理论力学电子教案清华大学第11章

1、返回返回 在惯性参考系在惯性参考系Oxyz中，设一非自由中，设一非自由质点的质量为质点的质量为m，加速度为，加速度为a，在主动，在主动力、约束力作用下运动。由牛顿第二力、约束力作用下运动。由牛顿第二定律，有定律，有 NFFam若将上式左端的若将上式左端的ma移至右端，则有移至右端，则有 0NaFFmaFmI0INFFF 可以假想可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与加速是一个力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与质点的度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力质量有关，故称为达朗贝尔惯性力(dAlembert

2、inertial force)，简称惯性力。，简称惯性力。 0INFFF 上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引入了上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的静力平达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的静力平衡问题。衡问题。 返回返回 这里仅讨论刚体有质量对称这里仅讨论刚体有质量对称面且转轴与质量对称面垂直的面且转轴与质量对称面垂直的情形。这种情形下，可以先将情形。这种情形下，可以先将惯性力系简化在质量对称面内，惯性力系简化在质量对称面内，然后再进一步简化。然后再进一步简化。 设刚体的质量为设刚体的质量为m ；刚体对轴；刚体对轴O的

3、转的转动惯量为动惯量为J O ；角速度与角加速度分别；角速度与角加速度分别为为与与。对称平面上第。对称平面上第i个质点的质量个质点的质量为为mi；至轴至轴O的距离为的距离为ri ；切向加速度切向加速度和法向加速度分别为和法向加速度分别为ati和和ani ，相应的，相应的惯性力分别为惯性力分别为F tIi和和F nIi 。所有质点的。所有质点的惯性力组成平面力系。惯性力组成平面力系。 再将平面惯性力系向点再将平面惯性力系向点O简化，简化，得一力和一力偶。因为所有质点得一力和一力偶。因为所有质点的法向惯性力都通过的法向惯性力都通过O点，所以点，所以所有质点法向惯性力对所有质点法向惯性力对O点之矩点

4、之矩的和等于零：的和等于零： 0)(nIiOMF于是，刚体作定轴转动时惯性力系向于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点点O简化，得到简化，得到 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 上述结果表明，有质量对称面的刚体作定轴转动，且转轴上述结果表明，有质量对称面的刚体作定轴转动，且转轴垂直于对称平面时，其惯性力系向轴心简化的结果为对称面垂直于对称平面时，其惯性力系向轴心简化的结果为对称面内的一力和一力偶。内的一力和一力偶。 力的矢量等于惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与力的矢量等于惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。质心加速度的

5、乘积，方向与质心加速度相反。 力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小为刚力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。方向相反。 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量对称面，而在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。因此，仍先将惯性且刚体在平行于这一平面的平面内运动。因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，然后再作进一步简化。力系简化为对称面内的

6、平面力系，然后再作进一步简化。 设刚体的质量为设刚体的质量为m，对质心轴对质心轴的转动惯量为的转动惯量为JO，角速度和角加速角速度和角加速度分别为度分别为和和 。 运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为随质运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为随质心的平移和绕质心的转动。心的平移和绕质心的转动。CmaFIR 因此，简化到对称平面内的惯性力因此，简化到对称平面内的惯性力系由两部分组成：刚体随质心平移的惯性系由两部分组成：刚体随质心平移的惯性力系简化为一通过质心的力；绕质心转动力系简化为一通过质心的力；绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。该力和力偶分的惯性力系简化为一力偶。该力和力偶

7、分别为别为 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF 上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面运动，上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向质心且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向质心C简化的简化的结果为对称面内的一力和一力偶结果为对称面内的一力和一力偶CmaFIR 这一力的矢量等于惯性力系的主矢，其大小为刚体质这一力的矢量等于惯性力系的主矢，其大小为刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的力偶矩等于惯性力系对质心的力偶矩等于惯性力系对质心C的主矩，其大小为刚体对轴的主

8、矩，其大小为刚体对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。反。 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF返回返回 电动机外壳和定子的总质量电动机外壳和定子的总质量为为m1，质心质心O与转子的中心重合；与转子的中心重合；转子的质量为转子的质量为m2 ，由于制造或，由于制造或安装误差，转子的质心安装误差，转子的质心O1到定子到定子的质心的质心O的距离为的距离为e，已知转子以已知转子以等角速等角速转动。转动。 求：求：电动机机座的约束力偶。电动机机座的约束力偶。 解：解：在第在第5章的例题章的例题2中，已中，已经解出电动机机座的水平

9、约束力和经解出电动机机座的水平约束力和铅垂约束力，但无法确定约束力偶。铅垂约束力，但无法确定约束力偶。现在，采用动静法可以确定约束力现在，采用动静法可以确定约束力偶。偶。 电机所受真实力有电机所受真实力有惯性力惯性力FxFyMaO2m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；FI惯性力的大小为惯性力的大小为 22IemF 方向与质心加速度相反。因转子匀方向与质心加速度相反。因转子匀速转动，只有法向加速度，故惯性速转动，只有法向加速度，故惯性力方向沿力方向沿O1O2向外。向外。 应用动静法，由平衡方程应用动静法，由平衡方程 0AM0sinsin2thFtgemMI)(sinsinsin222hgte

10、mthFtgemMIFxFyMaO2 电机所受真实力有电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。；惯性力如图所示。 长为长为l、重为重为W 的均质杆的均质杆AB，其其A端铰接在铅垂轴端铰接在铅垂轴z上，并以匀角上，并以匀角速绕此轴转动。速绕此轴转动。 求求: 当杆当杆AB与轴间的夹角与轴间的夹角60时，时， 的数值及铰链的数值及铰链A处的约束力。处的约束力。 解：解：作定轴转动的杆作定轴转动的杆AB对对z轴没有质轴没有质量对称面。但注意到在转动的过程中，量对称面。但注意到在转动的过程中，杆杆AB上的点均在垂直于轴的平面内作上的点均在垂直于轴的平面内作圆周运动，且由

11、于匀速转动，各点仅圆周运动，且由于匀速转动，各点仅有法向加速度。有法向加速度。 同时由于同时由于 角为常数，所以杆角为常数，所以杆AB上的惯性力沿上的惯性力沿z方向线性分方向线性分布布(三角形分布三角形分布)，并位于杆和轴的轴线所组成的平面内。，并位于杆和轴的轴线所组成的平面内。 惯性力合力的大小为惯性力合力的大小为 2Isin2lgWmaFC根据三角形分布惯性力的特点，惯性力合根据三角形分布惯性力的特点，惯性力合力作用线应通过三角形的重心，即力作用线应通过三角形的重心，即 lAD32 应用动静法，重力、应用动静法，重力、A处的约束力和惯性力组成平衡力系。于是，处的约束力和惯性力组成平衡力系。

12、于是，有有 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyy解得解得 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyyLg3lWFFx433IWFy 均质圆柱体重为均质圆柱体重为W，半径为，半径为R，沿倾，沿倾斜平板从静止状态开始，自固定斜平板从静止状态开始，自固定O处向下处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。忽略板的重量。 试求：试求： 固定端固定端O处的约束力。处的约束力。0CMIIsin0CWRFRM 以圆柱体为研究对象，画出包括真以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力系的受力图。对实力和惯性力系的

13、受力图。对C点取点取矩，有矩，有 以圆柱体为研究对象，画出包括真实以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力系的受力图。对力和惯性力系的受力图。对C点取矩，有点取矩，有 0CMIIsin0CWRFRMIICCCWFaMJg,由于圆柱体纯滚动，因而有由于圆柱体纯滚动，因而有 RaCsin32gaC 以整体为研究对象，画出受力图。动静法以整体为研究对象，画出受力图。动静法的平衡方程为的平衡方程为 00II00II0cos00sin00sincos0 xxyyCFFFFFFWMMMFRWRWSIICCCWFaMJg,RaC00I2I0II2cossin cossin2332sin(1sin)3sin

14、cos cos xyCWWFFFWFWMWRWsMF RWs返回返回 惯性力系的主矢与质点系动量对时间的的变化率，惯性力系的主矢与质点系动量对时间的的变化率，二者仅仅相差一负号。二者仅仅相差一负号。 具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动时，惯性力系向固定轴简化得到的主矩与刚体对动时，惯性力系向固定轴简化得到的主矩与刚体对同一同一点的动量矩对时间所变化率仅仅相差一负号点的动量矩对时间所变化率仅仅相差一负号。 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力

15、学普遍定理与惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。 请分析研究直线行驶的卡车请分析研究直线行驶的卡车 分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。动静法求约束反力。 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。遍定理与动静法综合应用，往往会达

16、到事半功倍的效果。 请分析研究安装在悬臂梁端请分析研究安装在悬臂梁端的电动机提升设备的电动机提升设备 分别用动量定理、动量矩定理分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。法求约束反力。 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。 请分析研究纯滚动的圆柱体与重物等组成的刚体系统请分析研究纯滚动的圆柱体与重物等组成的刚体系统 分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。动静法求约束反力。 返回返回返回返回振动筛振动筛NIINNINI 车载杆件车载杆件AB在在B处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束，若已处为光滑面约束，若已知汽车以等加速度知汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为长度为l,杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为。A、B二处的约束力。二处的约束力。 杆件杆件AB跟随汽车作平移，因此杆件上