位移法知识讲解 (2)

1、 基本要求：基本要求：掌握掌握掌握位移法基本结构的确定，掌握位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。的绘制。 熟练掌握熟练掌握用位移法计算超静定梁、用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。刚架和排架问题。 重点掌握重点掌握荷载作用下的超静定结构荷载作用下的超静定结构计算计算掌握掌握剪力图和轴力图的绘制、利用剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。对称性简化计算。了解了解温度改变、支座移动下的超静温度改变、支座移动下的超静定结构计算。定结构计算。 Displacement Methodv

2、位移法基本概念位移法基本概念v等截面直杆的杆端力等截面直杆的杆端力v位移法基本未知量位移法基本未知量v位移法之位移法之典型方程典型方程法法v无侧移无侧移、有侧移刚架有侧移刚架算例算例v位移法之位移法之直接平衡法直接平衡法v位移法计算对称结构位移法计算对称结构v支座移动和温度改变支座移动和温度改变1 1、超静定结构计算的总原则、超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系, ,然后让基本体系在受然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力方面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基

3、本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）。（变形协调条件）。 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁7-1 7-1 位移法的基本概念位移法的基本概念 因此，位移法分析中应解决的问题是：因此，位移法分析中应解决的问题是：确定单跨梁在各确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。种因素作用下的杆端力。确定结构独立的结点位移。确定结构独立的结点位移。建立建立求解结点位移的位移法方程。求解结点位移的位移法方程。为减少基本未知量，这里仍然隐含为减少

4、基本未知量，这里仍然隐含梁或刚架不考虑轴向变形梁或刚架不考虑轴向变形这这一假设。一假设。(a)a2aaaa12345BB(c)BPF1NF5NFxyo (b)(d)iABB iAiliuiNFBBB iiusin简例简例:求各杆轴力。求各杆轴力。图（图（a a）所示，选取竖向位移）所示，选取竖向位移为基本未知量为基本未知量图（图（b b）所示，已知轴向位移）所示，已知轴向位移u ui i，则，则，位移法基本思路位移法基本思路iiiNulEAFi(1)杆件的刚度系数iilEA图（图（d d）, ,各杆位移各杆位移u ui i与基本未知量的关系为与基本未知量的关系为iiusin(2)由结点由结点B

5、 B的平衡的平衡51sin, 0iPiNyFFFi(3)512siniPiiiFlEA即得：(4)位移法的基本方程位移法的基本方程)5(sin512iiiiPlEAF由此解得：将式将式(5)(5)代入式代入式(2)(2)，再代回，再代回(1)(1)式得各杆内力：式得各杆内力：PiiiiiiiiFlEAlEAF512sinsin(6)设各杆设各杆EAEA相同，将图（相同，将图（a a）的尺寸代入得：）的尺寸代入得：PNPNNPNNPFFFFFFFFEAaF319. 0,255. 0,159. 0,637. 034251位移法的基本要点位移法的基本要点确定基本未知量确定基本未知量 (如如B点的竖向

6、位移点的竖向位移 ）建立位移法基本方程建立位移法基本方程 (力的平衡方程力的平衡方程)a. 把结构拆成杆件进行分析，得杆件的刚度把结构拆成杆件进行分析，得杆件的刚度方程，是位移法的基础。方程，是位移法的基础。b. 再把杆件组合成结构，进行整体分析，得再把杆件组合成结构，进行整体分析，得平衡方程。平衡方程。解方程，求位移。再代回刚度方程得杆端力。解方程，求位移。再代回刚度方程得杆端力。位移法基本思路位移法基本思路通过一拆、一搭，把复通过一拆、一搭，把复杂问题转化为简单杆件的分析和综合的问题杂问题转化为简单杆件的分析和综合的问题ABMABQABQBAMBA1 1、杆端力和杆端位移的正负规定、杆端力

7、和杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角A、B ，弦转角，弦转角 /l都以顺时针为正。都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。对结点或支座以逆时针为正。用力法求解用力法求解i=EI/l2 2、形常数：形常数：由单位杆端位移引起由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力的单跨超静定梁的杆端力MAB0MBA014i2iMiMiMBAAB2,47-2 7-2 等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上对杆端顺时

8、针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。逆时针转动为正号。用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=1101222121212111XXXX-EIllEI6312112112EIllEI332211221110361632121-XEIlXEIlXEIlXEIlilEIXilEIX22,4421用力法求解单跨超静定梁用力法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11BCACXXXX2

9、2221211212111lCC21-EIllEI6312112112EIllEI3322112211-llEIXllEIXABBA32232221-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121ABX2X1) 1 (642624-liiiMliiiMBABABAAB)2(12662-lililiQQBABAAB 写成矩阵形式写成矩阵形式-BAABBAABlilililiiiliiiQMM21266642624AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座AMABMBA因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得-liiM

10、liiMABAAAB6264（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得-liiMAAB33) 1 (642624-liiiMliiiMBABABAABlEIlEIAMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因0,0BAABBQQ代入（代入（2 2）式可得）式可得Al21ABAAABiMiM-)2(12662-lililiQQBABAABlEI由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6-li 6-li 6

11、-AB10li 3-AB=13i023liAB=1ii0li 3-3 3、载常数载常数: :由跨中荷载引由跨中荷载引 起的固端力起的固端力X1=1P / 11 =3ql/81=11X1 + 1P=0ql2/2MPqBmABl，EIlX1=11MP1-EIqlllqlEI84323114211EIlllEI3322132ql2/8082-BAABmqlm 各种单跨超静定梁在各各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成按力法计算出来，这就制成了载常数表了载常数表M图由跨间荷载引起的杆端力称为载常数由跨间荷载引起的杆端力称为载常数单跨超静定梁简图单跨

12、超静定梁简图mABmBAAB q212ql-212qlABP8Pl-8PlAB q28ql-ABl/2l/2P316Pl-004 4、转角位移方程、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：杆端弯矩的一般公式：QBAQABMBAMABPMBAMAB=+PliiiMliiiMBABABAAB-642624+mAB+mBA0ABBAABABQlMMQ-0BAQ0ABQBAQABQABMABQABQBAMBA5 5、已知杆端弯矩求剪力、已知杆端弯矩求剪力：取杆取杆件为分离体建立矩平衡方程：件为分离体建立矩平衡方程：转角位移方程转角位移方程注：注：1、MAB,MBA绕杆端顺时绕杆端顺时 针转向为正。针转向为正

13、。 2、 是简支梁的剪力。是简支梁的剪力。0ABQFABABAABMliiM - - 33另两类杆的转角位移方程为另两类杆的转角位移方程为FBAABAFABAABMiMMiM - - ABCP荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应内力效应：M、Q、N；位移效应位移效应：AABCP附加附加刚臂刚臂附加刚臂限制结附加刚臂限制结点位移，荷载作点位移，荷载作用下附加刚臂上用下附加刚臂上产生产生附加力矩附加力矩施加力偶使结点产施加力偶使结点产生的角位移，以生的角位移，以实实现结点位移状态的现结点位移状态的一致性。一致性。ABC位移法基本思路位移法基本思路ABCP实现位移状态可分两步完成实现位移状态可分两步

14、完成分析：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。1）在）在可动结点上附加约束可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束上产生附加约束力附加约束力；2）在）在附加约束上施加外力附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结使

15、结构发生与原结构一致的结点位移。点位移。llqEI=常数常数ABCAqABCAZ1Z1=0qABCZ1Pql2/12ql2/12ABCAZ11AAAlEI4AlEI2AlEI2AlEI4AlEI2AlEI4AlEI4AlEI21221qlZP-ql2/12Z1P4iZ11lEIlEIAA440128021111-qllEIZZZAPEIqlA963qABCql2/245ql2/48ql2/4801ZAA01ZAAAA位移法基本思路位移法基本思路通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确个杆件由于杆件的形常数和载常数的

16、基础上确立杆端位移和杆端力的关系；立杆端位移和杆端力的关系；通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点位移的位移协调和部件平衡条件建立关于结点位移的位移法方程；位移法方程；解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。qFPFPMFPFP1.1.平衡方程法平衡方程法0 MMMAD 832qliMAC - - 84PlFiMAB - - 2PlFiMAE- - - - FPEI=常数常数l2l2lFP通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超静定梁静定梁

17、, ,称其为位移法称其为位移法基本结构基本结构, ,而附加约束的而附加约束的位移称为位移法的位移称为位移法的基本未知量基本未知量Z。受基本未知量受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为和外因共同作用的基本结构称为基本体系基本体系。1Z当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形常数和载常数绘出各杆的内力图。常数和载常数绘出各杆的内力图。FPABClFiZMBAP1814 - - 13iZMBC- - 0 BCBAMMlFiZP5611 lFMBAP563 qFPFPMFPFP2.

18、2.典型方程法典型方程法 1 1、基本未知量的确定：、基本未知量的确定：PPCDC位移法的位移法的基本未知量基本未知量是独立的结点位移；是独立的结点位移；基本体系基本体系是将是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。结点角位移的数目结点角位移的数目=刚结点的数目刚结点的数目PP即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。结论：原结构独立结点线位移的数目结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。刚架的层数（横梁竖柱的矩形框

19、架）。2 2、基本体系的确定：、基本体系的确定：7-3 7-3 位移法的基本未知量和基本体系位移法的基本未知量和基本体系 为了减小结点线为了减小结点线位移数目，假定：位移数目，假定：忽略轴向变形，忽略轴向变形，结点转角和弦转结点转角和弦转 角都很微小。角都很微小。结点转角的数目：结点转角的数目：7个个123相应的铰接体系的自由度相应的铰接体系的自由度=3独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：3个个 也等于层数也等于层数 3结点转角的结点转角的数目：数目：3个个独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：2个个 不等于层数不等于层数 1位移法基本未知量位移法基本未知量结点转角结点转角独立结

20、点线位移独立结点线位移数目数目=刚结点的数目刚结点的数目数目数目=铰结体系的自由度铰结体系的自由度 =矩形框架的层数矩形框架的层数在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。注意注意: 铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确力按一端固定一端定向支座的单超

21、静定梁（即剪力静定梁）确定。如图示结构中定。如图示结构中B端的侧移，端的侧移，C端的侧移端的侧移D点的线位移均不作点的线位移均不作基本未知量，不需加附加约束。（基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。杆是剪力静定杆）。 A B C D E 结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点位移。若柱子平行，则梁端结点转角位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 al 对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等对于平行柱刚架不论横梁是平的，

22、还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。高或不等高，柱顶线位移都相等。基本结构与原结构有两点区别基本结构与原结构有两点区别： 原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结点位移的；在外因作用下是无结点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。112112Z1Z2Z1=0Z2=0Z1PZ2Pk211=11 1 2k112=1k22k12位移法位移法基本体系基本体系0022221211212111PPFk

23、kFkkZ1=0Z2=0F11、F21(k11、k21) 基本体系在基本体系在1(=1)单独作用时，单独作用时，附加约束附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；中产生的约束力矩和约束力；F12、F22(k12、k22) 基本体系在基本体系在2(=1)单独作用时，单独作用时，附加约束附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；中产生的约束力矩和约束力；F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加约基本体系在荷载单独作用时，附加约束束1、2中产生的约束力矩和约束力；中产生的约束力矩和约束力； 位移法方程的含义：基本体系在结点位位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的移

24、和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力总约束力(矩矩)等于零。实质上是平衡条件。等于零。实质上是平衡条件。7-4 7-4 位移法典型方程位移法典型方程00022112222212111212111 nPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkn个结点位移的位移法典型方程个结点位移的位移法典型方程 主系数主系数 kii 基本体系在基本体系在i=1单独作用时，在第单独作用时，在第 i个附加约个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； 付系数付系数 kij= kji 基本体系在基本体系在j=1单独作用时，在第单独作用时，在第 i个个 附附 加约束中

25、产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； 自由项自由项 FiP 基本体系在基本体系在荷载荷载单独作用时，在第单独作用时，在第 i个个 附加约附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；)()1(的弯矩图荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作PiiMM ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。面投影平衡求附加支杆中的约束力。根据根据线弹性体系的叠加原理线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共可知：约

26、束位移和外因共同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。0 PijjijiRZkR),(ni21以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。kij 是与外因无关的反力影响系数，是基本结构是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。的特性。RiP是与基本结构的广义荷载反力是与基本结构的广义荷载反力。 FFKF 0 RK 0 RK 典型方程法解题步骤典型方程法解题步骤（1）确定位移法基本未知量和基本结构。）确定位移法基本未知量和基本结构。（2）分别做基本结构在单位基本未知量作用下的）分别做基本结构在

27、单位基本未知量作用下的内力图和外因作用下的内力图。内力图和外因作用下的内力图。（3）利用内力图计算反力影响系数和外因引起的）利用内力图计算反力影响系数和外因引起的广义荷载反力。广义荷载反力。（4）建立位移法典型方程并求解。）建立位移法典型方程并求解。（5）利用叠加法绘制结构内力图。）利用叠加法绘制结构内力图。（6）校核，即结构的任意部分是否平衡。）校核，即结构的任意部分是否平衡。FPEI=常数常数l2l2lABC01111 PRZkFP1Z例例FPi 2i 4i 3lFP81lFP81lFRPP181 ik711 lFiZP1561- - PMMZM 111MPMi 3i411klFP81P1

28、R11 ZlFP563lFP569lFP568M15kN/m48kN4m4m2m2miii15kN/m48kN11基本体系基本体系Z1当Z1=015kN/m48kN202036MPM120360Z1P=162i4i3ii4i3iik11=8i解之解之:1=F1P/k11=2/i 利用利用 PMMM11叠加弯矩图叠加弯矩图 1=11628 3030482M图(kN.m)01111PFkFk11Z1P+1例例由已知的弯矩图求剪力：由已知的弯矩图求剪力：0ABBAABABQlMMQ-15kN/m48kN4m4m2m2mii1628 3030482M图(kN.m)ABCDkN27241541628-k

29、NQBC5 .31248430-kNQBA33241541628-3327+31.5+16.5Q图(kN)由已知的由已知的Q图结点投影平衡求轴力图结点投影平衡求轴力：031.5 33NBDNAB0BX=0NAB=0Y=0NBD=64.5校核：校核：B30228MB=02764.516.515kN/m48kNY=27+64.5+16.515448 =0 1 1）确定基本未知量；）确定基本未知量；2 2）确定位移法基本体系；）确定位移法基本体系；3 3）建立位移法典型方程；）建立位移法典型方程；4 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图）画单位弯矩图、荷载弯矩图; ;5)5)由平衡求系数和自由项；由平衡求系

30、数和自由项；6 6）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量；7 7）按）按 M=MM=Mi ii i+M+MP P 叠加最后弯矩图。叠加最后弯矩图。8 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。9 9）校核平衡条件。）校核平衡条件。20kNABC3m3m6mii2kN/mABC16.7211.5792kN/m20kNABC1 1）确定基本未知量）确定基本未知量1 1= =B B ；2 2）确定位移法基本体系；）确定位移法基本体系；3 3）建立位移法典型方程；）建立位移法典型方程；01111PRk4 4）画）画M M、M MP P; ;由

31、平衡求系由平衡求系 数和自由项；数和自由项；15159R1P15 9 Z1P=159=61=12i4i ABC3ik114i 3i k11=4i+3i=7i5 5）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量；ikFP761111-6 6）按）按 M=MM=Mi ii i+M+MP P 叠加最后弯矩图叠加最后弯矩图30M图图 (kN.m)11.5711.577 7）校核平衡条件）校核平衡条件MB=0MPM17-5 7-5 位移法计算连位移法计算连续梁及无侧移刚架续梁及无侧移刚架4I4I5I3I3Iiii0.75 i0.5 iiii0.75 i0.5 iABCDEF5m4m4m4m2m20kN/

32、m1 1、基本未知量、基本未知量2 2、基本体系、基本体系BAqlm8420822mkN.40BCqlm-125201222CBmkNm .7 .41mkN-.7 .41CB21,F1P=4041.7= 1.7ABCDEF20kN/m0022221211212111PPFkkFkk3 3、典型方程、典型方程4 4）画）画M MP P 、M Mi i; ;由平衡求由平衡求k kijij、F FiPiP4041.741.7MPM1F2P=41.7ABCDEF3i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3i= 10ik21=2iM2ABCDEF3i4i2i2iik22=4i+3i+2i= 9ik21

33、=2i5 5）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量；07 .419207 . 12102121-iiiiii/89. 4/15. 121-M1ABCDEF3i4i2i3i1.5iABCDEF20kN/m4041.741.7MPABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)B46.943.53.4 0BMC14.724.59.8 0CM例例具有弹性支座的连续梁内力计算具有弹性支座的连续梁内力计算原始结构原始结构基本方程基本方程基本体系基本体系1Z2EIEIllkqq2Z0P1212111 RZkZk0P2222121

34、RZkZk33lEIk 11 Zi 3i 8i 41M2M12 Z11k21ki 8i 312k22kli12li 3kli12li12li 3k33lEIk 224li23liq2121ql2121ql281qlPM2121qlP1R281qlP2Rik1111 likk92112 22230lik 2P1241qlR- - qlR89P2 1Z 2Z2ql85qlMP2211MMZMZM 例例无侧移刚架内力计算无侧移刚架内力计算ll/2l2EIEIABDC2EIqq1Z01111 PRZkq11 Zi 4i 8i 3i 4i 4i 3i 811kP1R2121ql1MPM2121ql212

35、1ql2P1121qlR ik1511 211801qliZ- - PMMZM 116014511807180192ql M3kN/m8m4m2iii2213kN/m21F1F2F1=0F2=03kN/mF1PF2Pk12k22乘2k11k21乘11=12=1002222121212121111PPFkkFFkkFF1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21 44MP F1P04 F1P=4 F2P=662ql0F2P4i2i6i6i4i k11 ii5 . 146 k11=1

36、0i k21=1.5iM1 k12 0 1.5i43i163i k21 k22 M2 k12=1.5i k21=15i/161.5i1.5i0.75i0616155 . 1045 . 1102121-iiii解之解之:1=0.737/i，2=7.58/i利用利用 PMMMM22111叠加弯矩图叠加弯矩图 13.624.425.69M图图(kN.m)7-6 7-6 位移法计算有侧移刚架位移法计算有侧移刚架 与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的

37、反力，由截面投影方程来求。反力，由截面投影方程来求。例例有侧移刚架内力计算有侧移刚架内力计算1Zll/2lEIABDC2EIFPEEI2ZFP01212111 PRZkZk02222121 PRZkZk11 Z12 Zi 6i 4i 2li 6li 61M2Mi 6i 411k22k212li23li12kik1011 likk62112- - 22215lik li 3385426FPlFP21PMP2RP1RPFlFP21lFRPP121- - PPFR- - 2lFiZP1769 2P211413lFiZ P2211MMZMZM FP1634)76(PlF M利用反力互等定理，尽量选取结

38、利用反力互等定理，尽量选取结点力矩方程求系数会减少工作量点力矩方程求系数会减少工作量例例剪切型刚架内力计算剪切型刚架内力计算基本体系基本体系原始结构原始结构基本方程基本方程FPFP2Z1Z0P1212111 RZkZk0P2222121 RZkZkFPFPEI1=EI1=llEIEIEIEI其他类型结构的计算其他类型结构的计算11 Z26lEI26lEI26lEI26lEI1M11k312lEI312lEI312lEI312lEI312lEI312lEI21k32124lEIk- - 31148lEIk 26lEI26lEI12 Z26lEI26lEI26lEI26lEI2M12k312lEI

39、312lEI312lEI312lEI22k31224lEIk- - 32224lEIk PMP2RFPFPFPFPP1RPP2FR- - PP1FR- - 说明：说明： 由刚度系数的求解可知，楼层单位位移只在由刚度系数的求解可知，楼层单位位移只在其相邻层产生附加约束反力。所以生成的刚其相邻层产生附加约束反力。所以生成的刚度矩阵一定是三对角的；度矩阵一定是三对角的； 根据反力互等定理，结构刚度矩阵一定是关根据反力互等定理，结构刚度矩阵一定是关于主对角线对称的；于主对角线对称的； 层间刚度等于该层各柱侧移刚度之和；层间刚度等于该层各柱侧移刚度之和； 刚度矩阵的逆等于结构的柔度矩阵。刚度矩阵的逆等于

40、结构的柔度矩阵。例例具有斜柱刚架内力计算具有斜柱刚架内力计算基本体系基本体系原始结构原始结构基本方程基本方程0P1111 RZkEI1=lEIEIllqq1Z 11 Z l l 2211 Z2210146lEIllEIlEI llEIlEI1262 22210124)2(26lEIllEIlEI 2228)2223(lEIlEI 1Mq281qlPMAA11k210lEI318lEI2210lEI39lEIP1Rq0 Am311)21428(lEIk 0 AmqlR21P1- - 说明：说明： 本题横梁为无穷刚杆，如果是弹性弯曲杆，计本题横梁为无穷刚杆，如果是弹性弯曲杆，计算思路完全一样，只是

41、自由度变成算思路完全一样，只是自由度变成 3 个，即增个，即增加了两个结点转角位移；加了两个结点转角位移； 无限刚杆没有变形不等于没有内力。由于内力无限刚杆没有变形不等于没有内力。由于内力按各杆刚度分配，荷载作用下的反力与内力只按各杆刚度分配，荷载作用下的反力与内力只与相对刚度有关；与相对刚度有关； 求求k11 和和R1P时用对时用对A点的力矩方程，而没有采点的力矩方程，而没有采用通常情况下的投影方程，目的是避开斜杆的用通常情况下的投影方程，目的是避开斜杆的轴力；轴力； 本题亦可选择结点转角位移作为基本未知量。本题亦可选择结点转角位移作为基本未知量。AABAi3mABABABli-31、转角位

42、移方程：liiiMliiiMBABABAAB-642624+mAB+mBAABMABQABQBAMBA两端刚结或固定的等直杆两端刚结或固定的等直杆一端铰结或铰支的等直杆一端铰结或铰支的等直杆033-BAABAABMmliiM一端为滑动支承的等直杆一端为滑动支承的等直杆BAABBAABBAABmiiMmiiM-MABAAB7-7 7-7 用直接平衡法用直接平衡法建立位移法方程建立位移法方程MABABABMBA0ABBAABABQlMMQ-(4)已知杆端弯矩求剪力已知杆端弯矩求剪力 1 1）确定基本未知量；）确定基本未知量；2 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；）由转角位移方程，写出各杆端力

43、表达式；3 3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程；得到位移法方程； 4 4）解方程，求基本未知量；）解方程，求基本未知量；5) 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力；杆端力；6 6）按杆端力作弯矩图。）按杆端力作弯矩图。例例无侧移刚架内力计算无侧移刚架内力计算ll/2l2EIEIABDC2EIqq1Z1Z0 BM211218qliZMBA - - 211801qliZ ACBD14i

44、ZMBD- - 13iZMBC- - BDMBCMBAM211214qliZMAB- - - 6014511807180192ql M1Z22218071211808qlqliqliMBA - - ACBD45180422qliqliMBD- - - - 60180322qliqliMBC- - - - 例例有侧移刚架内力计算有侧移刚架内力计算1Zll/2lEIABDC2EIFPEEIFP2Z1Z2ZCDMCAM2164ZliiZMCA- - - 16iZMCD- - 2lFMPCE - - EE0 DBM0261021 lFZliiZP0 CM23ZliMBD- - 2162ZliiZMAC

45、- - - CEMQCAFQDBF 0 xFPQDBQCAFFF 0 AM1Z2ZEEPF)(1CAACQCAMMlF - - 0BM)(1DBBDQDBMMlF - - PQCAQDBFliZliZliZFF 221221263385426lFiZP1769- - 2P211413lFiZ FP1634)76(PlF MlFilFliilFiMPPPCA761611413676942- - - - lFMPCD7654 2lFMPCE - - lFiMPBD7626- - lFMPAC7634- - 4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m

46、2m20kN/m1、基本未知量、基本未知量B、C2、列杆端力表达式、列杆端力表达式令EI=1BAqlm8420822mkN.40BCqlm-125201222CBmkNm .7 .41mkN-.7 .41CCCFM25 . 04BBEBM5 . 175. 02CBCBM7 .4142CBBCM-7 .4124BBAM403CCFCM5 . 02BBBEM375. 04CCDM33、列位移法方程、列位移法方程0CFCDCBCMMMM0BEBCBABMMMM07 . 1210-CB07 .4192CB4、解方程、解方程B=1.15 C=4.89=43.5=46.9=24.5=14.7=9.78=4

47、.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真值位移不是真值!5、回代、回代6、画、画M图图MBAMBCMBEB3kN/m8m4m2iiiABCD)2(3iMBBC12434642-iiMBBA12434622-iiMBAB0, 0QQXCDBA0, 0MMMBCBAB43-iMDC045 . 110-iiB1630 -ilMQDCCD0616155 . 1-iiBJ6435 . 10-iiQlMMQBBABAABBA解之：解之：=0.74/i=7.58/i=13.89BAQ

48、CDQ=4.42=4.44=5.694.424.4413.895.69M图(kN.m)1、基本未知量、基本未知量B、2、列杆端力表达式、列杆端力表达式3、列位移法方程、列位移法方程4、解方程、解方程5、回代、回代6、画、画M图图Ph1h2h3I1I2I3解：解：1）基本未知量只有）基本未知量只有2）各柱的杆端剪力）各柱的杆端剪力侧移刚度侧移刚度J=3i/h2，则：则：Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3Q1+Q2+Q3=PJ1+J2+J3=PiJPPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihii iJPJQP柱顶剪力：柱顶剪力：柱底弯矩：柱底弯矩：JhPJ11JhPJ33JhPJ223）位移法方程）

49、位移法方程X=0M结点集中力作为各柱总剪力，按结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。由反弯点开始即可作出弯矩图。仅使两端发生单位侧移时需在两仅使两端发生单位侧移时需在两端施加的杆端剪力。端施加的杆端剪力。在讨论结构上各结点的线位移的关系时可用铰结刚化在讨论结构上各结点的线位移的关系时可用铰结刚化体系来代替原结构。其原因是两者结点间的几何约束体系来代替原结构。其原因是两者结点间的几何约束条件是相同的：条件是相同的：链杆长度不变。链杆长度不变。O瞬心在无穷远瞬心在无穷远结论：结论：平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高不

50、等高，平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高不等高，柱顶的线位移都相等。柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也柱顶的线位移都相等。柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也不独立。不独立。 如杆件两端线位移平行，且不垂直杆轴，则为无侧移杆。如杆件两端线位移平行，且不垂直杆轴，则为无侧移杆。iilPEI=ABCD122liJBD32liJAC54/12/3/12222PlililiPJPJQBDBD5/12/3/3222PlililiPJPJQACACM图图PP/5P/5P/5P/54P/5l/2l/24P/54P/54P/5Pl/52Pl/52Pl/5122liJBD32liJAC54PJPJQB

51、DBD5PJPJQACACii8mEI=ABCD10kN/miiEI=ABCD10kN/mR3ql/8=30kNR=30kN=6kN=24kN4m4mR30kN80 6 6 648 24 24 24 96 96 M图(kN.M)12880 96 96 1、剪力静定杆的应用剪力静定杆的应用： 剪力静定杆的两端相对侧移可剪力静定杆的两端相对侧移可不作为位移法基本未知量。不作为位移法基本未知量。2kN/m2kN/m7-8 7-8 位移法计算的简化位移法计算的简化先由平衡条件求出杆端剪力；先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，该将杆端剪力看作杆端荷载，该端滑动，另端固定的杆计算固端滑动，另

52、端固定的杆计算固端弯矩。端弯矩。 剪力静定杆转角位移方程同一端刚结一端定向支承的梁剪力静定杆转角位移方程同一端刚结一端定向支承的梁BAABBBABBAABmiiMmiiM- 剪力静定杆的固端弯矩计算剪力静定杆的固端弯矩计算。解：解：1、求固端弯矩：、求固端弯矩：mkNmBC.12416163-mkNmmkNmABBA.362410343.28241064322-2m2m4m1846M图（kN.m)2m2m4m3kN/m 16kNABC 10kN（EI=C）3kN/m 10kN3628123-BABBBABBCiMiMiMiiMMMBBBABCB/1004040-即：=18kN.m=18kN.m

53、=46kN.m16ABCDABCDE ABCDEFABCDE llPqP+ql ql按一端固定一端滑动的杆处理的剪按一端固定一端滑动的杆处理的剪力静定杆，并不包括力静定杆，并不包括Q, MQ, M都静定的都静定的静定杆。如右图中的静定杆。如右图中的AB,CDAB,CD杆。杆。对称刚架对称刚架内力计算内力计算EIEI2EIEIllh2qEIqqqq正对称正对称反对称反对称2、应用对称性简化计算应用对称性简化计算qqq 对称结构在对称荷载作对称结构在对称荷载作用下内力、反力和变形皆对用下内力、反力和变形皆对称，故取半结构计算。由半称，故取半结构计算。由半结构特点采用位移法较好。结构特点采用位移法较

54、好。qqq 对称结构在反对称荷载对称结构在反对称荷载作用下内力、反力和变形皆作用下内力、反力和变形皆反对称，故取半结构计算。反对称，故取半结构计算。而此半结构仍具有对称结构而此半结构仍具有对称结构特点。继续分解。特点。继续分解。qq/2q/2q/2q/2 q/2q/2 利用对称性将结构分解成最简形式，而每个利用对称性将结构分解成最简形式，而每个最简形式都是只含一个变量的超静定结构，可分最简形式都是只含一个变量的超静定结构，可分别采用位移法和力法求解（别采用位移法和力法求解（联合法联合法）。最后将半）。最后将半结构的结果叠加得原结构的解答。结构的结果叠加得原结构的解答。12kN/m12kN/m1

55、2kN/m12kN/m 24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424 2472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)48例例12kN/m12kN/mX1444M196MP01111PX12kN/mEIEIEI4m4m65124349632564341111113311-PPXEIEIEIEI24 2472M反对称反对称12kN/m12kN/m等代结构等代结构2472=112kN/m12kN/m12kN/mEIEI4m4m等代结构等代结构ACBMMMACABA0iA2-iA0168iMACA2iMAAC4iMAAB164iMABA162-=20kN.m=8k

56、N.m=8kN.m=4kN.m2084208M对称对称12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m12kN/mi=1i=1ACB ACAM2AACM4ABAM162A-164AABM-12412420ACABAMMM20168-AAMABMACA=8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M图图(kN.m)1 1）斜梁（静定或超静定）受竖向）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同跨度同荷载作用时，其弯矩图与同跨度同荷 载 的 水 平 梁 弯 矩 图 相 同 。荷 载 的 水 平 梁 弯 矩 图 相 同 。2 2）对称结构在对称荷载作用下，）对称

57、结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩与对称轴重合的杆弯矩=0=0，剪力，剪力=0=0。 对图示无结点线位移的刚架和刚结桁架，当忽略杆轴向对图示无结点线位移的刚架和刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，在结点荷载作用下，各杆的弯矩是否为零。变形的影响时，在结点荷载作用下，各杆的弯矩是否为零。 PPWPPP 基本体系的荷载弯矩基本体系的荷载弯矩图为零，位移法方程的自图为零，位移法方程的自由项为零，故结点位移全由项为零，故结点位移全为零，为零，0PiiMMM刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，结点无线位移，在结刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，结点无线位移，在结点荷载作用下，各杆的弯矩为零，其

58、结点可按铰结点计算。点荷载作用下，各杆的弯矩为零，其结点可按铰结点计算。 1)1)支座移动时的计算支座移动时的计算 基本方程和基本未知量以及作题基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样步骤与荷载作用时一样,只是固端力一项不同。只是固端力一项不同。lliiABCMMBCBA0lB2liiB-036liiMBBC-33iMBBA3li- 5 . 1=li5 . 1=li5 . 1M图图* *7-9 7-9 支座移动和温度改变时的计算支座移动和温度改变时的计算lliiABClliiABClliiABC/2/2/2/2li5 . 1M反=0固端弯矩固端弯矩杆件内外温差产生的杆件内外温差产生的“

59、固端弯矩固端弯矩”温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使 杆端产生相对横向侧移产生的杆端产生相对横向侧移产生的 “固端弯矩固端弯矩”CC对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移=TLM=3i/hllllhlllllh升温升温TCL2)2)温度改变时的计算温度改变时的计算例例2EIEIll1Z0C1111 RZk原始结构原始结构基本方程基本方程基本结构基本结构c11 Zi 8i 4i 3li311

60、ki 3i 8C1RCli3liC- -12ik1111 cliR9C1- - 1MCMC=1li12li121196clZ1191 C11MMZM M1160)(lic 校核时可以验算结构的位移校核时可以验算结构的位移是否和原结构的位移一致是否和原结构的位移一致11960C1 MMM1160)(lic 选取静定的基本结构选取静定的基本结构11l2M119601 CMMM1160)(lic 选取静定的基本结构选取静定的基本结构21Ml?例例温度变化作用下刚架内力计算温度变化作用下刚架内力计算0t10t1111 tRRZk基本体系基本体系原始结构原始结构基本方程基本方程bhb1.25h2EIEI