移动荷载下的结构内力分析

1、第十章第十章 移动荷载下的结构内力分析移动荷载下的结构内力分析 1.1.移动荷载的概念移动荷载的概念第一节第一节 概述概述 移动荷载就是在结构上可移动移动荷载就是在结构上可移动位置的荷载。位置的荷载。 共同的特征共同的特征 在位置变化的过程中，荷载的大在位置变化的过程中，荷载的大小（分布荷载为荷载的集度）和小（分布荷载为荷载的集度）和方向是不变的。方向是不变的。 1)1)平行移动平行移动 （集中荷载组）荷（集中荷载组）荷载载 ba(a)平行移动荷载平行移动荷载 2)2)移动均布荷载移动均布荷载 q(b)平行移动均布荷载平行移动均布荷载 3 3）可任意分布均布荷载）可任意分布均布荷载 图图10-

2、1-2 2.2.移动荷载下结构分析的概念移动荷载下结构分析的概念 结构在某一确定的恒载或静力荷载作结构在某一确定的恒载或静力荷载作用下，内力图是唯一确定的。但在移用下，内力图是唯一确定的。但在移动荷载作用下，结构的内力图会随着动荷载作用下，结构的内力图会随着荷载位置的变化而变化，准确说，每荷载位置的变化而变化，准确说，每个截面的内力都在变化。个截面的内力都在变化。在移动荷载作用下的结构内力分析，要在移动荷载作用下的结构内力分析，要考虑任意指定截面上的最大或最小内力考虑任意指定截面上的最大或最小内力值，用以做截面设计或验算值，用以做截面设计或验算(影响线影响线)；还要考虑结构所有截面中的最大或最

3、小还要考虑结构所有截面中的最大或最小内力及它们所在的截面，用以确定结构内力及它们所在的截面，用以确定结构设计中的最危险控制截面设计中的最危险控制截面（包络图）（包络图）。第二节第二节 影响线及静力法作静影响线及静力法作静定结构的影响线定结构的影响线1.1.影响线概念影响线概念 在单位移动荷载作用下，结构的某在单位移动荷载作用下，结构的某指定截面指定截面k上的某一量值上的某一量值Z的变化规的变化规律图叫律图叫z的影响线。见图的影响线。见图10-2-1。LF =1PAxBFAxFAyFByF =1PAxBLF =1Px(o)xkykAyk1BBA1(a) (b) (c) (d) 图图10-2-1

4、2.2.静力法作单跨静定梁的影响线静力法作单跨静定梁的影响线 用静力平衡条件作影响线的方法叫静力法。用静力平衡条件作影响线的方法叫静力法。 1 1）简支梁的支座反力影响线）简支梁的支座反力影响线 （1 1）写）写FBy影响线函数（或建立影响线方影响线函数（或建立影响线方程）程） FAxFAyFByF =1PAxBL建立荷载位置坐标建立荷载位置坐标x，这样就可把单位移动这样就可把单位移动荷载荷载FP=1看作是在看作是在x处的恒载一样处的恒载一样 写出静力平衡方程，即写出静力平衡方程，即FBy的影响线方程，的影响线方程，见式见式(a)。 0AM LxFByLx 0(a) 规定：竖向支座反力以竖直向

5、上方向规定：竖向支座反力以竖直向上方向为正。为正。 FAxFAyFByF =1PAxBL(2)绘制绘制FBy影响线图影响线图 取取x坐标轴为基线（一般与杆轴重合），坐标轴为基线（一般与杆轴重合），用以标注荷载位置；用以标注荷载位置；y坐标轴垂直于坐标轴垂直于x轴轴并一般以向上为正。并一般以向上为正。FBy影响线图影响线图x=k处处y方向上的竖标方向上的竖标yk，表示移动荷载，表示移动荷载FP=1移移动到动到k处时产生的处时产生的FBy量值的大小。量值的大小。 规定：影响线图以在基线上方竖标为正。规定：影响线图以在基线上方竖标为正。影响线图要求标注正负号。影响线图要求标注正负号。 F =1Px(

6、o)xkykAyk1B2 2）简支梁的内力（剪力、弯矩）影响线）简支梁的内力（剪力、弯矩）影响线 F =1PAxBCLab(a) 以所示简支梁上以所示简支梁上C截面的内力影响线为截面的内力影响线为例。见图例。见图10-2-2(a)。 （1 1）建立内力影响线方程）建立内力影响线方程 由前已知在移动荷载由前已知在移动荷载FP=1作用下简支梁作用下简支梁的支座反力，见图的支座反力，见图10-2-1(b)。 FAxFAyFByF =1PAxBL(b) 以所考虑的截面以所考虑的截面C为界，内力影响为界，内力影响线方程在该截面两侧的表达式是不线方程在该截面两侧的表达式是不同的，应分别求出。同的，应分别求

7、出。 注意注意当当FP=1在截面在截面C以左：以左：ax 0CF =1PA0BLab(L-x)/Lx/Lx (d) bLxMCLxFQC(a) 当当x=0时，时， 0CM0QCF当当x=a时，时， LabMCLaFQC当当FP=1在截面在截面C以右以右 LxaCF =1PA0B(L-x)/Lx/Lx (f) aLxLMC)(LxLFQC(b) 当当x=a时，时， LabMCLaFQC当当x=L时，时， 0CM0QCFCF =1PA0B(L-x)/Lx/Lx（2 2）绘制内力影响线图）绘制内力影响线图 分别绘出剪力分别绘出剪力FQC影响线、弯矩影响线、弯矩MC影响影响线图，见图线图，见图(e)、

8、(c)。 ABC(e)FQC影响线影响线 ABCbab/La(c)MC影响线影响线 规定：规定： 剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为正；梁的弯矩以使梁下侧受拉为正。正；梁的弯矩以使梁下侧受拉为正。 说明：说明： 静定结构的反力、内力影响线是由直静定结构的反力、内力影响线是由直线构成的图形。线构成的图形。 1）弯矩和剪力影响线都是由两条斜直线构弯矩和剪力影响线都是由两条斜直线构成的，若把在界限截面成的，若把在界限截面C以左、以右的以左、以右的直线分别叫做左直线、右直线，则简支直线分别叫做左直线、右直线，则简支梁的弯矩和剪力影响线的左右直线，均梁的弯矩和剪力影响线的左

9、右直线，均可分别由两个支座的竖向反力影响线图可分别由两个支座的竖向反力影响线图作简单组合构成。作简单组合构成。2）剪力影响线的左右直线是平行线。剪力影响线的左右直线是平行线。 3）例例10-2-1 作图作图(a)所示伸臂梁下列所示伸臂梁下列量值影响线：量值影响线：Mk1，FQk1、Mk2、FQk2。 L2acdbL1CF =1PxBk2k1A(a) 解：解：1)由梁的整体平衡条件，求由梁的整体平衡条件，求FP=1在在x处时的支座反力，见图处时的支座反力，见图(b)所示。所示。L2ac(L -x)/L11dbL1CF =1PxBk2k1Ax/L1(b) 2 2）作）作Mk1、FQk1影响线影响线

10、 Ak1段段 ax 0bLxMk11= 0 1Labax 0 x11LxFQk= 0 1La0 xax k1C段段 )(21LLxaaLxLMk111= 1Lab2Lax 21LLx111LxLFQk= 1Lb12LLax 21LLx绘影响线图：绘影响线图： BCab/L1Ak1L211Bk1A(e)Mk1影响线图影响线图 (f)FQk1影响线影响线 3)作截面作截面k2的弯矩的弯矩Mk2、FQk2影响线影响线 (L -x)/L11CF =1PxBk2k1Ax/L1x参照图参照图(c)。 (c) 截面截面k2上的内力影响线方程为：上的内力影响线方程为： k2C段段 dx 02xMk12QkFM

11、k2、FQk2影响线图见图影响线图见图(g)、(h)。 k2dACAC1k2(g) (h) 第三节第三节 机动法作静定结构的影响线机动法作静定结构的影响线1)1)用虚位移法得出影响线方程及影响线用虚位移法得出影响线方程及影响线 以图以图10-3-1(a)所示伸臂梁的支座所示伸臂梁的支座B反力反力FBy影响线为例。影响线为例。CF =1PALxaBkbc(a) (1)(1)去掉结构上拟求量值相应的约束，使原结构去掉结构上拟求量值相应的约束，使原结构成为一个机构，并按正方向代以成为一个机构，并按正方向代以FBy (2)(2)使机构沿使机构沿FBy方向发生约束允许的微小刚体虚方向发生约束允许的微小刚

12、体虚位移，见图位移，见图(b)所示。所示。FBy作用处的虚位移为作用处的虚位移为d dB，荷载荷载FP=1作用处的虚位移为作用处的虚位移为d dP。 FByF =1PALabcCxBkB(1+c/L)d 1)C(b) 让机构上的所有外力在图示的虚位移上作让机构上的所有外力在图示的虚位移上作虚功，即建立虚位移方程：虚功，即建立虚位移方程： 0PPBByFFdd01PBByFddBPByFdd即：即： (b) (a) 2)机动法机动法 为了具有通用性，将式为了具有通用性，将式(a)所示虚位移方程所示虚位移方程写成一般式：写成一般式： 0PPzFzddPZPFzdd将将FP=1，并令，并令d dz=

13、1代入式代入式(c)，得：，得： Pzd (10-3-1) (c) 静定结构某量值静定结构某量值z的影响线，是原的影响线，是原结构去掉与结构去掉与z相应的约束后的机构，相应的约束后的机构，沿沿z的正方向发生单位虚位移的刚的正方向发生单位虚位移的刚体虚位移图。体虚位移图。 例例10-3-1 用机动法重做例用机动法重做例10-2-1 图图(a)所示伸臂梁下列量值影响线：所示伸臂梁下列量值影响线：Mk1，FQk1。 L2acdbL1CF =1PxBk1A(a) 解：解：用机动法作静定梁的弯矩、剪力影响用机动法作静定梁的弯矩、剪力影响线的两个主要内容为：虚位移图，影响线线的两个主要内容为：虚位移图，影

14、响线图。本例解见图图。本例解见图(b)(e)。 abCBk1Ak1ab/L1Cdz=()=1(b) BCab/L1Ak1L2CBa/Lk1Ab/L(c)Mk1影响线 (d) 11Bk1A (e)FQk1影响线用机动法作静定结构影响线图需注意：用机动法作静定结构影响线图需注意： 1)1)虚位移图必须按拟求量值虚位移图必须按拟求量值z规定的正方向作出规定的正方向作出 2)2)与量值与量值z相应的位移相应的位移d dz应等于应等于1。 3)3)作相应于剪力的虚位移图时，注意左右直作相应于剪力的虚位移图时，注意左右直 线平行的特点。线平行的特点。 例例10-3-2 用机动法作图示多跨静定梁的用机动法作

15、图示多跨静定梁的MH、FFy、MA的影响线。的影响线。 2m2m1mF =1Px2m1mCGHFDABE解：解： GHFCBHADCDAB1H(a) (b)MH FFy1CGFDACDB1/23/2B CGDA (c) (d)FFy MACGFDAB1B2B CDA (e) (f)MA 说明：说明： 机动法在静定结构的影响线，关键是作机动法在静定结构的影响线，关键是作相应的虚位移图。相应的虚位移图。 还应注意：还应注意： 1)1)静定结构的力的影响线是由直线段组成的图形。静定结构的力的影响线是由直线段组成的图形。 2)2)虚位移一定要是约束允许的。虚位移一定要是约束允许的。 第四节第四节 影响

16、线的应用影响线的应用 1 当荷载固定时计算结构内力（反力）当荷载固定时计算结构内力（反力）（1） 集中荷载作用情况集中荷载作用情况112233CMPyP yP y11221nnniiiSPyP yP yPy一般情况下：（2） 分布荷载作用情况分布荷载作用情况若为均布荷载，则可表示为：21( )xCxMq x ydx一般情况下：21( )xxSq x ydxSq其中， 为影响线在区间内的面积，有正负之分例题：求简支梁在图示荷载下的剪力值。2 判断最不利荷载位置1）、最不利荷载位置的概念、最不利荷载位置的概念 当一组移动荷载移动到结构上的当一组移动荷载移动到结构上的某一位置时某一位置时，使结构的某

17、指定截面上的某量值使结构的某指定截面上的某量值z有最大值有最大值zmax（或最小值（或最小值zmin），该荷载位置即是量值），该荷载位置即是量值z的的最最不利荷载位置不利荷载位置。 移动荷载在给定的位置处对某量值移动荷载在给定的位置处对某量值z的影响（的影响（z值的大小），可由移动荷载与其位置下该量值值的大小），可由移动荷载与其位置下该量值z影响线上的竖标的代数和得出。影响线上的竖标的代数和得出。 例如图例如图10-4-1(c) ymaxABCaFp1Fp2aay1(c) ymaxABCaFp1Fp2aay1(c) z1影响线 图图(c)，所示影响线竖标都在基线以上正号部，所示影响线竖标都在基

18、线以上正号部分，有两个集中荷载组成移动荷载。分，有两个集中荷载组成移动荷载。当当FP1=FP2时，图中所示时，图中所示FP2在影响线顶点时是量在影响线顶点时是量值值z1有最大值的最不利荷载位置，因为此时在有最大值的最不利荷载位置，因为此时在C点两侧等距离位置上的影响线竖标，坡度较缓一点两侧等距离位置上的影响线竖标，坡度较缓一侧的侧的y1大于坡度较陡一侧的大于坡度较陡一侧的y2。当当FP1 FP2时，取其值较大的荷载作用在影响线时，取其值较大的荷载作用在影响线顶点，另一个在坡度较缓一侧位顶点，另一个在坡度较缓一侧位z1的最不利荷载的最不利荷载位置。位置。FPABC(b)z2影响线 z2影响线图在

19、影响线图在C点有突变。点有突变。C点的竖标在基线以点的竖标在基线以上的，是上的，是FP=1在在C右时的右时的z2值，在基线以下的，值，在基线以下的，是是FP=1在在C左时的左时的z2值。由于它们分别是影响线值。由于它们分别是影响线图中的最大和最小竖标值，因此当移动荷载图中的最大和最小竖标值，因此当移动荷载FP在在C右或右或C左时，分别由左时，分别由zmax和和zmin，则图示荷载，则图示荷载位置位置(应区分左右应区分左右)是量值是量值z2的最不利荷载位置。的最不利荷载位置。 当结构上作用荷载为分布移动荷载时，如图当结构上作用荷载为分布移动荷载时，如图10-4-1(d)，分布荷载作用在某一位置上

20、时，分布荷载作用在某一位置上时对某量值对某量值z2的影响，可由微段的影响，可由微段dx上的荷载合上的荷载合力力qdx与与z2影响线竖标的乘积在荷载分布区段影响线竖标的乘积在荷载分布区段积分、求和得出，积分、求和得出， qABCa (d) z2影响线 即：即： aydxqz2写成一般式：写成一般式： naydxqz1 (10-4-2) 若将该面积用若将该面积用A，式，式(10-4-2)可写成：可写成： nAqz1 (10-4-3) 2 2）. .最不利荷载位置的判别最不利荷载位置的判别 a. a. 均布荷载均布荷载 CMq()()CnmnmdMq y dxy dxq yydx令()CnmdMq

21、yydx()0CnmdMq yydxnmyy则 弯矩取得最大值，即为最不利荷载位置。 b.b.集中荷载集中荷载 由于考虑的是平行移动集中荷载组，由于考虑的是平行移动集中荷载组，以以其中的一个荷载位置建立荷载位置坐标其中的一个荷载位置建立荷载位置坐标x。可得出可得出z(x)，然后通过，然后通过z(x)函数性质，由函数性质，由数学中函数极值、最大值的概念，寻找数学中函数极值、最大值的概念，寻找出使出使z有最大值或最小值的条件，从而决有最大值或最小值的条件，从而决定判定定判定z的最不利荷载位置的路径和方法的最不利荷载位置的路径和方法。 11221( )nPPPiiPnnPiiiz xF yF yF

22、yFyF y最不利荷载位置和临界荷载判别式最不利荷载位置和临界荷载判别式 11221( )nPPPiiPnnPiiiz xF yF yF yFyF y111222()()()()()PPPiiiPnnnz xxFyyFyyFyyFyy1122PPPiiPnnzFyFyFyFy 增量为：增量为： 由于影响线在同一直线部分增量由于影响线在同一直线部分增量相等，因此：相等，因此： 12tanihyyyxxa 12taniinhyyyxxb 故有：故有： 121()() PPPiPiPnhhzFFFFFxab 分析：分析：由高等数学知识可知：函数由高等数学知识可知：函数z(x)z(x)的极值发生在导函

23、数的极值发生在导函数(d/dx)z(x)(d/dx)z(x)（或者增量（或者增量zz）等于零或者符号）等于零或者符号变化处。变化处。以上可以作为最不利荷载位置的以上可以作为最不利荷载位置的判断依据。判断依据。 分析可知：分析可知：当没有集中荷载经过影响线顶点当没有集中荷载经过影响线顶点时，增量时，增量zz为常数，只有当荷载为常数，只有当荷载有顶点的一侧移动到另一侧时，有顶点的一侧移动到另一侧时，zz才可能发生变化（才可能发生变化（不一定变不一定变号号）。因此，集中荷载位于影响）。因此，集中荷载位于影响线顶点上为线顶点上为Z Z出现极值的必要条件。出现极值的必要条件。将位于影响线顶点且使将位于影

24、响线顶点且使zz变号的变号的集中荷载称为临界荷载。集中荷载称为临界荷载。临界荷载判别式：临界荷载判别式：当当Z Z取得极大值时，取得极大值时，ZZ由大于等由大于等于零变为小于等于零；于零变为小于等于零；当当Z Z取得极小值时，取得极小值时，ZZ由小于等由小于等于零变为大于等于零。于零变为大于等于零。则，极大值的条件可表示为：则，极大值的条件可表示为：1211211()() 0()() 0PPPiPiPnPPPiPiPiPnhhFFFFFxabhhFFFFFFxab 或：或：PiPPPiPPFFFabFFFab右左右左给出一组移动荷载和影响线后，根据上式给出一组移动荷载和影响线后，根据上式选取若

25、干个荷载作为临界荷载进行试算，选取若干个荷载作为临界荷载进行试算，若不满足上式，则若不满足上式，则Z Z不会出现极值，若满不会出现极值，若满足上式，足上式，Z Z出现极值，计算此极值的大小，出现极值，计算此极值的大小，荷载位置即为最不利荷载位置。荷载位置即为最不利荷载位置。有时，临界荷载不只一个，此时颗比较各有时，临界荷载不只一个，此时颗比较各个极值的大小，选取最大的极值作为最大个极值的大小，选取最大的极值作为最大值，其荷载位置为最不利荷载位置。值，其荷载位置为最不利荷载位置。一般而言，通常在数值较大，排列较密一般而言，通常在数值较大，排列较密 的荷载中，出现临界荷载的可能性较大。的荷载中，出

26、现临界荷载的可能性较大。例例12-4-1 12-4-1 已知图中所示移动荷载已知图中所示移动荷载FP1=FP2=200kN，FP3=FP4=400kN，求：跨中截面求：跨中截面C C的最大弯矩的最大弯矩MCmax。 ABCD1m4m2m3m4.5m4.5m解：解：求求Mcmax 参照图参照图(a)(a) II1.25y1m4m2m4.5m4.5mABC1m2.5m2mI1.752.251.750.250.75x1.5m4m(a) (a) MC影响线图及可能的临界位置影响线图及可能的临界位置 (1)(1)作作MC影响线图。影响线图。 (2)(2)由判别式判断临界荷载，并计算相应由判别式判断临界荷

27、载，并计算相应的极大值的极大值 )5 . 46005 . 4()5 . 42005 . 4()5 . 44005 . 4()5 . 44005 . 4(321321PPPPPPFFFFFF满足。满足。FP2是是临界荷载。临界荷载。mkNMCI140075. 1400)25. 225. 1 (200计算该荷载位置时的极大值：计算该荷载位置时的极大值： 设图中设图中IIII所示的是临界位置，所示的是临界位置，FP3为临界为临界荷载。荷载。 )5 . 48005 . 4()5 . 44005 . 4()5 . 44005 . 4()5 . 48005 . 4(43214321PPPPPPPPFFFF

28、FFFF满足。满足。FP3是是临界荷载。临界荷载。 计算该荷载位置时的极大值：计算该荷载位置时的极大值： mkNMCII1500)25. 025. 2(400)75. 175. 0(200比较两极值，截面比较两极值，截面C C在移动荷载作用下的在移动荷载作用下的最大弯矩值为：最大弯矩值为： mkNMMCIIC1500max 第五节第五节 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图和内力包络图1.1.简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩 1) 1) 绝对最大弯矩的概念绝对最大弯矩的概念 在移动荷载作用下，简支梁的所有在移动荷载作用下，简支梁的所有截面的最大弯矩中的最大值，叫截面的最

29、大弯矩中的最大值，叫简简支梁的绝对最大弯矩。支梁的绝对最大弯矩。 2) 2) 绝对最大弯矩的计算绝对最大弯矩的计算 绝对最大弯矩绝对最大弯矩是简支梁上某一个是简支梁上某一个截面的最大弯矩，应该完全满足截面的最大弯矩，应该完全满足与与指定截面最大弯矩相同的条件。指定截面最大弯矩相同的条件。但产生绝对最大弯矩的截面是未但产生绝对最大弯矩的截面是未知的。找出绝对最大弯矩发生的知的。找出绝对最大弯矩发生的截面，便成为本问题的关键。截面，便成为本问题的关键。下面寻找简支梁绝对最大弯矩截面。下面寻找简支梁绝对最大弯矩截面。 L/2L/2ABC1.2图图12-6-112-6-1 设简支梁发生绝对最大弯矩时的

30、临界荷设简支梁发生绝对最大弯矩时的临界荷载载FPcr在在x x处，由静力平衡条件求出该临处，由静力平衡条件求出该临界荷载下截面界荷载下截面1 1的弯矩，其表现为的弯矩，其表现为x x的函的函数。由该函数有极大值得条件建立方程，数。由该函数有极大值得条件建立方程，即可求得即可求得x x值，即绝对最大弯矩截面位值，即绝对最大弯矩截面位置。计算过程如下：置。计算过程如下： （1 1） 确定确定FPcr一般情况下，使简支梁发生绝对最一般情况下，使简支梁发生绝对最大弯矩的临界荷载，是使简支梁跨大弯矩的临界荷载，是使简支梁跨中截面有最大弯矩的临界荷载。中截面有最大弯矩的临界荷载。（3 3）求截面）求截面1

31、 1弯矩弯矩 取截面取截面 1 1以左，得：以左，得： LRAMxFM11代入代入FRA后，得：后，得： LRMxaxLFLM11)(1(b)(b) 式中，式中， LM1 为为FPcr以左（截面以左（截面1 1以左）移动荷载对以左）移动荷载对FPcr作用点的力矩之和，作用点的力矩之和， （2 2）求支座反力）求支座反力 )(1axLFLFRRA(a)(a) (4)(4)求求x x值值 利用利用M1有极值条件有极值条件 01dxdM02axL即：即： 2aLx(c)(c) (5)(5)结论结论 产生绝对最大弯矩截面恰与合力作用截产生绝对最大弯矩截面恰与合力作用截面分别位于简支梁中点面分别位于简支梁中点C C两侧对称位置上。两侧对称位置上。换句话说，使简支梁有绝对最大弯矩的换句话说，使简支梁有绝对最大弯矩的临界荷载临界荷载FPcr与作用在梁上的移动荷载的与作用在梁上的移动荷载的合力合力FR，分别位于简支梁中点，分别位于简支梁中点C C两侧对称两侧对称位置位置1 1、2 2上。上。 例例12-6-1 12-6-1 求图示简支梁的绝对最大弯矩。求图示简支梁的绝对最大弯矩。FP1=FP2=30kN,FP3=20kN,FP4=FP5