第二整与误差修正模型

1、本课程内容体系学的发展第一章计量第二章协整与误差修正模型宏观计量第三章向量自回归模型非结构建模第四章状态空间模型变参数模型第五章Panel Data 模型微观计量、宏观计量第六章离散数据模型微观计量、金融计量第七章第八章ARCH 模型蒙特卡洛模拟*金融计量随机分布特征第二章协整与误差修正模型第一节时间序列的平稳性第二节时间序列的单整性第三节时间序列的协整关系第四节误差修正模型问题来源：l 伪回归问题l 误差修正模型的原理时间序列的类型：随机性：确定性时间序列，随机时间序列平稳性：平稳时间序列，非平稳时间序列相关性：纯随机序列，自相关时间序列重点研究：非平稳自相关（随机）时间序列第一节时间序列的

2、平稳性讨论平稳性的意义：1、进一步研究非平稳时间序列之间的协整关系2、了解数据的生成过程（DGP）3、了解序列变化的内在机制一、平稳性的概念定义： E( yt ) = mCOV ( yt , yt-s ) = r(s)（序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关）推论： D( yt ) = r(0) = 常数图形特征：（1）在均值周围波动，频繁穿越均值；（2）波动幅度大致相同；（3）自相关系数快速衰减于 0（具有短期相关性）。2DJPY10-1-2220 240 260 280 300 320 340 360 380 400图 1 日元兑图 2差分序列上证综指率平稳时间序列的含义：任何外来冲击（或振

3、动）对序列变动轨迹的影响是短暂的，t 时刻的振动影响在 t+1 期会减弱，t+2 期会更弱，随着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水平（称外来冲击影响具有“短记忆”特征）。但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续下去，t 时刻的振动影响在以后的时期中衰减，所以序列也难以恢复到一个稳定状态。二、常见平稳序列1白噪声过程（white noise）纯随机序列D( yt ) = s2E( yt ) = 0COV ( yt , yt-s ) = 0记成： yt i.i.d (0, s2)2自回归过程（Auto regressionAR）yt = fyt -1 + et| f |<

4、; 1 ,t i.i.d (0, s2)。Q yt = f(fyt -2 + et -1 ) + et = et + fet -1 + f y= L2t -2t -1+L+ ft -1e + f t y= åfie= e + fet -1t -it10i =0t -1E( y ) = åf i E(e) = 0（设y0 = 0）t -iti =0s 2D( yt ) = (1+ f+ f+L+ f)s(1- f)2(t-1)224=1- f 22ts 2COV ( yt , yt -s ) = 1 - f 2 f= r(s)s短期相关所以，|<1 时，AR(1)过程是

5、平稳过程（渐进平稳）。2110-1-1-2yt=0.3*yt-1+t AR(1)三、常见非平稳序列1趋势平稳过程（trend stationary）（又称为：退势平稳过程，确定趋势平稳过程）。t i.i.d(0, s2)yt = + t + t ,14Y121086口序列450 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00302520151050yt=5+0.1*T+t 带趋势的白噪声性质：（1）E(yt)= + t， D(yt) = s2 ,COV(yt，yt-s) = 0（2）图形：趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂；（3）可以扩展成带趋势的 AR 过程：yt = + t +

6、yt-1 + t（4）平稳化处理：|<1方式 1：退势（消除长期趋势）yt ( + t ) = t i.i.d(0, s2)方式 2：差分：yt = yt yt-1 = +（tt-1） i.i.d (, 2s2)此时,E(yt) = ， D(yt) = 2s2 COV(yt，yt-s) =E(tt-1)(t-st-s-1)ì- s 2s = 1=ïíï0s > 1î所以，差分处理可以成为平稳过程，但却存在一阶自相关性（非白噪声序列）。2随机游走过程（random walk）和根过程（unit root）t i.i.d(0, s2)t

7、 平稳过程根过程）定义： 随机游走过程：yt = yt-1 + t ,yt = yt-1 + t ,根过程：（或：在 AR(1)过程中，当f = 1 时为性质：t -1= ået -iQ yt = et+ et -1+L+ e1 + y0+ y0i =0D( yt ) = ts® +¥2E( yt ) = y0（1） 外来冲击影响有长记忆性，难以回到稳定状态。（2） 一阶差分为平稳过程（即增幅是平稳的）。yt = yt yt-1 = t i.i.d (0, s2)，或平稳过程3带飘移项的随机游走过程/yt = a + yt -1 + et性质：根过程（随机趋势过程

8、）t -1+L+ e1 + y0 = y0 + at + ået -iQ yt = ta + etE( yt ) = y0+ et -1i =0D( yt ) = ts® +¥2（1） 具有随机（线性）趋势。（2） 外来冲击影响有长记忆性，难以回到稳定状态。（3） 一阶差分为平稳过程。l 确定趋势过程与随机趋势过程的区别：（1） 形式上都存在长期趋势，但前者是确定趋势，后者为随机趋势。（2） 随机因素影响的持续性不同，前者是即期影响，后期会很快消失，影响是短记忆的；而后者是累加影响，每次影响都会持续很长时间，且汇叠加，影响是长记忆的。（3） 从意义上理解，对于外来

9、冲击的影响，前者在暂时偏离长期趋势后会很快返回到长期趋势，趋势线波动；而后者在偏离“趋势”后可能很难回到原趋势，或者说没有明确的趋势（趋势是“漂移”的）。4带飘移项、趋势项的随机游走过程yt = a + bt + yt -1 + et性质：/根过程bbt -1+ ået -iQ yt = y0 + (a + 2 )t +E( yt ) = a + bt + ct22t2i =0D( yt ) = ts2（1） 具有随机（二次函数）趋势。（2） 外来冲击影响有长记忆性，难以回到稳定状态。（3）一阶差分+退势，成为平稳过程。5含有趋势的非平稳时间序列类型的识别数据生成过程（DGP） 类型

10、：（均可以扩展到 AR 过程）yt = + t + tyt = a + yt -1 + etyt = a + bt + yt -1 + et问题：1、如何区分趋势的类型？2、错误识别趋势类型后会产生什么影响？第二节时间序列的单整性一、 定义若非平稳序列 yt 经过 d 阶差分后成为平稳序列，则称其为d 阶单整序列，记成：yt I(d)；特别的，平稳序列记成 I(0)二、 性质若 yt I (0)，则a + byt I (0)若 yt I (1) ，则a + byt I (1)若 xt , yt I (0) ，则axt + byt I (0)1、2、3、若 xt I (0), yt I (1)

11、，则axt + byt I (1)（非同阶单整序列的线性组合服从高阶单整）4、若 xt I (1), yt I (1) ，则5、 ì I(1)一般情况下协整ax + byíI(0)ttî（同阶单整序列的线性组合可能会降阶）6、根过程是单整序列，但是单整序列不一定是根过程（如趋势平稳过程）。也就是说：非平稳的根过程经过差分后可以成为平稳过程，但是，非平稳的I(1) 过程并不一定就是根过程。三、 单整性检验根检验（一）DF / ADF 检验1检验模型：等价检验模型：= ryt -1+ et= gyt -1+ etDyt(1) yt(2) yt(3) yt= a + r

12、yt -1 + et= a + bt + ryt -1 + etDyt = a + gyt -1 + etDyt = a + bt + gyt -1 + etH 0 : g = 0 ， H1 : g < 0H0 : r = 1， H1 : r < 1；假设：1）原假设是根过程，备选假设是平稳过程或趋势平稳过程；2）随机误差项是平稳过程；2说明：（1）检验统计量 t = g / S(g) 服从维纳过程，ey、Fuller 求得了其极限分布的临界值，MacKinnon 求得 n 为任意值时的临界值。（2）不同的检验模型，对应的临界值也不同；所以，检验模型选择不当将会导致错误的推断。（3

13、）两类推断错误：根过程误认为平稳过程。(）类：H0 成立，但拒绝，弃真；即将根过程。()类：H0 不成立，但接受，取伪；即将平稳过程误认为MC 模拟结果表明，当模型变量和参数时，易犯类错误；而模型有冗余变量和参数时，易犯类错误。假设检验中一般是尽量减少犯类错误的概率，因此，检验过程按模型 3>2>1 的顺序检验；由于此时易犯类错误，误认为存在根，所以在 DF>DF时，还要由模型2、1 进一步是否是平稳过程，以免错误接受假设。（4） 利用模型 3 检验时，若 DF<DF，此时拒绝存在根的原假设，但并不意味着序列是平稳过程，实际上是趋势平稳过程，还需要经过 1 届差分才能平

14、稳，即为 I(1)序列。（5） 当序列是 AR(p)或误差项存在自相关性时，此时采用 ADF 检验（扩展的 DF 检验）：= gyt -1+ åg i Dyt -i + etDyt（1）（2）（3）Dyt = a + gyt -1 + åg i Dyt -i + etDyt = a + bt + gyt -1 + åg i Dyt -i + etADF 检验中要确定适当的滞后阶数，可以用 AIC 和SC 准则来确定。3根检验过程（理论）4根检验过程（EViews 实现） （1）选择带截距项、趋势项的模型：l DF<DF，为确定趋势 AR 过程l DF>

15、DF，如 F>F，为带趋势根过程（2）选择带截距项的模型：（DF>DF，且 F<F）l DF<DF，为 AR 过程l DF>DF，进入第 3 步（是否有截距项）（3）选择“无”的模型：l DF<DF，为 AR 过程l DF>DF，为随机游走过程检验过程中：（1）当 DF<DF 时，检验停止，为平稳过程；（2）当 DF>DF 时，先由 F 检验有无趋势；若无趋势（F<F），再进行 2、3 步检验，其中只要有一步满足 DF<DF，即为平稳过程；若为非平稳过程，则 2、3 步检验的结论应该一致，均为 DF>DF，差别只在于是否有

16、飘移项（即是否有随机趋势）。总之，平稳的结论容易接受，非平稳的结论要慎重。（三）根检验的其他方法1、PP 检验4、ERS 检验2、DFGLS 检验5、NP 检验3、KPSS 检验6、带突变点（变结构）的根检验参考文献：高铁梅：计量分析方法与建模M房林、周：多种根检验法的比较研究J梁琪、滕建州：中国宏观和金融总量结构变化及因果关系研究J第三节时间序列的协整关系一、问题来源来源：伪回归现象MC 模拟结果表明，2 个相互的非平稳序列很可能建立显著的回归模型>传统统计检验方法失去意义。伪回归的蒙特卡洛试验结果摘自动态计量学（韩德瑞秦朵）表 4-1 中的部分数据。序号ytxtRbp( t 

17、9; 2)1I(0)I(0)0.00040.00044.93%2I(1)I(1)-0.0060-0.009075.7%3I(2)I(2)0.00400.015094.06 %4I(0)I(1)0.0004-0.00014.58 %5I(1)I(0)0.00080.00304.86 %6I(2)I(1)-0.0230-1.840085.30 %7I(1)I(2)-0.0130-0.000584.44 %问题：1. 差分化处理将丢失信息，同时改变了模型的2. 非平稳序列能否直接建立回归模型？ 解决：含义当非平稳序列之间存在协整关系时，回归模型所表示的关系是“稳定”的提出一个新的“好模型”的评价标准

18、。二、协整的定义设时间序列kt I (d ) ，都是d阶单整序列，且存在非零向量 = (a1,a2 ,K,ak )' ，使得a1 I (d - b)，0 < b £ d ，kk 之间存在阶数为（d，b）的协整关系，简称则称变量xi 之间的关系是协整的，记成 xiCI（d，b）。其中， 称为协整向量,xi 的线性组合称为协整方程。三、协整关系的含义的是 CI（d，d），其中最常见的又协整关系中，我们最感是 CI（1，1），即 I (1) ，且a1 I (0) 。kk这样，协整关系的统计含义是：若干个非平稳序列经过线性组合之后成为平稳序列。例如，设 yt , xt 都是一阶

19、单整序列，如果ut = a1 ytyt = bxt + et（ b = -a2 / a1 ,et = ut / a1 ）+ a2 xt I (0) ，即：这表明，虽然 yt 、xt 是非平稳变量，但是它们的线性关系却是平稳的。因此，对于非平稳变量，如果它们之间是协整的，则可以利用回归分析方法建立模型，称这样的方程为协整回归方程。协整关系的含义：协整意味着变量之间存在着一种长期稳定的均衡关系。在外来“冲击”的影响下，变量可能会暂时偏离均衡状态（即原有的比例关系），但是随着时间的推移，偏差将会逐渐消失，系统将会恢复到长期均衡状态。四、协整关系的实例（1）持久收入理论根据持久收入假定，总消费 C 由

20、持久消费 CP 和暂时消费CT组成，而且持久消费与持久收入 YP 之间存在固定的比例关系，所以消费函数可以写成：C = CP + CT=YP+CT总消费C 和持久收入YP 一般都是一阶单整序列，如果暂时消费CT 是一个平稳的随机序列，则持久收入理论实际上是假定：总消费与持久收入之间存在着协整关系。（2）货币需求理论假定货币的长期需求由以下模型确定：Mt = b0 + b1Yt + b2 rt + et其中，Mt 是实际货币需求量，Yt 是实际 GNP，rt 是实际存款利率；假定货币需求与货币供给是均衡的（即两者相等），并且货币需求与收入、利率之间存在长期稳定的关系，则均衡误差e t 就应该是一

21、个平稳序列；否则，如果误差项e t 是非平稳序列或含有长期趋势，模型中的误差就会逐步累积起来，以至于对货币需求均衡状态的偏离将永远消失。五、协整与回归模型中变量的选择一般要求：（1）y 与 x1、x2、xk 同阶单整；（2）模型的误差项（即线性组合后的剩余部分）平稳。设定计量模型时，对于“同阶单整”需要注意：（1）如果只有一个解释变量 x，则 y 和 x 的单整阶数必须相同。（2）如果有多个解释变量，则 y 的单整阶数不能高于任何一个解释变量的单整阶数。（3）如果有一个解释变量的单整阶数高于 y，则模型中至少还要有一个相同阶数的解释变量，这样才可能组合降阶成与y 同阶的变量；例如，对于模型：y

22、t =b 0+b1 x1t + b2 x2t + et如果 yt I (1) ，x1t I (2) ，那么只有x2t I (2) ，并且b1x1 + b2 x2 I (1) 时，y 与 x1、x2 之间才可能存在协整关系，使得et I (0) 。六、协整检验协整性的检验方法主要有两个，一个是恩格尔和格兰杰于1987 年提出的“两步估计法”，简称“EG 两步法”，这种方法适用于检验变量之间只存在一个协整关系的情况。当变量之间有多个协整关系时，乔纳森（S.Johansen）在 1988、1991 年的两篇中提出了一个更为有效的检验方法 Johansen 检验（在 VAR 模型中讨论）。EG 两步法

23、检验过程：第一步：利用最小二乘法估计模型，并计算相应的残差序列：y = b + b x + eet = yt - (b + b x )t01tt01 t第二步：检验残差序列的平稳性：如果经过 DF 检验（或 ADF检验）拒绝了存在根的原假设，残差序列是平稳序列，则意味着y 和 x 存在着协整关系，称回归模型为协整回归方程；如果接受了存在根的原假设，则残差序列是非平稳的，y和 x 之间不可能存在协整关系，模型是伪回归方程。说明：1在检验方程中可以加上差分的滞后项消除误差项的自相关性，检验也相应称为 AEG 检验，其中滞后阶数一般用 SIC 或AIC 准则确定。2检验残差序列的平稳性时，如果是趋势

24、平稳过程，可以在原始回归方程中加上趋势变量，但在回归方程和残差检验方程中只能加一次，不能重复加入。3在检验残差序列的平稳性时，虽然检验统计量与 DF（或ADF）检验中的相同，但是检验统计量的分布已不再是 DF 或 ADF分布，所以临界值也发生了变化，而且还与回归方程中变量个数、样本容量和协整检验方程的不同有关。麦金农（Mackinnon）给出了协整检验临界值的计算公式，EViews 软件也可以直接输出 Mackinnon 临界值（或伴随概率）。4EG 检验也可以用于有多个解释变量的协整关系检验，即第一步的回归方程变成：yt =b 0+b1kt + et第二步仍然是检验残差序列的平稳性。5对于一

25、元回归模型，y 与 x 之间只可能存在一种协整关系；但是多元回归模型中，y 与解释变量之间、甚至解释变量之间可能会存在多个协整关系。【例 1】我国货币供应量与收入的协整关系。表 1 中列出了 1990 年-2006 年我国货币供应量 M1（亿元）和收入（亿元）的统计资料，试检验两者的协整性。表 1我国货币供应量和收入的统计资料年份货币供应量 Y收入 X年份货币供应量 Y收入 X1990199119921993199419956950.7 18718.38633.3 21826.211731.5 26937.316280.4 35260.020540.7 48108.523987.1 59810

26、.519992000200120022003200445837.388479.253147.298000.559871.6 108068.270881.8 119095.784118.6 135174.095969.7 159586.7收入 x观察数据的趋势图可以看出，货币供应量 y 和的发展趋势相同，表明两者之间可能存在着协整关系。为了消除原始序列的非线性趋势，将原变量取成对数变量。19961997199828514.8 70142.534826.3 78060.838953.7 83024.320052006107278.7 184739.1126035.1 211808.0图 11单整性

27、检验ly、lx 的趋势图图 2ly 的根检验结果表 2货币供应量和收入的根检验输出结果检验结果表明，在 1%的显著水平下，lyI(1)，lxI(1)，两个变量的单整阶数相同，符合协整性检验的要求。变量（c，t，m）ADF检验值1%临界值5%临界值10%临界值1ly（c，t，2）-6.0789-4.80-3.79-3.342ly（0，0，3）2.3528-2.75-1.97-1.603ly（c，0，2）-3.1570-4.06-3.12-2.704lx（c，t，3）-6.4965-4.89-3.83-3.365lx（c，0，2）-1.4727-4.00-3.10-2.696lx（c，0，3）-5

28、.6712-4.12-3.14-2.71关于表 2 中根检验结果的说明。EViews检验根时采用了以下三个检验方程：Dyt = gyt -1 + e tDyt = a + gyt -1 + e tDyt = a + bt + gyt -1 + et（1）（2）（3）一般是按照（3）、（2）、（1）的顺序进行检验。从表2 可以看出，当使用方程（3）检验 ly 和 lx 的根时，ly 和 lx 的ADF 检验值都小于 1%的临界值，这很容易让我们认为变量已是平稳序列，即 ly、lxI(0)；但是如果进一步用方程（1）或方程（2）进行检验时，又得出 ly、lx 非平稳的结论，检验结果似乎产生了。那么

29、，变量究竟是 I(1)还是 I(0)？实际上根检验的原假设是H0 : g = 0 ，利用方程（3）检验得到 ADF值小于临界值时，拒绝g = 0 的原假设，这只说明变量不是根过程，而是一个带有确定趋势的 AR 过程（从检验结果可以看出，趋势项和常数项都是显著的）：ln yt = a + bt + g ln yt -1 + etr < 1当然也就不是平稳过程 I(0)。另外，检验方程中趋势项或常数项时，假设检验容易犯“取伪”的错误，即误认为g = 0 ，存在根；表 2 中第 2、5 项检验就是犯了这个错误。所以，利用检验方程（3）拒绝原假设并且趋势项系数显著时，检验过程可以停止，变量是带确

30、定趋势的非平稳过程，而且是 I(1)的，因为确定趋势过程经过一阶差分后可以成为平稳过程。2协整性检验建立回归模型ln yt= b0 + b1 ln xt+ et 之后，生成残差序列E，单位根检验结果表明，残差序列是平稳序列；所以，根据EG检验法，对数 M1 与对数收入之间是协整的。图 3残差序列的根检验结果第四节误差修正模型误差修正模型（Error Correction M，ECM）最初是由Sargan（1964 年）提出，后经 Davidson、Hendry、Srba 和 Yeo（1978 年）进一步完善，恩格尔和格兰杰又将误差修正模型与协整理论相结合，提出了建立误差修正模型的一般方法（19

31、87年）。一、误差修正模型的构造Dyt = b0Dxt + gecmt-1 + et定义：其中，ecm 是回归模型的残差项， g < 0 。称该模型为“误差修正模型”，简称 ECM。例如，对于yt 的(1，1)阶自回归分布滞后模型：yt = a + b0xt+ b1xt-1 + b2 yt-1 + et在模型两端同时减yt-1，并在模型右端± b0 xt-1 ，得：Dyt = a + b0 Dxt + (b0 + b1 )xt-1 + (b2 - 1) yt-1 + et- a + b0b1= b Dx + (b - 1) yx + e-t-1t-10t2(1 - b )(1

32、- bt)2= b0 Dxt + g ( yt-1 - a0 - a1 xt-1 ) + et2其中，g = b2 - 1 ，a0 = (a + b0 ) /(1 - b2 ) ，a1 = b1 /(1 - b2 ) 。- a0- a1 xt-1= yt-1ecmt-1记Dyt = b0Dxt + gecmt-1 + et则二、误差修正模型的含义当 yt 和 xt 协整时，设协整回归方程为：yt = a0 + a1 xt + et它反映了 yt 与 xt 的长期均衡关系，所以称 ECM 中的 ecmt-1 是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型中的gecmt-1 是误差修正项，g = b 2

33、 - 1是修正系数，由于通常| b2 |< 1 ，这样g< 0 ；当ecmt-1 >0时（即出现正误差），误差修正项gecmt-1 < 0，而 ecmt-1 < 0 时（即出现负误差），gecmt-1 > 0，两者的方向恰好相反，所以，误差修正是一个反向调整过程（负反馈机制）。误差修正模型有以下几个明确的含义：1均衡的偏差调整机制误差修正模型表明，y 的变化由两部分组成，一是解释变量引起的变化，一是对前期非均衡状态的调整。只要上一期存在非均衡误差，ecmt-1 ¹ 0 ，即使 t 时刻解释变量不发生变化（ Dxt =0），yt 还是要进行调整（ D

34、yt = gecmt-1 ¹ 0 ），而且是一个反向调整过程。所以，误差修正模型描述了系统的动态调整过程由不均衡向均衡的转变过程，调整过程中，调整的方向与偏离均衡的方向相反，调整的力度与修正系数g 和前期偏差值的大小有关。2协整与长期均衡的关系当变量y 和 x 协整时，设协整回归方程为：yt = a0 + a1 xt + et误差项e t 反映了解释变量 x 以外的其他因素的影响；由于 y、x 的协整性，e t 应该是平稳序列，所以在其他因素的“冲击”下， y 可能会偏离长期均衡线a0 + a1x ，但是随着时间的推移，e t 的影响会逐渐消失，y 又会返回到长期均衡状态这是利用e

35、t 的平稳性解释了协整与长期均衡的关系。利用误差修正模型可以从另一个角度解释这个关系：当 y与 x 存在协整关系 yt = a0 + a1xtt 时，误差修正模型描述了 y 关于这个关系的动态调整过程，在误差调整机制的作用下，y 和 x始终着 yt = a0 + a1xtt 变化，或者说，误差修正模型约束的结果保证了这种均衡关系的持续。所以，y 与 x 协整时，系统内在的约束机制使得y 与 x 有长期均衡关系。3变量的长期与短期变化模型将协整回归模型和误差修正模型结合起来，可以更加全面地描述y 的变化规律：长期趋势模型：yt = a0 + a1 xt + etDyt = b0Dxt + gec

36、mt-1 + et短期波动模型：协整回归模型描述了y 的长期变化规律，a0 、a1 为长期参数，a1 衡量了 y 与 x 的长期比例关系。而误差修正模型描述了 y 的短期变化规律，其短期波动由 x 的变化和上期均衡误差决定，b0和g 为短期参数，表示变量之间的短期影响程度和调整关系。由于误差修正模型的 ecmt-1 中含有长期参数，所以 ECM 同时反映了变量之间的长期关系和短期效应。三、误差修正模型的估计格兰杰表示定理（1987 年）指出：如果非平稳变量之间存在协整关系，则必然可以建立误差修正模型；如果用非平稳变量可以建立误差修正模型，则变量之间一定存在协整关系。该定理的意义在于从理论上证明

37、了协整与误差修正模型的必然对应关系。建立 ECM 的具体步骤为：1检验被解释变量 y 与解释变量 x（可以是多个变量）之间的协整性；2如果 y 与 x 存在协整关系，估计协整回归方程，计算残差序列 et：et = yt - a - b0 xtyt = a + b0 xt + et3将 et-1 作为一个解释变量，估计误差修正模型：Dyt = b0Dxt + get-1 + vt说明：（1）第 1 步协整检验中，如果残差是确定趋势过程，可以在第 2 步的协整回归方程中加入趋势变量；（2）第 2 步估计出 ECM 之后，可以检验模型的残差是否存在长期趋势和自相关性。如果存在长期趋势，则在协整回归方程中加入趋势变量；如果存在自相关性，则在 ECM 的右端加入Dyt 和Dxt 的滞后项来消除自相关性，误差修正项的滞后期一般也要作相应调整。如取成以下形式：Dyt = b0Dxt + b1Dxt -1 + b2Dyt -1 + b3Dxt -2 + b 4Dyt -2 + get -1 + vt由于模型中的各项都是平稳变量，所以可以用 t 检验各项的显著性，逐个剔除其中不显著的变量，当然误差修正项要尽可能保留。【例 2】我国货币供应量与收入的协整关系。表 1