幂零变换的注记

1、幂零变换的注记莆田学院 复数域上n维空间：一个线性变换可以看成是一个可逆变换与一个幂零变换的和。 Jordan-chevalley (约旦-谢瓦莱定理） 比如林老师：高等代数 229页 在高等代数与线性代数的很多教材中都有看到关于幂零变换的相关试题。 比如林老师：高等代数 132页习题6 设f是n维线性空间V上的线性变换，若存在正整数k,满足fk=0,fk-10, f称为k-幂零变换。 在高等代数如132页习题6 设f是m维线性空间V上的线性变换，满足fm=0,fm-10,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是01(0,)10m mJm J(0,m)的秩=m-112(,)mAdiag J

2、JJ0110jjjnnJ 121,mjm nnn1mjjnn1nk 其中 ；且n维空间上k-幂零变换：若存在正整数k,满足fk=0,fk-10,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是A称为Jordan规范型矩阵幂零变换在相似等价的情形下，我们来查看幂零变换类别(0, )Jk(0,2)J(0,1)J(0, )Jk，拼成的首个为且可重复排列的Jordan规范型矩阵由kx2x00101x表示的个数，表示的个数，表示0的个数01(0, )10k kJk k-幂零变换在相似等价的情形下： xk , xk-1 , , x1不同，看成不同的k-幂零变换1kx 120kxx1xnkmin1rk当，时，秩r

3、最小，即n维线性空间V上，不同的k-幂零变换所对应的象的维数，即k-幂零变换下矩阵A的秩(mod )ntk0,1,1tk001110tnkAkttk 秩( ) ()00110tnkAntk 秩( )，其中秩的取值范围为： 或 knxkr当时，秩可取到最大 0(mod )nkmax(1) nnrknkkJordan若，最大秩且秩最大的规范型只有一个 knxkr时，秩可取到最大 7n 3723x ( (0,3), (0,3),0)Jdiag JJ( (0,3), (0,2), (0,2)Jdiag JJJ当，3-幂零变换时，此时：秩为4。但是，秩也为4。(mod )ntk0t Jordan当，时，

4、秩最大的规范型并不唯一. 2-幂零变换：12nA 秩( )对任意的秩，2-幂零变换的Jordan规范型矩阵都是唯一的。3-幂零变换12(,)mdiag J JJ0110jjjnnJ 1mjjnn 其中 ， ，3-幂零变换：若存在正整数3,满足f3=0,f20,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是121,3mjmnnn(0,3)J(0,2)J(0,1)J(0,3)J、，拼成的首个为且可重复排列的Jordan规范型矩阵由3x0001000102x00101x表示的个数，表示的个数，表示0的个数2r32nn 23nn2r31x 20 x 13xnmin2r当时，秩的范围： 在象的维数给定的情况

5、下，幂零变换在相似等价的前提下，有多少种可能呢？12nC2C当秩为C的所有n阶3-幂零变换的Jordan规范型的个数为时，令C为A的秩，3-幂零变换：A为一个基下的Jordan规范型。12nC112CnC1312CCnC为偶数为奇数11322CCnC为偶数为奇数当时， 或或34n22r5n 23r当时，当时，而且不同的秩的Jordan规范型的个数为1。6n12n0(mod3)n 2(mod3)n maxr1(mod3)n maxr当时，时，的Jordan规范型的个数为1。时，的Jordan规范型的个数为2。当当max32nnr 在相似等价的情形下，关于2-幂零变换与3-幂零变换我们有一定的了解， 那么不考虑相似等价，幂零变换？平面二维空间1、f是2维平面到2维平面的线性变换，即为可逆变换2、g是2维平面到平面上直线的线性变换，2-幂零变换：在x轴单位向量和y轴单