第一章单击此处编辑母版标题

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 1.5 1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开目的：把高阶行列式化为低阶行列式目的：把高阶行列式化为低阶行列式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划

2、去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定义定义,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12

3、M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA注注1 1 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式和一个代数余子式注注2 2 和和 与与 的大小无关，而与的大小无关，而与 的位置有关。的位置有关。ijMijAijaija定理定理1.3 1.3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则11121112211122,1,2, nikiikkiiiinnn

4、nniinininDa Aa AaaaaaaaAa Ainaaa11121211122211,1,2, nnnkjkjknnnjjjjnjnjjjnjaaaaDa Aaaa Aa Aa Aaaajn或例例212223313233111112121311113222321232122111213323331333113223Daaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第一行展开111321233133121222223232212311131113122232313331312321223232 aaDaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第二

5、列展开注：代数余子式中，余子式前的符号注：代数余子式中，余子式前的符号“”、“”的规律的规律 （1）主对角线元素余子式前带）主对角线元素余子式前带“”（2）相邻两元素的余子式前）相邻两元素的余子式前 “”、“”相间相间证明证明只对行证明只对行证明. .分三步（先特殊，后一般）分三步（先特殊，后一般）nnnnpppppppppnnnnnaaaaaaaaaaD21212121)(21222211110011a假设行列式第一行除假设行列式第一行除 外都为外都为0 0，则由定义，则由定义11annnnppppppaaa222211)1 (11nnnnppppppaaa2222)(1111111Ma11

6、1111) 1(Ma1111Aa11annnjnijnjaaaaaaaD1111100假设行列式第假设行列式第i i行除行除 外都为外都为0 0，则，则ijaD为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步里为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步里面的形式，我们把面的形式，我们把 的第的第 行依次与第行依次与第 行交换，共交换行交换，共交换 次；再把次；再把 的第的第 列依次与第列依次与第 列交换，共交换列交换，共交换 次，得次，得i1 , 2, 1ii1ijD1 , 2, 1jj1jija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnn

7、jnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ija在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijMija于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa i

8、ja 一般情形一般情形.ijijAannnniniinaaaaaaaaa212111211000000111211212niiinnnnnaaaaaaaaannnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 证毕证毕利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某某一行（列）化为仅含一行（列）化为

9、仅含1 1个非零元素，再按此行（列）展开个非零元素，再按此行（列）展开, ,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。二阶行列式。注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个一定简化计算，因为把一个n n阶行列式换成阶行列式换成n n个（个（n n1 1）阶）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义

10、。但展开定理在理论上是重要的。定理在理论上是重要的。例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 03550100131111115 例例2 计算计算 n 阶三对角行列式阶三对角行列式baabbaabbaabbaDn111解解nD展开按1r1)(nDbabaabbaabbaabbaabab1110121)(nnabDDba由递推公式由递推公式 可得可得21)(nnnabDDbaD)(211nnnnaDDbaDD)(322nnaDDb)(12

11、2aDDbn又因为又因为 ， ，则，则 ，于是于是 baD1222babaDnnnbaDD1babababaanbabbaababbaDababDabaDDnnnnnnnnnnnnnnnnn,) 1(11111122111221一般地，若导出的递推关系式为一般地，若导出的递推关系式为)0(21nnnDDD)(211nnnnpDDqpDD则可先将其转化为则可先将其转化为进行递推得进行递推得)(1221pDDqpDDnnn),(qpnf记做),(1qpnfpDDnn其中其中 为一元二次方程为一元二次方程 的两根的两根. .然后然后再利用再利用qp,02xx依次递推求出依次递推求出 . .nD例例3

12、 计算计算 2n 阶行列式阶行列式dcdcdcbababaDn222 nD解解把行列式按照第一行展开，得把行列式按照第一行展开，得)12()1(21120000) 1(nnndDaD)12()1(2210000) 1(nnncDb ) 1(21) 12() 1(2) 12() 12() 1)(1() 1(nnnnnDbcDad21)1(2)()(DbcadDbcadnnbcaddcbaD2又因为又因为nnbcadD)(2所以所以例例4证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式nijjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121).(111)1()(1nnx

13、x)()(23212xxxxxxnn)()(12111xxxxxxnn所以，共有所以，共有 项。项。2) 1( nn 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(21ijjixx）式成立）式成立时（时（当当12 n阶范德蒙行列式成立，）对于假设（11n时当2n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn )()()(211312jnijinnxxxxxxxxD).(1jnijixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范

14、德蒙行列式阶范德蒙行列式就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 证毕证毕v 可以利用范德蒙行列式的结论求行列式例例5 计算计算 n+1 阶行列式阶行列式111)() 1()() 1()() 1(1111naaanaaanaaaDnnnnnnn分析分析该行列式与范德蒙行列式形式不同，不能直该行列式与范德蒙行列式形式不同，不能直接用范德蒙行列式的结论，因此要把它化为接用范德蒙行列式的结论，因此要把它化为范德蒙行列式。范德蒙行列式。解解 把把 最后一行依次与前面各行交换到第一行，最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二

15、行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续做下去，则共经过交换这样继续做下去，则共经过交换 次行后次行后可得范德蒙行列式可得范德蒙行列式1nD2) 1( nnnnnnnnnaaanaaanaaaD)() 1()() 1()() 1(111) 1(2222)1(1(1)211( 1)(1)(1)n nj i naiaj (1)211( 1)()n nj i nji 11()j i nij (1)(1)2211( 1)( 1)()n nn nj i nij 例例 证明证明n+mn+m阶行列阶行列nnnmnnnmmmmmmnbbccbbccaaaaD1,1111, 111,1111000

16、0nnnnmmmmbbbbaaaa11111111 证证 当当m=1m=1时，成立；假设时，成立；假设 m-1 m-1时成立，证明时成立，证明m m时时成立。成立。将将D D按第按第1 1行展开，则有行展开，则有nnnnmnnmmmmmbbccbbccaaaaaD12111112222211110000) 1(nnnnmininnnmiimmimimmmiiiibbccccbbccccaaaaaaaaa11,1,211111, 11, 1121,1,121,21,221110000) 1(nnnmnnnmmmmmmmbbccbbccaaaaa11,11111, 1111,11,22111000

17、0) 1(nnnniinnnnmininnnmiimmimimmmiiiibbbbAabbccccbbccccaaaaaaaaa11111111,1,211111, 11, 1121,1,121,21,221110000) 1(由归纳假设有由归纳假设有所以所以nnnnmmbbbbAaAaD1111111111)(nnnnmmmmbbbbaaaa11111111 证毕证毕同理有同理有)det()det(BABOCA（其中（其中A,BA,B皆为方阵）皆为方阵）例例 计算行列式计算行列式0032001112333142D0151403023412010D1231641200430021D定理定理1.

18、4 1.4 行列式任一行（列）的元素与另一行行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 0

19、2211jiAaAaAanjnijiji 相同相同例例6 已知已知 5 阶行列式阶行列式2705134221115421311222543215D求求 和和 ，其中，其中 为为 的第的第4 4行第行第 j j个元素的代数余子式。个元素的代数余子式。 434241AAA4544AA)5 , 4 , 3 , 2 , 1(4jAj5D解解由已知条件有由已知条件有0)()(227)(2)(45444342414544434241AAAAAAAAAA解得解得18, 94544434241AAAAA关于代数余子式的重要结论关于代数余子式的重要结论;,0,2211jijiDAaAaAajninjiji当当;

20、,0,2211jijiDAaAaAanjnijiji当当思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100210001nnDn00103010021321 n001030100210010n001030100211000n001030100211111 .11!2 njjnLaplace Laplace 定理定理 定义定义1.7 1.7 在在n n（1)

21、1)阶行列式阶行列式D=det(aij)D=det(aij)中任意中任意选定选定 k k 行行 k k 列列(k (k 1), 1),位于这些行和列位于这些行和列的交点上的的交点上的k2k2个元素，按照原来的位置组成的个元素，按照原来的位置组成的k k阶行列阶行列式式M M，称为称为 D D 的一个的一个 k k 阶子式。在阶子式。在 D D中划去中划去 k(1k(1k kn)n)阶阶子式子式 M M 所在的第所在的第 i1, i1,ik ,ik 行及第行及第 j1,j1,jk ,jk 列，剩下列，剩下的元素按照原来的位置组成的的元素按照原来的位置组成的 n-k n-k阶行列阶行列式式N N称

22、为称为M M的余子式；而的余子式；而 称为称为M M的代的代数余子式。数余子式。Nkkjjii)()(11) 1( 定理定理1.6(Laplace) n(1)1.6(Laplace) n(1)阶行列式等于某阶行列式等于某k(1k(1k kn)n)行行( (列列) )中所有中所有k k阶子式与它们对应的代阶子式与它们对应的代数数余子式乘积之和。余子式乘积之和。 证：证：(1)(1)设设D D 的左上角元素组成的的左上角元素组成的k k阶子式阶子式D1D1及及它它的余子式的余子式D2D2，则，则D1D1的代数余子式为的代数余子式为22)21()21() 1(DDkk又又D1D1中的每项都可写作中的

23、每项都可写作knkppppppaaa212121)() 1(其中其中p1,p2,p1,p2,pk,pk是是1,2,1,2,k,k的一个排列。的一个排列。而而D2的展开式中每一项都可写成的展开式中每一项都可写成nkknkknqqkqkqqqaaa2121,2, 1)() 1(其中其中qk+1,qk+2,qn是是k+1,k+2,n的一个排列。的一个排列。由由于每个于每个qi都比都比pj大，所以大，所以)()()(21212121) 1() 1(nkkknkkkqqqpppqqqppp故故D1的任一项与的任一项与D2的任一项相乘得的任一项相乘得nkkknkkknqqkqkkpppqqqpppaaaa

24、aa21212121,2, 121)() 1(即即D1D2的每一项恰好是的每一项恰好是D中的一项。中的一项。 （2 2）证）证MiAiMiAi中的每一项都是中的每一项都是D D中的一项中的一项设设D D中所选定的中所选定的k k行为行为i1,i2,i1,i2,ik(ik(不妨设不妨设i1i2i1i2ik),ik),子式子式MiMi在在D D中的列标为中的列标为j1,j2,j1,j2,jk,jk，且不妨设，且不妨设j1j2j1j2jk,jk,令令 i1+i2+i1+i2+ik+j1+j2+ik+j1+j2+jk=t+jk=t则有则有 Ai=(-1)tNi , Ai=(-1)tNi ,因而因而 MiAi=(-1)tMiNi . MiAi=(-1)tMiNi .将第将第i1i1行依次与它上面的各行交换，换到第行依次与它上面的各行交换，换到第1 1行；然后行；然后仿此第仿此第i2i2，i3i3，ikik行换到第行换到第2