静定结构位移计算双语

1、1.1.结构的位移结构的位移 Displacements of structures线位移：结构某点移动的距离（线位移：结构某点移动的距离（ ）Linear displacements or translation: the distance of movement of a point alone a line;角位移（转角）：结构构件某截面转的角度（角位移（转角）：结构构件某截面转的角度（ ）Angular displacement or rotation:sectional rotation of a member of a structure. 22AyAxA相对（线）位移：两点之间距

2、离变化相对（线）位移：两点之间距离变化Relative linear displacement: the change of the distance between 2 points.DCCD相对角位移（转角）：两截面之间夹角变化相对角位移（转角）：两截面之间夹角变化 Relative angular displacement:the change of the angle between 2 sections.BAAB 为便于进行理论分析和公式推导，将所讨论的各种为便于进行理论分析和公式推导，将所讨论的各种结构位移用统一的符号来表示结构位移用统一的符号来表示 ，称为广义位移。，称为广义位移

3、。For the convenience of the proceeding of theoretical analysis and derivation of formulae, we denote all kinds of displacements by , , which is termed as generalized displacements注注Remark：广义位移可以看成为代表位移的抽象符：广义位移可以看成为代表位移的抽象符号，在具体问题中表示具体位移号，在具体问题中表示具体位移. Generalized displacements may be looked at as a

4、bstract sign, which represents concrete displacement in concrete problems.讨论讨论Discussion：位移与变形：位移与变形 displacements and deformation 位移位移变形的宏观集成表现变形的宏观集成表现 Displacement- macroscopic integration of deformation.变形变形相对位移相对位移 Deformation- relative displacement per unit length or angle. 两者之间有区别，又有联系：两者之间有区

5、别，又有联系：These 2 terms have differences and also have relations(a)变形可引起位移（转角）；变形可引起位移（转角）；Deformation induces displacements(b)变形可由相对位移（或转角）来表示。变形可由相对位移（或转角）来表示。Deformation may be represented by relative displacements.荷载；温度变化；支座移动（沉降）；材料收缩；制作荷载；温度变化；支座移动（沉降）；材料收缩；制作误差等误差等 Loads, temperature change, sup

6、port settlement, contraction of material, manufacture errors etc. （1 1）、校核结构的刚度）、校核结构的刚度checking rigidity of structures；（2 2）、为超静定结构计算打基础）、为超静定结构计算打基础preparation for the calculation of statically indeterminate structures。1 1、功、虚功、功、虚功work and virtual work, 功：功：力与沿力方向的位移的乘积，力与沿力方向的位移的乘积，W=F Work: the

7、 product of force and the distance in the direction of force.当位移与力方向相同时，力作的功为正。当位移与力方向相同时，力作的功为正。If the directions of force and distance coincide, then the work is positive.力偶作功力偶作功 work done by a couple of forces：W=M M为力偶矩为力偶矩 M is couple of forces ， 为角位移为角位移 angular displacement。力在线位移上作功，力偶在角位移上作功

8、；力在线位移上作功，力偶在角位移上作功；实功实功real work：力在与力有关的位移上作的功：力在与力有关的位移上作的功work done by force in related displacement。线弹性体上外力的实功线弹性体上外力的实功for elastic bodies：FW21虚功虚功virtual work：力在与之无关的位移上作的功：力在与之无关的位移上作的功work done by force in unrelated displacement 。 FW作功的过程中，力保持不变作功的过程中，力保持不变force remains constant during the pr

9、ocess of doing work。广义力广义力generalized forces：用符号：用符号F F表示集中力、力偶、力对、表示集中力、力偶、力对、力偶对等，力偶对等，广义力在相应的广义位移上作功广义力在相应的广义位移上作功 generalized forces correspond to definite generalized displacements.功的表达式写成功的表达式写成work can be expressed as ：W=F 广义力，广义力， 广义位移。广义位移。(a)(a)刚体的虚功原理刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的充：刚体体系处于平衡的充要条件是对任何虚位

10、移，所有外力作的虚功总和要条件是对任何虚位移，所有外力作的虚功总和为零。为零。 （外力包括荷载和约束力（如支座反力）（外力包括荷载和约束力（如支座反力）External forces include external loads and reaction forces.(b)(b)变形体的虚功原理：变形体处于平衡的充要变形体的虚功原理：变形体处于平衡的充要条件是对任何虚位移，外力所作虚功总和等于各条件是对任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上内力在其变形上所作虚功总和。微段上内力在其变形上所作虚功总和。即：即：)(VeWW 虚功原理虚功原理the principle of virtual w

11、ork ：（平衡）（平衡）（协调）（协调）1 1、按外力虚功与内力虚功角度来计算总虚功：、按外力虚功与内力虚功角度来计算总虚功：取微段取微段dsds，其上所有力状态中的力在位移状态的位移上作的虚功，其上所有力状态中的力在位移状态的位移上作的虚功dW=dWe+dWi则总虚功则总虚功W为：为：the total virtual work is iedWdWdW或或ieWWW如图如图：（截面两侧位移相（截面两侧位移相同，而作用力方向同，而作用力方向相反）相反）At the 2 sides of the section the displacements are identical, and the

12、forces are opposite.0iW故故所以所以eWW (dWe 外力虚功外力虚功，dWi 内力虚功内力虚功)2 2、按刚体虚功和变形虚功来计算总虚功：、按刚体虚功和变形虚功来计算总虚功：dudv = ds d 轴向变形轴向变形剪切变形剪切变形弯曲变形弯曲变形（两截面之间相对位移）（两截面之间相对位移）VSdWdWdW0SdW而而故故VdWdW即即VWW 于是有于是有VeWW （外力虚功等于变形虚功）（外力虚功等于变形虚功）（刚体位移引（刚体位移引起）起）（变形引起）（变形引起）VeWW We外力虚功总和外力虚功总和the sum of external force worksWV

13、微段变形虚功的总和微段变形虚功的总和the sum of internal force worksyqdsCFFWReduFdsFMdWNSV注注remark：在证明中没有涉及材料的本构关系，因此对弹性、非：在证明中没有涉及材料的本构关系，因此对弹性、非弹性，线性、非线性的变形体，虚功原理都适用。弹性，线性、非线性的变形体，虚功原理都适用。The proof of the principle is not concerned with the constitutive relations of materials, therefore the principle is valid for an

14、y materials.duFdsFMdyqdsCFFNSR或或虚功原理的应用虚功原理的应用the application of principle of virtual work：principle of virtual displacement.principle of virtual s.（本章将应用这一原理计算结构位移（本章将应用这一原理计算结构位移In this chapter we will use principle of virtual s to determine unknown displacements ）The general equation and unit loa

15、d method for determination of displacements 实际问题实际问题计算计算 K沿沿 K施加单位力施加单位力 )(duFdsFdMCFFNSRKK得得：实际荷载引起的位移实际荷载引起的位移状态状态displacement state induced by actual loads单位力荷载引起的单位力荷载引起的力状态力状态force state induced by unite load )(1duFdsFdMCFNSRK即即： )(duFdsFdMCFNSRK得：得：对一般情况，上式可写成对一般情况，上式可写成 In general case the ab

16、ove equation can be written as： CFduFdsFdMRNS)(unit load method CFduFdsFdMRNS)(弯曲变形弯曲变形bending 剪切变形剪切变形shear轴向变形轴向变形elongation支座移动支座移动support settlements注：注：1 1、公式中，、公式中， 实际上是实际上是F=1F=1所作的虚功，因此，所作的虚功，因此，计算结果为正计算结果为正时，时， 与与F=1F=1方向相同；计算结果为负时，方向相同；计算结果为负时， 与与F=1F=1方向相反。方向相反。Remark: is actually the vir

17、tual work done by F=1,F=1,if the result is positive, then the direction of coincides with that of F=1F=1; otherwise the direction of is opposite to that of F=1.F=1. 2、 是广义位移是广义位移 is generalized displacement。3 3、F=1 F=1 是在是在 上作功的广义力上作功的广义力is the force doing work in 公式为虚设单位力公式为虚设单位力F=1F=1在在 上作的功，因此上作的

18、功，因此F=1F=1要与要与 相应（相应（F=1F=1为为广义力）广义力）The correspondence between generalized unit force and generalized displacement 。下面举例说明下面举例说明F=1F=1的类型：的类型：Ax A设置单位力可设置单位力可以求线位移以求线位移设置单位设置单位力偶可以力偶可以求线位移求线位移设置一对单位设置一对单位力可以求相对力可以求相对线位移线位移设置一对力偶设置一对力偶矩可以求相对矩可以求相对线转角线转角由材料力学由材料力学from material mechanics：dsEIMdPPdsEAF

19、duPNPdsGAkFdsPSP；实际状态实际状态real systemdsEAFFdsGAFkFdsEIMMNPNSPSP虚设（单位力）状态虚设（单位力）状态Virtual unit force statedsEIMMPEAlFFdsEAFFNPNNPN积分运算积分运算转化为代转化为代数运算数运算。)()(桁弯EAlFFdsEIMMNPNP实体拱，一般只取弯矩项即可；扁平拱，压力较大，应该考实体拱，一般只取弯矩项即可；扁平拱，压力较大，应该考虑轴力的影响；计算曲杆时可以忽略曲率的影响；虑轴力的影响；计算曲杆时可以忽略曲率的影响；2, 02qxMMp2,2qlMxMpAB段段：BC段：段： E

20、IqadxqaxEIdxEIMMaPCH4211202AB段段：BC段：段：1M221qxMP ， 1M221qaMP EIqadxqaEIdxqxEIdxEIMMaaPC322111211130202mmNmNEAlFFNPND008. 01021010)2000009403002(293条件条件condtions：1.杆件为直杆杆件为直杆the members are straight；2、EI沿杆件不变沿杆件不变EI=constant；3、M 与与M M图中至少有一个为直线图形图中至少有一个为直线图形At least one of moment diagrams is straight

21、line 。则则CPyAEIdsEIMM1* c形心形心MP图A图MyC对于图示弯矩图对于图示弯矩图tanxM CCPPyAEIxAEIdxxMEIduEIMM1tantan也即上述积分等于弯矩图的面积乘以也即上述积分等于弯矩图的面积乘以形心对应的另一图形上的竖标。此法形心对应的另一图形上的竖标。此法为图乘法。此法为莫斯科建筑学院的为图乘法。此法为莫斯科建筑学院的学生学生 Veryschagin 发现。发现。CPyEIdsEIMM1The integral Equals to the product of the area and the ordinate of the centroid of

22、 another areaVeryschagin.抛物线的面积计算抛物线的面积计算 the areas of parabolas：naxy hlnA11形心位置形心位置the position of centroid离高边离高边 ln21阴影部分面积阴影部分面积hlnnhlnAP1)111 (形心位置离高边形心位置离高边 lnn)2(21基本图形的面积与形心位置基本图形的面积与形心位置 The areas and centroids of some commonly used graphs ：lhA213llhA322l83llhA324llhA31顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点：顶点：M M图

23、切线斜率为零图切线斜率为零hhhh（1 1） 梯形图形梯形图形trapezoidsCABEI2EIPP+（2 2） 抛物线图形抛物线图形 ParabolasParabolas+常见错误常见错误Common mistakes：0错误错误 )(12211yyEI错误错误 3 3、标准抛物线的方程为、标准抛物线的方程为equation of standard parabolanaxy 4.4.正负号正负号 the signs.正负三角形正负三角形 positive and negative triangles注意事项注意事项 RemarksRemarks： 1.EI1.EI整段相同整段

24、相同EI remains constant over the segmentEI remains constant over the segment；2.2.若若 、 位于不同的侧，则乘积为负；位于不同的侧，则乘积为负；If 、 lie on different sides of the base line, then the product is negative; 3.3.若若2 2图形都为直线，则竖标可以在任何以图形上取；图形都为直线，则竖标可以在任何以图形上取； If all 2 moment diagrams are straight-lined, then the ordinate

25、 of the centroid can be taken at any graph.4.4.若为折线若为折线, ,应该分段处理应该分段处理If one graph is polygon, and another is a curved trapezoid, then calculation should be performed over several segments；5.5.若若2 2图为梯形，则可以分解成三角形图为梯形，则可以分解成三角形If all 2 moment diagrams are trapezoids, then they can be separated into 2

26、 triangles；6.6.由均布载引起的弯矩图可以分解成抛物线、三角形或者梯形由均布载引起的弯矩图可以分解成抛物线、三角形或者梯形The M diagram induced by distributed loads may be separated into parabola, triangle or trapezoid。MPMMPM 例例 求简支梁求简支梁B B端截面的角位移端截面的角位移 B B。Determine the rotation of end B 例例 求悬臂梁求悬臂梁B B端的竖向位移端的竖向位移 By By Determine the vertical displace

27、ment of end B。qllEI=常常数数B22qlMP1lM 例例 求梁求梁A A点处的转角点处的转角 及及C C点竖向位移点竖向位移 CyCy 。例例 求求C C、D D两点的相对位移两点的相对位移CD CD Determine the relative displacement of C and D.20kN/m40kN6mEIEI2EI2EIB BA AC C2m2m80808090MP(kNm)144MBx80808090MP(kNm)11M EIEIC260)21690323168021(1l/2l/2lACBq42ql42ql82qlPM1111MEIqllqlEIC242

28、1832132对于无支座位移得情况，应用虚功原理得单位荷载法求位移得对于无支座位移得情况，应用虚功原理得单位荷载法求位移得公式公式 For case without support displacements, using virtual work principle we obtain KdMdvFduFSN其中其中ddvdu,为实际状态中为实际状态中dx微段上由于温度改变所引起的变形微段上由于温度改变所引起的变形 实际状态实际状态real state 虚拟状态虚拟状态 virtual state当杆截面对称于形心时当杆截面对称于形心时when the section is symmetri

29、cal with respect to centroid we have 221ttt当杆截面不对称于形心时当杆截面不对称于形心时when the section is not symmetrical with respect to centroid we have hhththtthtdtt122112111tandxhtdxhttddvtdxdu12, 0,dMdvFduFSNk dxMhtdxFtN0 MNAhtAt0对于对于 的确定：比较实际状态与虚拟状态，若二者的确定：比较实际状态与虚拟状态，若二者相同，则取正号，否则取负号。相同，则取正号，否则取负号。对于桁架温度改变引起的位移为对

30、于桁架温度改变引起的位移为 lFtNk制造误差制造误差l引起的位移引起的位移lFNK)(332211CRCRCRCRdMdvFduFCFSNiRiK无外荷载时上式变为：无外荷载时上式变为：实际实际位移位移状态状态虚拟虚拟力状力状态态例：求例：求Determine the relative rotation of left and right of joint C实际实际位移位移状态状态虚拟虚拟力状力状态态实际实际位移位移状态状态虚拟虚拟力状力状态态dxGAFkFdxEAFFdxEIMMdvkFduFdMWSSNNSN21212121212112当先施加当先施加 再施加再施加 时，时， 在在 上

31、所作上所作的功为的功为1F2F1F2F displacements当先施加当先施加 再施加再施加 时，时， 在在 上所作上所作的功为的功为1F2F1F2FdxGAFkFdxEAFFdxEIMMdvkFduFdMWSSNNSN121212121212212112WW 212121FF reactions2112rr 小小 结结 SummarySummary1.1.基本概念基本概念 Basic concepts 功、虚功功、虚功work, virtual work；广义力与；广义力与广义位移广义位移generalized forces an displacements and their several cases。几种广义力及广义位移几种广义力及广义位移 。2.2.变形体的变形体的虚功原理虚功原理 Principle of virtual work基本物理意义基本物理意义 basic physical meaning虚位移原理虚位移原理 Principle of vi