历届概率统计期末试题

1、概概率率统统计计期期末末复复习习题题数数学学学学院院).1632004(comyangrk杨荣奎杨荣奎四川大学四川大学2008-2009第二期第二期(08级）概率统计期末考试题及答案级）概率统计期末考试题及答案一.单项选择题（每空2分，共10分）95. 0)D(65. 0)C(5 . 0)B(8 . 0)A(._)BA(P, 5 . 0)B(P, 3 . 0)A(PBA. 1 则则独独立立，且且与与设设事事件件5)D(3)C(3)B(5)A(._)X(E,e61)x( fX. 2625x10 x2 则则的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量)35y(F)D()35y3(F)C()5y3(

2、F)B()35y(F31)A(_Y, 5X3Y),x(FX. 3 分布函数为分布函数为的的则则令令有分布函数有分布函数设设._X,Xn1X,1X,X. 4P2n1i2i2n1 则则的的指指数数分分布布均均服服从从参参数数为为量量序序列列，是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变设设4)D(3)C(2)B(1)A(无法判断无法判断最有效。最有效。的无偏估计中，的无偏估计中，这三个对这三个对的样本，记的样本，记是来自是来自正态分布正态分布设总体设总体)D(Z)C(Z)B(Z)A(_,X52X53ZX31X31X31ZX41X41X21ZXX,X,X),)(,(NX. 531221332123211

3、3212 A. 5B. 4D. 3D. 2C. 1答：答：二二.填空题填空题(每空每空2分，共分，共10分分)._3)(23. 1得一个白球的概率是个球，则至少取，从中任取大小都相同球的形状、个白球个红球，设袋子中有._)10|30X(|P),)(3 . 0 ,100(BX. 2 雪夫不等式，应有雪夫不等式，应有由切比由切比二项分布二项分布设随机变量设随机变量分布。分布。则则的二维正态分布，记的二维正态分布，记设设_Z,Y3X2Z)43; 4 , 9 ; 1 , 1(N)Y,X(. 3 ._, 1)2X)(1X(E)(PX. 4 则则，已知，已知泊松分布泊松分布设设._W,)XXX(31W,X

4、X,X,X),1 , 0(NX. 52321321分布分布则则记记的样本的样本是来自是来自设总体设总体 )1(. 51. 4)126, 1(N. 379. 0. 29 . 0. 12 答：答：三三.简答题和证明题简答题和证明题件件产产品品混混入入乙乙意意取取出出件件次次品品，今今从从甲甲箱箱中中任任件件正正品品，件件次次品品，乙乙箱箱中中有有件件正正品品，箱箱中中有有品品，其其中中甲甲有有甲甲、乙乙两两箱箱同同类类型型产产分分（119111)10. 1概概率率。中中取取得得的的产产品品是是次次品品的的品品是是次次品品，求求从从甲甲箱箱已已知知从从乙乙箱箱中中取取得得的的产产）是是次次品品的的概

5、概率率。（乙乙箱箱中中任任取取的的这这件件产产品品求求从从件件产产品品。任任取取箱箱中中，然然后后再再从从乙乙箱箱中中2)1(1由由全全概概率率公公式式有有：分分（是是次次品品”，则则：件件产产品品表表“从从乙乙箱箱取取出出的的产产品品为为次次品品”，箱箱的的那那件件表表“从从甲甲箱箱取取出出放放入入乙乙设设解解：)2111)|(,112)|(,121)(1B).1( ABPABPAPA)4(.132131111211112121)A|B(P).A(P)A|B(P).A(P)B(P分分 )413213213112121)B(P)A|B(P).A(P)B|A(P)2(分分（ ).y(fY,eY)

6、(2 , 1(UX)9(2YX2的密度函数的密度函数求求，记，记均匀分布均匀分布设设分分 的分布函数的分布函数时时则当则当分分的值域为的值域为分分其它其它的密度函数为的密度函数为解：解：Y,eye),1(),e ,e ()Y(ReY)1(, 0, 2x1 , 1)x(f:X4242X2X )4(,1yln21dx1)yln21X(P)ye(P)y(Fyln211X2Y分分 )1, 0,eye ,y21)y(f:Y,)2( ,eye ,y21)y(F)y(f:Y42Y421YY分分（其它其它的密度函数为的密度函数为综上所述综上所述分分的密度函数为的密度函数为 ?%,952X22X16X)1).(

7、25,(NX),10(3多少多少则样本容量至少应该取则样本容量至少应该取的概率不小于的概率不小于之差的绝对值小于之差的绝对值小于与与）欲使样本均值）欲使样本均值的概率；（的概率；（绝对值小于绝对值小于之差的之差的与与的样本，求样本均值的样本，求样本均值容量为容量为中抽取中抽取从总体从总体设设分分 附正态分布表：附正态分布表：x)x( 32. 06255. 018413. 06 . 19452. 064. 1950. 096. 1975. 029773. 0),2(),1 , 0(N4/5X:),1625,(NX:)1(分分即即由题意知由题意知解：解： )3(,8904. 019452. 021

8、)6 . 1(2)6 . 14/5X(P)2|X(|P分分 )1(),1 , 0(Nn/5X),25,(NX2分分所以所以）因）因（ )1.(25n,01.24n)1( ,96. 15n2,975. 0)5n2()2(,95. 01)5n2(2)5n2n/5X(P)2X(P分分至少取至少取故故分分即：即：分分于是于是 ?YX)4();y|x(f)3();y(f),x(f)2(A)1(2x,2xyxG,G)y, x(, 0,G)y, x(,Ax)y, x( f)Y,X()164Y|XYX是否独立是否独立与与判定判定求条件密度求条件密度求边缘密度求边缘密度的值；的值；求求围城。围城。轴，直线轴，直

9、线由由其中其中函数函数有联合密度有联合密度设二维随机变量设二维随机变量分分（ o22xy y1G)1( ,43A),3( ,A34Axdxdydxdy)y, x( f1)1(202/x0分分故故分分由由解：解： )1( ,43A),3( ,A34Axdxdydxdy)y, x( f1)1(202/x0分分故故分分由由解：解： 其它其它知知由由, 0,2xy0 , 2x0 , x43)y, x( f)1()2()2(, 0, 2x0 ,x83)x(f,x83xdy43)x(f ,2x02X22/x0X分分其它其它所以：所以：时时当当 )2(, 0, 1y0),y1(23)y(f),y1(23xd

10、x43)y(f ,1y02Y22y2Y分分其它其它因此：因此：时时类似，当类似，当 )3(0, 2xy2,)y1(2x, 0, 2xy2 ,)y1(23x43)y(f)y, x( f)y|x(f),1(, 0)y1(23)y(f1y0)2(22YY|X2Y分分，其它，其它其它其它故故分分时，时，知，当知，当由由 )4.(YX),y(f).x(f)y, x( f)2(G)y, x().4(YX分分不独立不独立与与故故知，知，时，由时，由当当 题）题）分布表见第分布表见第次的概率（正态次的概率（正态至多至多定理计算正面出现次数定理计算正面出现次数次，用中心极限次，用中心极限掷掷这枚硬币独立地重复抛

11、这枚硬币独立地重复抛）将）将次正面出现的概率；（次正面出现的概率；（次，求至少有次，求至少有抛掷抛掷将这枚硬币独立重复的将这枚硬币独立重复的。的概率为的概率为币正面出现币正面出现设一枚质地不均匀的硬设一枚质地不均匀的硬分分364018002210)1(31).12.(5)4(,896. 0)311()31(C)311.()31.(C1)1X(P)0X(P1)2X(P),2(),31,10(BX10X)1(1311303003分分于是：于是：分分则则数，数，次抛掷中正面出现的次次抛掷中正面出现的次表示表示用用解：解： 由由中中心心极极限限定定理理，分分则则次次出出现现正正面面的的次次数数，表表示

12、示抛抛掷掷由由),2(),31,1800(BY1800Y)2()4(9773. 0)2()20600640()640Y(P),400,600(N)32311800,311800(NY分分故故近似的有近似的有 分布表：分布表：附附）？）？显著差异显著差异的脉搏有无的脉搏有无分，问中毒者与正常人分，问中毒者与正常人次次脉搏为脉搏为）设正常人的）设正常人的；（；（位位置信限精确到小数点后置信限精确到小数点后的置信区间的置信区间求慢性中毒者平均脉搏求慢性中毒者平均脉搏布。布。设人的脉搏服从正态分设人的脉搏服从正态分准差准差标标，得到样本均值，得到样本均值分分单位：次单位：次例慢性中毒者的脉搏，例慢性中

13、毒者的脉搏，某医生测试了某医生测试了分分t05. 0(/722)2(%95)1(,8224. 3s,8889.68x)/(9)12(6 np95. 0975. 0898595. 13060. 28331. 12622. 2代代入入，得得：将将观观测测值值查查表表得得分分的的置置信信区区间间为为均均未未知知设设人人的的脉脉搏搏,306. 2)8(t)1n(t)3(),ns)1n(tx(,ns)1n(tx(),(),(NX975. 021212122 ,95.6598224. 33060. 2889.68ns)1n(tx21 ,83.7198224. 33060. 2889.68ns)1n(tx2

14、1 )3(),83.71,95.65分分故所求置信区间为：（故所求置信区间为：（72H;72:H2100 ：）待检假设）待检假设（)1n(t ,05. 0),3,n/SXt),1n(t| t|W2/102/1 分分（其中其中拒绝域：拒绝域：将观测值代入得：将观测值代入得：,306. 2)8(t975. 0 )1(,H05. 0),2(,306. 2442. 29/8224. 3728899.68n/sx| t |00分分差异。差异。与正常人的脉搏有显著与正常人的脉搏有显著认为中毒者认为中毒者下拒绝下拒绝故在故在分分 .3;2;)1(Xx,x,x,0,x, 0,x,e), x(fX)11.(7L

15、Ln21)x(的的有有偏偏估估计计是是）证证明明：（极极大大似似然然估估计计的的）用用讨讨论论法法求求（的的矩矩估估计计量量求求的的样样本本观观测测值值。为为来来自自为为未未知知参参数数其其中中有有密密度度函函数数设设总总体体分分 )1. 1X),1, 1m2( ,1)2(dse )s (dxxe)X(Em)1(0s)x(分分（的矩估计量：的矩估计量：故故分分（解得：解得：分）分）解：解： )2(),n, 2 , 1ix(,e .ee),x( f)(L)2(ixnn1i)x(n1iin1iii分分， 达达到到最最时时，当当且且单单调调递递增增，关关于于易易知知似似然然方方程程无无解解，而而)(

16、Lxmin,xmin)(Lini1ini1 )2,Xminini1分分（的的极极大大释释然然估估计计量量为为：大大值值，于于是是 的分布函数为：的分布函数为：即即的分布函数的分布函数时，时，当当X,e1dse)x(FXX)3()x()s ( x,0,x,e1)x(F11)x(FXmin,x,0,x,e1)x(F)x(nnini1)x(L的的分分布布函函数数为为：于于是是的有偏估计。的有偏估计。是是故故的密度函数的密度函数 L)x(nL)x(nL,n1dxne. x)(E, 0 x, 0 x,ne)x(f :L考试题考试题第一学期概率统计期末第一学期概率统计期末四川大学四川大学20082007

17、)1052(.分分单项选择题单项选择题一一 ._4 , 3 , 2 , 1 , 0. 1概概率率是是则则正正好好排排成成三三位位偶偶数数的的排排成成一一排排，共共五五个个数数中中任任取取三三个个数数从从21.A32.B43.C54.D._)BA|C(P,BA, 0)ABC(P, 4 . 0)B|C(P, 2 . 0)AC(P, 5 . 0)B(P, 6 . 0)A(P. 2 则则独立独立与与且且已知已知31.A41.B21.C51.D._,XX,X,X),(PX. 3n21则以下判断错误的是则以下判断错误的是的样本的样本是来自是来自设总体设总体 的无偏估计的无偏估计是是 X.A的无偏估计的无偏

18、估计是是)X(DX.B的矩估计的矩估计是是 2B.C的无偏估计的无偏估计是是22)X.(D ._C2(CY)XX()XX(Y,XX,X,X,X),1 , 0(NX. 422432214321则则），），若要，若要又设又设的样本的样本是来自是来自设总体设总体 31.A21.B51.C41.D有样本值有样本值设二维总体设二维总体)Y,X(. 55yx1346278._, xxyy 则则的回归方程的回归方程与与1316.A1310.B1613.C78.DA. 5 ;B. 4 ;D. 3;C. 2;A. 1:答案答案)1052(.分分填空题填空题二二 ._. 1率率是是球球，则则此此球球为为红红球球的

19、的概概袋袋，再再从从乙乙袋袋中中任任取取一一甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙装装有有二二红红一一白白球球，今今从从有有一一红红二二白白球球，乙乙袋袋有有甲甲、乙乙两两袋袋，甲甲袋袋装装._)X(E),( eX. 22 则则设随机变量设随机变量._)70X50(P)6 . 0 ,100(BX. 3 式式，概概率率，由由切切比比雪雪夫夫不不等等设设随随机机变变量量._Z,YX2Z),21; 9 , 4 ; 2 , 1(N)Y,X(. 4则则令令若若 ._%95, 2 . 4x,XX,X,X),16. 0 ,(NX. 51621区区间间为为的的置置信信的的置置信信度度为为则则已已知知的的样样

20、本本是是来来自自设设总总体体 )396. 4 ,004. 4.(5);13, 4(N. 4 ;76. 0 . 3;2. 2;127. 12 答案：答案：解答题解答题三三.有分布函数有分布函数设连续型随机变量设连续型随机变量分分X)12.(1 3x, 13x0 , xarctanA0 x, 0)x(F).y(fY,XY)3();X(EX),x(fX2A)1(Y3X的的密密度度函函数数求求设设的的数数学学期期望望且且以以此此求求的的密密分分度度函函数数）求求的的值值；（求求 .3A,A33arctanA)03(F)3(F)1( 解：解： 其它其它, 03x0 ,)x1(3)x(F)x(f )2(2

21、XX 3030222ln3| )x1ln(23dx)x1(x3)X(E)3( 其它其它，且，且的值域的值域, 03y0 ,)y1(y9)y).(y(f)y(fyx3, 0y,xy)4(66233XY363有联合密度有联合密度二维随机变量二维随机变量如图如图围成围成以及直线以及直线由直线由直线设区域设区域分分)Y,X(.,0y, 1xxyG)16(2 ，其它，其它0G)y, x( , x3)y, x( fxy GO)Y(D),X(D2)Y(E),X(E)1(）求）求；（；（求求?YX)4),Y,X(Cov)3(XY是否独立是否独立与与问问；（；（求求 x02X, 01x0 ,x3xdy3)x(f

22、:其它其它解解 其其它它,0, 1y0),y1(23)y(f)y1(23|x23xdx3)y(f2Y1y21y2Y53dxx3)X(E,43dxx3 . x)X(E)1(1042102 803)43(53)X(E)X(E)X(D222 1010222251dy)y1(y23)Y(E,83dy)y1(y23)Y(E)2(32019)83(51)Y(D2 ,103dy)y1(ydxydyx3dxdy)y, x(xyf)XY(E)3(10310 x02G 16038343103)Y(E)X(E)XY(E)Y,X(Cov 3974. 0320/1980/3160/3XY 不独立。不独立。与与，故，故Y

23、X)y(f)x(f)y, x( f )4(YX .kh5360100,9)2(kh53,9)1()kh:)(16, 4(N)12(3之间的概率之间的概率均寿命在均寿命在台中的这种元件的平台中的这种元件的平台该仪器中至少有台该仪器中至少有限定理求限定理求以中心极以中心极一台某型仪器一台某型仪器个该种元件为一组嵌入个该种元件为一组嵌入以以之间的概率之间的概率求平均寿命在求平均寿命在个此种元件个此种元件任取任取单位单位态分布态分布设某型元件寿命服从正设某型元件寿命服从正分分 )34( , 4(NX91X,i)9 , 1i (X:291iii 个元件寿命个元件寿命表第表第设设解解附：正态分布表附：正态

24、分布表05. 1x)x( 5 . 06915. 075. 07734. 08531. 007. 18577. 05468. 017734. 021)75. 0(2)3/443()3/445()5X3(P )5468. 0 ,100(BZkh539100Z)2(的台数，则的台数，则元件寿命在元件寿命在台仪器中，嵌入的台仪器中，嵌入的表这表这设设 服从服从近似的近似的由中心极限定理，由中心极限定理，Z,78.24npq,58.54np )78.24,68.54(NZ1423. 08577. 01)07. 1(178.2468.5460(1)60PZ1)60Z(P )YX2 ,Z2YX(COV,ZY

25、,21,21)4 , 2(NZ,21Y),21( eX)10(4XZXY 求协方差求协方差独立独立与与且且），（已知已知分分2121221)Y(D)X(D)Y,X(COV, 0)Z,Y(COV, 4)Z(D,41)Y(D, 4)X(D:XY 且且解：由题知解：由题知22221)Z,X(COV )Y,Z2(Cov)X2 ,Z2(Cov)Y,Y(Cov)X2 ,Y(Cov)Y,X(Cov)X2 ,X(Cov)YX2 ,Z2YX(Cov 41)2(4412142)Z,X(Cov4)Y(D)Y,X(Cov)X(D2 )cm(8),(NX)12(52单位：单位：个，测得内径如下个，测得内径如下批已加工的

26、零件中任取批已加工的零件中任取从一从一其内径其内径某车床加工某种零件，某车床加工某种零件， 10.3, 10.4, 10.4 , 10.5, 10.3, 10.6, 10.2, 10.4 )05. 0(cm5 .10,)2()(%95)1( 显显著著偏偏小小比比标标准准这这批批零零件件平平均均内内径径是是否否用用假假设设检检验验判判断断取取到到小小数数点点后后一一位位的的置置信信区区间间求求这这批批零零件件平平均均内内径径的的分布表分布表附附 t:未知未知解解2975. 021,3646. 2)7(t)1n(t,1246. 0s ,39.10 x, 8n: pn7895. 0975. 0894

27、6. 18595. 13646. 23060. 2)5 .10, 3 .10(置信区间为置信区间为3 .1081246.03646.239.10nS)1n(tx121 ）置置信信下下限限（5 .1081246. 03646. 239.10nS)1n(tx21 置置信信上上限限0100H5 .10H:)2( ：；：根据题意提出检验假设根据题意提出检验假设)7( t)1n( tn/SXTH00 为真时为真时当当8496. 1)7(t)1n(t ,05. 095. 01 8496. 1TWH0 的的拒拒绝绝域域：得得8496. 14970. 28/1246. 05 .1039.10t 统计量观测值统

28、计量观测值显显著著偏偏小小。径径比比认认为为这这批批零零件件得得平平均均内内拒拒绝绝cm5 .10,H0 0 x, 00 x,ex2), x( fX)12(62x32有密度有密度设总体设总体分分 n1i2i2ix1n1i3in2nn1ix3i2ex2ex2)(L)1( :似然函数似然函数解解.)2(;)1(,Xx,x,x,n21的的无无偏偏估估计计量量是是证证明明的的极极大大似似然然估估计计量量求求的的样样本本值值是是来来自自总总体体未未知知其其中中 n1i2in1iix1x3lnn22lnn)(LnL n1i2in1i2iXn21:,xn21极大似然估计量为极大似然估计量为得极大似然估计值得

29、极大似然估计值令令, 0 x1n2d)(dLnLn1i2i2 .)3(2)x(de)x(2dxex2x21)X(E21)X(En21)(E)2(02x220 x2322n1i2i22 密度函数密度函数的的求求题中，若令题中，若令前面第前面第分分Z,YXZ2)6(7 应有应有，要被积函数，要被积函数解解, 0dx)xz, x( f)z(f:Z x2zx1x0,xxz01x0即即2z2/z2z2/zZz89|x23xdx3)z(f1z0 时，时，当当).4z1(23|x23xdx3)z(f2z1212/z212/zZ 时，时，当当o112xzxz x2z 其它其它, 0, 2z1),4z1(23,

30、 1z0 ,z89)z(f22Z上学期概率期末考试题上学期概率期末考试题四川大学四川大学20072006 一一.单项选择题单项选择题(3分分/题题)._, 1)A|B(P1)A(P0B,A. 1成成立立则则以以下下，且且为为两两事事件件，设设 互斥互斥与与BA).A(AB).B( 0)AB(P).C( 0)B(P).D( 有联合分布律有联合分布律设设)Y,X(. 2XY1 2010 0.40.4 0.2_)Y,X(Cov 则则(A)0.16 (B). 0.22 (C).-0.22 (D).-0.16._)1 , 0(NYX. 3成成立立分分布布，则则以以下下都都服服从从和和设设服从正态分布服从

31、正态分布YX).A( 分布分布都服从都服从222Y,X).B( )2(YX).C(222 分布分布服从服从FYX).D(22._,)XX(n1S,)X(n1SXX,X,X),(NX. 42n1i2i22n1i2i21n212的的无无偏偏估估计计量量是是则则以以下下样样本本，记记的的是是来来自自设设总总体体 22S1nn)A( 21S1nn)B( 22Sn1n)C( 21Sn1n)D( ._H1 . 0,3/S3XT, 3:H;3:HXX,X,X),(NX. 501092122为为的的拒拒绝绝域域时时，当当则则统统计计量量的的样样本本，要要检检验验是是来来自自未未知知，设设总总体体 )8(t|T

32、|W)A(95. 0 )8(tTW)B(90. 0 )8(tTW)C(95. 0 )8(tTW)D(90. 0 答：答：1.C, 2.D, 3.B 4.A 5.D)102(.分分分分，共共每每空空填填空空题题二二._234. 1的的概概率率是是只只，则则此此两两球球颜颜色色不不同同中中任任取取只只，从从只只，白白球球袋袋中中有有大大小小相相同同的的红红球球._)X3X2(E,e221)x(fX. 228)1x(2 则则数数学学期期望望有有密密度度若若._)80X60(P),7 . 0 ,100(BX. 3 有有由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式，应应若若._)XY(E),21, 2 , 2 ,

33、1 , 1(N)Y,X(. 4 则则若若)975. 0)96. 1(,95. 0)645. 1(.(_%956 . 316):(4. 5 的的置置信信区区间间为为信信度度为为入入的的置置万万元元，则则该该公公司司职职工工收收得得平平均均年年收收入入为为名名职职工工，测测司司随随机机抽抽取取的的正正态态分分布布，今今从从该该公公万万元元单单位位标标准准差差为为某某公公司司职职工工年年收收入入服服从从)56.5,64.1)(5(;2)4(;79.0)3(;13)2(;74)1(答答案案：三三.解答题解答题.62DM,100M)2();DM(P)1(.2 . 0 , 02 . 0 , 0D).G)Y

34、,X(G)Y,X(M),x(0y, 0 xxcosyG)10(1的的概概率率次次之之间间至至内内的的次次数数是是在在用用中中心心极极限限定定理理求求次次独独立立观观察察点点作作对对求求概概率率为为一一矩矩形形区区域域设设内内服服从从二二维维均均匀匀分分布布在在即即随随机机游游动动内内均均匀匀在在随随机机点点轴轴正正向向围围成成以以及及直直线线由由曲曲线线设设区区域域分分 附附：正正态态分分布布表表数数据据x0.38 0.42 1.02 2.020.6480 0.6628 0.8461 0.9783)x( )1(, 0,G)y, x( , 1)y, x(f)Y,X()2(1|xsinxdxcos

35、)G(mG2020分分其其它它有有联联合合密密度度分分的的面面积积解解： )2(04. 0)D(mdxdy1)DM(P)1(04. 02 . 02 . 0)D(mDD分分的面积的面积又又 )2)(04. 0 ,100(BYDM100Y)2(分分发发生生的的次次数数，则则件件次次独独立立观观察察事事件件中中，事事表表示示设设 ),84. 3 , 4(NY,84. 3npq, 4np近似服从近似服从故故 1)02. 1(2)84. 342()84. 346()6X2(P 分）分）3(6922. 018461. 02 有分布函数有分布函数设连续型随机变量设连续型随机变量分分X)10(2 xe211,

36、Ax21, 0)x(F2x 0 x2 0 x )y(fY,eY)3();X(E)2( ;A)1(YX2的密度的密度求求设设求求求求 )2(41A),2(A21)2(F)02(F0)1(分分得得解解： )2(, 00 x,e210 x2,41)x(F)x( f).2(x分分其它其它密度密度 )2(35! 22132dxex21dx4x)X(E020 x222分分 22ey,e )Y(RY)3( 的值域的值域显然，显然，,ylnx,eyx ylnYe .21y1,y41)2( |)y(ln|)y(lnf)y(f分分 其它其它, 01y,y211ye ,y4122)2( 分分)1(615,10),5

37、1,10(Y),36,15(NX)8(3题题表表见见注注：正正态态分分布布的的概概率率求求两两样样本本均均值值的的差差小小于于的的样样本本，容容量量为为从从中中分分别别随随机机抽抽取取两两个个设设两两个个总总体体分分)15511036,1015()nn,(NYX22212121 解解：)6)(7 , 5(N分分 )2(6480. 006480. 0)16. 4()38(.)2)(756()756()6YX6()6|YX(|P分分分分 有有联联合合密密度度二二维维随随机机变变量量围围成成，由由直直线线设设区区域域分分)Y,X(0 x, 2y,x2yG)18(4 其它其它, 0G)y, x( ,y

38、43)y, x( f?YX)4( ;),Y,X(Cov)3();Y(D),X(D),Y(E),X(E)2();y(f),x(fY,X)1(XYYX独独立立吗吗与与问问求求求求边边缘缘数数字字特特征征的的边边缘缘密密度度求求 )x1(23|y83ydy43)x(f),1 , 0(x)1(:22x222x2X 解解Gyx12x2y o)2(, 01x0),x1(23)x(f2X分分其它其它 ,y83ydx43)y(f,2 , 0y22y0Y 又又)2(, 02y0 ,y83)y(f2Y分分其它其它 102)1( ,83dx)x1(x23)X(E)2(分分 10222)1( ,51dx)x1(x23

39、)X(E分分)1(0594. 032019)83(51)X(D2分分 )1(83dyy83)Y(E203分分 )1(512dyy83)Y(E1042分分 )1(203)23(512)Y(D2分分 102x22Gdx)dyy(x43ydxdy43xy)XY(E)3()2(6 . 0dx)xx(2104分分 )2(375. 080323836 . 0)Y,X(Cov分分 )2(3974.0203320190375.0XY分分 )2(YX),y(f)x(f)y, x( f)4(YX分分不独立不独立与与故故 有有密密度度的的样样本本观观察察值值。若若为为的的一一个个容容量量是是来来自自总总体体设设分分

40、XnXx,x,x)12.(5n21 其它其它, 01x0 ,x)2()x( f1计计量量的的矩矩估估计计和和极极大大似似然然估估为为未未知知参参数数。求求其其中中 1021)2(32dxx)2()X(Em:分分解解)1( ,32X:分分令令 )2)(1XX32(分分解之，解之， )2()x()2(x)2()(L)2(n1inn1iin1i分分 )2(x)1()2ln(n)(Llnn1ii分分 )2(02x)2(2nd)(Llndn1ii分分令：令： 得极大似然估计量得极大似然估计量, 2xlnnn1ii )1()2Xlnn(2n1ii分分 如如下下关关系系产产量量之之间间有有设设某某种种化化肥

41、肥用用量量与与水水稻稻分分)12.(6)/kg10(x亩亩化肥用量化肥用量)/kg10(y亩亩水稻产量水稻产量1240 42355357458560)1(xy)1(位位系系数数取取到到小小数数点点后后的的一一元元回回归归方方程程对对请请拟拟合合出出)05. 0()2( 回归方程的显著性回归方程的显著性用相关系数检验法检验用相关系数检验法检验附：相关系数临界表附：相关系数临界表2n 05.0 3878.04811.035,2910.1)x(x1,3x2122 解解：;333.165xy;9373. 7)y(y,52y222 )6(6 . 56667. 13333. 921yxxy分分 )1(x6

42、 . 52 .35),1(2 .35xyy分分回归方程回归方程分分 811. 091. 021yxxyR 又又样样本本相相关关系系数数回回归归效效果果显显著著统统。个个元元件件组组成成一一个个串串联联系系未未知知，从从中中任任取取其其中中某某批批电电子子元元件件寿寿命命分分n),1(eX)10.(7 仍仍服服从从指指数数分分布布命命证证明明这这个个串串联联系系统统的的寿寿Y)1(的无偏估计；的无偏估计；是是使使求常数求常数 CYZC)2(.XZ3有效有效的两无偏估计量哪个更的两无偏估计量哪个更作为作为与与）指出）指出（ 0 x,e1)x(FX)1(x 有分布函数有分布函数解：解：)2(XYiX

43、ini1imin分分个元件寿命，则个元件寿命，则是第是第设设 有有分分布布函函数数Y0y,e1)y(F1 1)y(FynnY )2)(n( eY分分 ,n)Y(D,n)Y(E)2(22 nC,nC)Y(CE)CY(E)Z(E 22222nn)Y(Dn)nY(D)Z(D)3( 更更有有效效故故X),Z(Dnn)X(D)X(D22 年年下下学学期期期期末末考考试试试试题题2004)53(.分分单单项项选选择择题题一一：一一定定有有、则则独独立立，且且与与设设事事件件_, 0)()(.1BABPAPBA互互不不相相容容与与（BAA).相相容容与与（BAB).互互不不独独立立与与（BAC).不不独独立

44、立与与（BAD).ABBPAPABPB, 0)().()().( :因为因为答答：分分别别为为的的样样本本，则则总总体体为为来来自自设设总总体体_)(),(,.,),0(.221XDXEXXXXaUXn122).(2aaA和和2).(naaB和和naaC122).(2和和2).(aaD和和1 .4 .6).(定定理理答答：C._),(.322的的是是则则下下列列说说话话正正确确样样本本均均值值和和样样本本方方差差，的的分分别别来来自自正正态态总总体体与与设设NSX,).(22SXA）) 1, 1 ()().(22nFSXB相关相关与与22).(SXC不相关不相关与与22).(SXD4.4.6)

45、.(定定理理答答：D._,.,2,. 421的的矩矩估估计计量量为为则则的的样样本本，为为来来自自未未知知，其其中中上上服服从从均均匀匀分分布布，在在区区间间设设总总体体XXXXXn1).(XAXB 2).(1).(XCXD).(XXEA12/)2()().(答答：._%95. 5表表示示度度进进行行区区间间估估计计，则则置置信信对对总总体体参参数数的的概概率率含含样样本本的的值值以以%95).(B的的值值的的含含有有%95).(A的值的值平均含样本平均含样本%95).(C值值概率含概率含以以%95).( D)(D答：答：）。分分布布（服服从从近近似似的的限限定定理理，其其寿寿命命之之和和的的

46、样样本本，由由中中心心极极的的容容量量为为自自总总体体为为来来单单位位：千千小小时时服服从从指指数数分分布布设设某某电电子子元元件件寿寿命命2002_XZ50XX,.,X,X),)(21(eX).6(501ii5021 )504, 2().(NA)200,100().(NB)100,50().(NC)400,100().(ND).148(450250),().(2PNnnNZB），（答：答：)53(.填空题填空题二二._)|(,97. 0)(, 2 . 0)|(,05. 0)(. 1BAPBPABPAP则则已已知知3103.02 .005.0)(1)|()()()()|(BPABPAPBPAB

47、PBAP解解：._)(21,010 ,3)(.22YDXXYxxxfX发发生生的的次次数数，则则事事件件进进行行四四次次独独立立观观察察中中，表表示示对对，以以其其它它有有密密度度函函数数设设167)811 (814)(),81,4(,813)21(:2102YDBYdxxXP故故解解._)1|1(|1),(.3XPeX由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式，为为常常数数，其其中中若若随随机机变变量量11)/1 (/11)1|1(|,1)(,1)(222XPXDXE解：解：._)(2,.,),2 , 0(. 42625242321621分布分布服从服从的样本，则统计量的样本，则统计量为来自为来自设总

48、体设总体XXXXXXXXXXXNX)4(4/),4(2.6,.,1),1 ,0(2);1 ,0(2)2 ,0(22262524232121tVUXVUXXXXViNXNXXUNXXi 独独立立，与与所所以以：又又，性性，解解：由由正正态态分分布布的的可可加加 ._, 12. 5XYYXYX相关系数相关系数则则有关系有关系与与设随机变量设随机变量)128, 1P见见书书答答：).(,).3).(),().2.(?) 1 (0, 00,)(8.(12yfXYXDXEAxxeAxxfXYx求求令令求求求求有有密密度度函函数数分分）设设随随机机变变量量三三简简答答题题).2(21,2)3(1).1 (

49、02分分解解：AAAdxeAxx)1.(12)5(2121.)()2( , 3)4(21.)(.2022202分分分分）（dxexxXEdxeAxxXExx分分）1(3312)(2XD22522222 .)(21|)( | )()(, 1 .5 .3, 0), 0(.).3(yyXYYeyyeyyyfyfyR由由定定理理显显然然)2(0, 0, 0,)(25分分故：故：yyeyyfyY).() 3();()2();() 1 ( :., 5 . 0, 5 . 0, 0),2 , 1(),2 , 1 (),2 , 1 ().9.(22WEWDWEZYXWNZNYNXYZXZXY求求令令且且已已知知

50、分分)2.(1) 1(11)()()()(分分解解：ZEYEXEWE)1.1025 . 0225 . 0202222( )()(2)()(2)()(2)()()()2)(,(2),(2),(2)()()()()().2(分分（分）分）分分ZDXDZDYDYDXDZDYDXDZXCovZYCovYXCovZDYDXDZYXDWDXZYZXY)()(),(YDXDYXCovXY注：上面使用了公式：注：上面使用了公式：)2.(11110)()()(.322分分）（WEWDWE是是否否相相互互独独立立？与与问问求求其其它它有有联联合合密密度度函函数数设设分分YXYXCovYDXDYEXEyxyxyxf

51、YXXY).5( ,).4(),().3(),(),().2(),(),().1 ( :, 010 , 10 ,),(),().14( 3:),10.21| )21()()().1 (10210故故（解解：xxyxydyyxxfyyX分分）其其它它1(,0,10,21)(xxxfX)10,10,21)(分分（，其其它它同同理理：yyyfY)1.(127)21()(10分分故故：dxxxXE分分）同同理理1.(127)(.YE)3.(14411)127(125)(,125)21()().2(21022分分又又XDdxxxXE分分）同同理理：1.(14411)(YD31)32()()().3(10

52、21010 dxxxdxdyyxxyXYE)2.(1441)127(31)()()(),(2分分YEXEXYEYXCov分分）2.(111144/11144/11144/1)()(),().4(YDXDYXCovXY)2(),().(),( 1 , 0 1 , 0.5分分不独立。不独立。与与故故内，内，在在）（YXyfxfyxfYX载的概率。载的概率。理计算该车不超理计算该车不超水泥，请用中心极限定水泥，请用中心极限定袋袋只准该车装只准该车装为了不超载，有关部门为了不超载，有关部门标准差为标准差为装水泥，每袋平均重装水泥，每袋平均重吨的汽车运输袋吨的汽车运输袋一最大载重量为一最大载重量为分分9

53、8,5,505)8.(4kgkg正态分布表正态分布表x121.012.02(x)0.8413 0.9772 0.8438 0.9783)2.(255)(,50), 2分分（袋袋重重量量第第解解：设设iiiXDkgXEiX)2).2450,4900()2598,5098(),(,1 (2981分分（近近似似服服从从则则分分），记记NNnnNYXYii)3.(9783. 002. 2)245049005000()5000(分分）（要要使使车车不不超超载载，应应有有：YP题）题）正态分别表同第正态分别表同第的概率的概率于于之差的绝对值小之差的绝对值小独立样本，求样本均值独立样本，求样本均值的两个的两

54、个及及中抽取容量为中抽取容量为及及分别从分别从设总体设总体分分4.(122416),18,20(),4 ,30().9.(5YXNYNX)2 . 4 . 6完完全全类类似似注注意意：此此题题与与例例)2(),2418,20(),164,30(,2 .4 .6)2( ,241,161241161分分有有：则则由由定定理理分分解解：记记NYNXYYXXiiii)2(),1 ,0()2418164,2030(分分NNYX分）分）3( ,9772. 009772. 0)22()2()11012()11012()12|(|YXP超标。超标。物质含量是否显著物质含量是否显著检验化工厂废水中有害检验化工厂废

55、水中有害）（区间。区间。的置信的置信的的量量求出有害物质的平均含求出有害物质的平均含设水中有害物质含量设水中有害物质含量单位：单位：量如下：量如下：测得费水中有害物质含测得费水中有害物质含次，次，随机检验随机检验现环保部门对某化工厂现环保部门对某化工厂含量不超过含量不超过流的废水中有害物质的流的废水中有害物质的工厂倾入河工厂倾入河分）根据环保规定，化分）根据环保规定，化.2%90).1 ().,()/10( , 5 . 3 , 8 . 2 , 4 . 3 , 5 . 3 , 7 . 2 , 6 . 3 , 9 . 2 , 3 . 3 , 1 . 39,/10310.(6266NXLkgLkg8

56、331. 1)9(,3830. 1)9(,8595. 1)8(,3968. 1)8(:95. 09 . 095. 09 . 0ttttt分分布布表表，附附)2(),).1(,).1(2/12/1分分（的的置置信信区区间间：解解：nSntXnSntX)1 ( ,408. 333354. 08595. 12 . 3) 1()1 ( ,992. 233354. 08595. 12 . 3) 1()1 ( , 1 . 0, 9,3354. 0, 2 . 32/12/1分分分分分分由由题题设设得得：nsntxnsntxnsx)408.3 ,992.2(所所求求置置信信区区间间为为)2).(1(,/)1.

57、(:;3:),2(1000100分分的的拒拒绝绝域域为为：则则取取统统计计量量分分：由由题题意意，提提出出假假设设检检验验nTTWHnSXTHH分）分）拒绝域拒绝域查表查表对对1.(3968. 1,3968. 1)8() 1(, 1 . 090. 01TWtnt)1(,7889.13/3554.032.30分分认认为为超超标标。拒拒绝绝故故HWTT更更有有效效。比比来来估估计计证证明明：以以的的；证证明明这这个个估估计计量量是是无无偏偏的的极极大大似似然然估估计计量量求求）（的的样样本本观观察察值值。为为来来自自总总体体未未知知，其其中中设设总总体体分分222222122).3().2(;.1,.,), 0().12.(7SXxxxNXnnixnnxxniiieeLRxexf122222222()()2(21)(,21)(.1 ( :212222分分）似似然然函函数数：）解解)1 ( ,2ln22ln2)(21222分分niixnnLnL)1.(022)(ln412222分分niixndLd)212122分分估计（估计（的极大似然的极大似然为为所以：所以：niixn)3( ,)0(1)()(1)(1)(.221212122分分）（niniiiniinXEXDnXEnE)1 ( ,)(,)().3(2222