第14不定问题分析

1、网学天地（）提供第十四章静不定问题分析§14-1引言§14-2用力法分析静不定问题§14-3对称与称静不定问题分析§14-4平面刚间受力分析§14-5位移法概念简介）提供北航951网学天地（网学天地（）提供§14-1引言回顾：我们解决过的简单静不定问题：特点与解法特点: 一根杆件 杆件存在多余的外部约束，而且通常是1度静不定解法: 解除多余约束，代之以约束反力，明确变形协调条件； 利用计算杆件变形的叠加法，将变形协调条件表示为外载和多余约束反力之间的协调条件，得到补充方程。）提供北航951网学天地（网学天地（）提供复杂的静不定问题：

2、结构复杂，桁架、梁杆结合体等 多余约束数目较多，静不定度高 多余约束的类型（静不定形式）多样。复杂静不定问题的分类：外力静不定（仅在结构外部存在多余约束）内力静不定（仅在结构内部存在多余约束）混合(一般)静不定）提供北航951网学天地（网学天地（）提供¾外力静不定FqFq外1度（平面）约束力分量个数：外3度（平面）外6度（空间）平面固定铰2平面活动铰1空间球形铰3平面固定端3空间固定端6）提供北航951网学天地（网学天地（）提供¾(平面桁架)内力静不定FF内1度内2度= m - ( 2n 3 )静不定度m : 杆数；n ：节点数）提供北航951网学天地（网学天地（）提供&#

3、190;(平面刚架)内力静不定qq内3度FN断开：内力静定刚性连接：多了三个内部约束FF内6度单闭口的平面刚架或曲杆内3度静不定网学天地（）提供北航951网学天地（）提供FF6度内力静不定FF5度内力静不定加一中间铰减少一度静不定F2度内力静不定FFF4度内力静不定,加一根二力杆增加一度静不定）提供北航951网学天地（网学天地（）提供¾混合静不定FF1（内）1（外） 2 度3（内）3（外） 6 度梁：外3环：内3梁环接触：13+3+1=7 度F圆环）提供北航951网学天地（网学天地（）提供¾梁杆结构的静不定问题(a)(b)(a): 内2度(b): 内1度(c): 2度(c)

4、）提供北航951网学天地（网学天地（）提供§14-2用力法分析静不定问题¾几个概念：44基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。¾力法分析要点：1、去除多余（内外）约束，建立相当系统（静定）,明确变形协调条件2、根据变形协调条件建立补充方程3、确定多余未知力(多余内力和多余外力)）提供北航951网学天地（网学天地（）提供一、外力静不定结构分析相当系统1.解除多余的外部约束，代之以支反力在解除约束处，建立变形协调条件qqqMlARCllBFByC相当系统变形协调条件：D B= 0, f B= 0网学天地（q Af A

5、= 0= 0）提供北航951AFBxAlB网学天地（）提供2. 利用载荷法和变形协调条件，得到补充方程qqAlB1BFBy载荷系统1相当系统A变形协调条件：D B= 0, f B= 0B12载荷系统）提供北航951网学天地（AFBxAlB网学天地（）提供例 1 ： 已 知 外 力 偶 M0 ， 求 水 D平BH位移。RM0B解：（1）先求支反力qAODBV=0构造相当系统，确定 变形协调条件F(a)B配置法）弯矩载荷（本题第一次利用载荷M (q) = FB R (1 - cos q) - M0M (q) = R (1 - cos q)RqBAO1péF R (1 - cos q) -

6、 Mù R (1 - cos q) Rdq1òD=ë0 û(b)BVBEI0æ Fö13 p - M2M 0=R p=F=R 320EI ç÷B0Bè2ø3R）提供北航951网学天地（网学天地（）提供(2)求 DBH（本题第二次利用载荷法）RM0BqAO讨论：选取哪种载荷系统?FBRRqq11AOBAOBFB'(a)(b)）提供北航951网学天地（网学天地（）提供方法1:载荷加在静定基上M (q) = 2M0 R (1 - cos q) - M03R= - (1 + 2cos q) MR

7、q031M(q) = -R sinqB端的水平位移为AOB(c)()p éùM-R sin qRdq+ q1 2cos 3= 1 òD-êë0 úBHEI0ûR2Mpò=sin q + sin 2q Rdq 03EI02= 2M0R）提供北航951网学天地（网学天地（）提供方法2:载荷加在载非静定基上载荷系统的 F '解静不定问题，求RBq41F='AOBB3pFB'(d)4()()R(1-cosq) - RsinqMq = F R 1-cosq - Rsinq =''B3p

8、(1+ 2cosq)2MM(q) =R(1-cosq) - M= - 03RM003）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例2：已知EI为常数，求qA1、去除多余约束，建立相当系统MMAlBAB2、利用变形协调条件载荷法求Hc和lM ( x ) = æ M - Hö xHCDCCC= 0çC ÷11lèøM ( x ) = - x11lABM ( x ) = - xM ( x ) = - Hx2C222lx1éùl æ H- M ö x1lòòxD=*x dx +Hx *

9、x dxçC÷111ê2 ú21CC22EIèløMëû00CD= 0H=CC2l）提供北航951网学天地（网学天地（）提供载荷法求qA 。结构的弯矩方程为：2. 第二次利用1AlBM ( x ) = - MMxM ( x ) =x12212l2llx1x2M ( x ) = 1 x - 1M ( x ) = 0C211lMx *æ 1 x- 1ö dx = -1Mllòq=由1法：载荷1ç l1÷1AEI2l12EIèø0lAB自行验证将基上，

10、应用力偶载荷加在非静定载荷法求qA的结果lC）提供北航951网学天地（网学天地（）提供二、内力静不定结构分析切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力相当系统利用切开截面的相对广义位移为零，利用立变形协调条件载荷法建FFmDf= 0= 0= 0m / m 'mm / m 'qm / m '）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例3：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。a4a解：静不定度：21P87a538 - 2´5 + 3 = 1内力静不定度：61、去除多余约束，建立相当系统4m21N7P2、建立补充方程(找变形协调条件)N7853m6Dm / m&

11、#162;= 0）提供北航951网学天地（网学天地（）提供421NP7N78536412118536）提供北航951网学天地（liNiNi12a- 2P02aP03a- 2 N- P27- 224a- 2 N27-225a- 2 N27- 226a- 2 N- P27-2272aN7182aN7 +2P1网学天地（）提供8= åNi Ni liDm / m¢a4aEA(2 +i =1a21=2 )N+ (2 +2 )P = 0P877EAa532 P6= -N721114442121218 38 385553666）提供北航951网学天地（网学天地（）提供思考2：求BD杆的

12、转角，正确的载荷系统是 DDAA1aF1aBBCC( A)DADADA221a2a2a1a22BCCC2a2aBB( B)(C )( D)答：C、D）提供北航951网学天地（网学天地（）提供分析（1）载荷法求解的是原结构在原载荷下的BD转角,而不是静定基（C或D）在载荷下的BD转角。DA1 22a622aCB(C )DA122a622aCB( D)（2）尽管不同的静定基在同样位载荷法计算出的BD转角却是相同的网学天地（载荷作用下的内力FNi不同，但按单6å1 + 2 21q=F F l = -NiNi iEAi =1 北航951）提供iliFN iF Ni1a3 -2 F4 1 2a

13、22a2 - 32 F403a3 -2 F4- 1 2a42a2 +2 F4- 22a5a3 -2 F412a6a- 1 +2 F4 1 2ailiFN iF Ni1a3 -2 F4022a2 - 32 F422a3a3 -2 F4- 1a42a2 +2 F405a3 -2 F406a- 1 +2 F40网学天地（）提供例4：已知I=Aa2/10,求杆CH的轴力以及节点H的垂直位移aa解：¾求CH杆的轴静不定度：DBCEAHFEIEIa组合梁：1度内力静不定去除多余约束，建立相当系统AEI1、2、建立补充方程(找变形协调条件)DBD= 0Cm / m¢FNFNAHP）提供北

14、航951网学天地（网学天地（）提供x2x1建立相当系统：DBCFN= FNR= RFRBANBD2RDFM (x ) = FNM (x ) =Nx ,xHF112222x3M (x ) = (F- F )x ,3N3载荷状态：DBC11M ( x1 ) = 2 x1M ( x2 ) = 2 x211HM ( x ) = x33Aa3a31FaDm-m'=2 ´ N ´+ (FN- F ) ´ +FNEI433EAF= 5 FD= 0Nm / m¢9）提供北航951网学天地（网学天地（）提供aaØ 求节点H的垂直位移：DBCEAHFEIE

15、Ia将载荷加在基本系统上AEIM ( x ) = 0M ( x ) = 012M ( x3 ) = - x3DBCAH1a4Fa31fH = EI ò (FN - F )=27EI30）提供北航951网学天地（网学天地（）提供）提供北航951网学天地（网学天地（）提供作业分析：1320DqDqBAF MeA,B横截面上加何种外力使二截面恰好密合？一般地，设需要在AB截面上加在集中力F和集中力偶Me使AB面密合两个条件需同时满足方能密合：Dq ´ R（1）AB相对位移为Dq（1）A网B相学天对地转（）提供北航951网学天地（）提供DqDqDqBABABA11F Me= R (

16、1- cosq )M (q ) = Me+ FR (1- cosq )Mq = 1MF12p1EI ò02pq =M (q )M (q )RdqD =ò0M (q )MF (q ) Rdq EIq 1 EI2p1* éM+ FR (1- cosq )ùRdq= 1 EIò2p=éM+ FR (1- cosq )ùR (1- cosq ) Rdqòëëûûee00=EIDqF = 0=Me2p R）提供北航951网学天地（网学天地（）提供§14-3对称与称静不定问题分

17、析 高度静不定问题的求解较为繁琐 如果研究对象是对称结构，加在对称结构上的载荷又是对称或称的，那么静不定问题的求解将会简化¾基本概念4对称结构：形状、截面、材料性质、支持方式等沿对称面对称。对称面）提供北航951网学天地（网学天地（）提供4对称载荷：作用位置、方位与指向对称，数值相等的载荷作用在对称面上的集中载荷是对称载荷称载荷：作用位置与方位对称，数值相等，指向4称的载荷作用在对称面上的集力偶荷是称载荷PPPMMMMFFFF沿对称面对折后， 载荷完全重合网学天地（沿对称面对折后，载荷大小相同，方向相反）提供北航951PMP网学天地（）提供¾对称定律FFF）提供北航951网

18、学天地（网学天地（）提供4对称载荷作用时对称面上的变形与受力特点：aaaaFFFF对称面变形特征：DC = 0 , qC = 0SC = 0对称面内力特征：Fz利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算.D C = 0,qC= 0, 可以唯一确定对称内力z利用对称变形条件FN C , MC .，（例如取左半结构为研究对象)）提供北航951网学天地（CAC ¢BCAMCFN CMCFN CB网学天地（）提供称作用时对称面上的变形与受力特点：MMCMCMC ¢FS CABABFS Cf C = 0内力特征： F NC = 0 , MC = 0变形特征：z利用称变形条件f

19、 C = 0 ，可以唯一确定称内力FSCz在结构对称点C，对称加载情形，可直接确定一个内力，称加载情形，可直接确定两个内力。）提供北航951网学天地（网学天地（）提供F例：已知圆环EI，求B、D相对位移dBAC解：（1）建立相当系统R结构和载荷关于AC对称，故A、C截面上剪力为零；又A、C关于载荷对称，故A、C截面上的内力相等（其中轴力F/2)DFF2BjFBBRoAoAACMM AAF2F2qq=0= 0）提供北航951q= 0BAA网学天地（网学天地（）提供载荷法，计算MB解：（2）利用F2BjM BF2M (j ) = MR sin j-BM (j ) = 1oApæj 

20、46;1- FòqR sin÷ Rdj =2 ç MB0BEIè2ø0B1R æ p- 1 FR ö = 0MEI ç 2÷Bè2øjoAFR æ 1 - sin j öM= FR , M (j ) =ç p÷pBè2ø）提供北航951网学天地（网学天地（）提供（3）计算 DBDF2B1利用 4 圆环MB- sin j öM (j ) = FR æ 1jç p÷Rè2ø

21、;oAM (j ) = - R sin jD B= 2D BD1Bpsinj öæ 122 (- R sinj ) FR ç-ò÷ Rdj=è pEI2ø0jRFR34p EIFR3(p 2- 8) = 0.149=oAEI）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例：小曲率圆环，B端固定，A端受力F已知R,EI.求A截面内力.F2F2AFFAARRRBBBF2F2F2FR2FRF2A称轴AB上FSjMA = 0,FNA = 0,f A = 0）提供北航951FS内力特征未知力B变形特征:网学天地（网学天地（）提供F2ARs

22、inj -1FR(1-cosj)M(j)= FFSjS2M(j)= RsinjBp1j )M(j )Rdj= 0M(òEI 0AR3 p111j3×-FR ×2)=0(FSEI22= 2FFSpB）提供北航951网学天地（网学天地（）提供F例：对称还是称问题？a2双对称轴问题FFa2双称轴问题a2a22F- 2F cos45° = 0F FS2 FFSF=S2F一类双称轴问题可仅用平衡条件求解FS）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例：对称还是称问题？FF2对称问题F2称问题F中间杆的内力是多少？）提供北航951网学天地（网学天地（）提供结构对称、

23、载荷不对称的问题F2FFF222F+=FxFFxFyFy结论:结构对称、载荷不对称的平面结构问题可分解为一个对称与一个网学天地（称问题。）提供北航951网学天地（）提供结构不对称、载荷也不对称的问题F2F2FF+=）提供北航951网学天地（2F2网学天地（）提供改错 ：求C点支反力与铅垂位移 DcvF2F 1CFNx1aa22x214a=FFNF1414对不对？不对！配置( x 1 ) =) =12F a -Mx 1 , M( xF x222) =) =1M( xx, M ( xa112的载荷11211aaòòD=Fx2dx +- Fax dx )( Fa28Fa3系统必须

24、能够静力平衡CH122EIEI8003= Fa111+-) =(网学E天I 地4（8）提供北航951网学天地（）提供F21x1a2x2a121414( x ) =, M ( x ) =Fa -MFxFx1122( x ) = 1 a -12( x ) =Mx, Mx11222a20112FaòòD=Fx 2 dx+( a - x) 2 dxCV 1122EI 8 EI 0Fa 3=网学天1地6（E）提供北航951网学天地（）提供对称与称静不定问题的几个要点 对称与称静不定问题都是基于对称结构而言的，对称结构上作用一般载荷往往可以分解为对称载荷和的叠加称载荷 利用内力的对称与

25、称性，直接确定对称面上的若干内力为零，以部分结构为基础建立相当系统，以对称面的变形特点为协调条件，求解对称面上剩余的未知内力 利用对称与称性，只是简化了对称结构静不定问题的求解过程，并没有降低结构的静不定度）提供北航951网学天地（网学天地（）提供）提供北航951网学天地（网学天地（）提供§14-4平面刚间受力分析 平面刚架轴线位于同一平面的刚架 面内加载外载荷位于刚架轴线平面内（已研究） 面外加载外载荷位于垂直于刚架轴线平面ABqqAFBMMCDCDF（a）平面刚架面内加载（b）平面刚架面外加载）提供北航951网学天地（网学天地（）提供面外加载时变形与受力的特点:qEAAAyyFM

26、MMFFeeeSySyMzxxTTBBBBCFNzSzMyDzC位移小变形时,横截面形心在轴线平面内的位移（轴线的面内变形）忽略不计内力六个内力分量中, 凡面内的内力分量（轴力FN、面内剪力 FSz与面内弯矩My）忽略不计反力作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩忽略不计）提供北航951网学天地（CD网学天地（）提供一般载荷分解及面内、面外内力分量:*MyFy*F *MzzMF *MxxM yFSyFNTMxFSF面外内力与面外约束力分量面内内力与面内约束力分量一般载荷的分解结论：作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外载荷，分别引起面内与面外内力，可以解耦计算。）提供北航951网学天地（网学天

27、地（）提供面外载荷与面内载荷对称问题的比较面内载荷对称问题aaFFSC = 0对称面上内力特征： F）提供北航951网学天地（CABMCFNCMCFNC网学天地（）提供面外载荷对称问题zAFBFsz M xFszM xTyaFyoTTeeTyxMeMe= 0, M zC= 0, FS Cx = 0对称面上的面内内力：FN C= 0,TC = 0FS Cz对称面上的面外内力特征：q Cx= 0变形特征：）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例：已知EI，GIP，求C点内力MCx 及铅垂位移zAFBFaa2yoCCMCxa 2a 2a 2x分析：待求未知量MCx变形条件：qCx = 0）提供北

28、航951网学天地（网学天地（）提供1).求MCXF2ax2x1MCX1C- 1 FxM( x ) =- 1 Fx- 1 Fa4M( x ) = MT( x ) = M1M ( x1 ) = 1CX1222CX22M ( x) = 0T( x ) = 122a 2òM( xaT ( x11q=)dx +)T ( x )dx= 0)M ( xò111222CXEIGI0p 0(GI+4EI )Fa=pMCX8(GI p +2EI )）提供北航951网学天地（网学天地（）提供D C V2).求铅垂位移F2a1x2x1MCXCM(x )= M-1FxM(x )=-1FxT(x )=

29、 M-1Fa1Cx1222Cx224()M( x )=-xT(x )=-a2M x=-x12212a 2ò (Ma 1 Fxa(M- 1 Fx- 1 Fa)×1adx1112dx -D= -)x dx +EI òEI2òCx11122CxCV2242GI00p 0= -( 1 +1)M 8EI2GI pa2 +( 3+1)Fa3 16EI8GI pCx）提供北航951网学天地（网学天地（）提供面外载荷的称问题zABaaM0yToCCa 2a 21a 2M20xFCz=对称面上面内内F0 , M0 ,F0NCz CSCx力：对称面上面外内力特征：= 0MC x DCz = 0, qCy = 0变形特征：）提供北航951网学天地（网学天地（）提供例：求图示结构C点内力aa22CTCM 0M 0yFsczxz=分析：面内内力F0, F0, M0N C S C yc z面外内力M0(称)cy未知力（偶） F scz