六个面分别涂上不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456现将上述大小相同、颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个平面放置的长方体，那么长方体的下底共有 朵花14如图是正方体分割后的一局部，它的另一局部是以下列图形中的( ) (山西省中考题) 15小华用如下列图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，以下给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是( ) (江苏省镇江市中考题

10、)16图(a)是图(b)中立方体的平面展开图，图(a)与图(b)中的箭头位置和方向是一致的，那么图(a)中的线段AB与图(b)中对应的线段是( ) (江苏省竞赛题) Ae Bh Ck Dd17用火柴摆出正方形，用多少根火柴才能摆出6个正方形?尽可能多地设想各种方案，(注：要求摆出的6个正方形中每个正方形的边长限于一根火柴的长)18商标是刻在或印在商品外表或包装上的一种标志记号，它使该商品同其他商品有所区别，因此，某种商品的商标是该商品的象征，须向国家有关部门登记，备案的商标称作注册商标，它受国家法律保护，随着商品经济的开展，商标的设计成为一项重要的商业业务工程，由于几何图形构成的商标具有简明、和谐、对称等特点，所以深为商标设计者所青睐(1)画出你所熟悉的由几