大学物理30量子物理

1、大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理15-815-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics一一、波函数、波函数 Wave Function 二二 、波函数的统计意义、波函数的统计意义三、三、波函数波函数满足的条件满足的条件大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 微观粒子的微观粒子的状态状态可以用可以用波函数波函数来描

2、写，而波函来描写，而波函数随时间的演化，遵从数随时间的演化，遵从薛定谔方程薛定谔方程.1、波函数统计解释波函数统计解释 t 时刻粒子出现在空间某点时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元附近体积元 dV 中的概率，与波函数模的平方及中的概率，与波函数模的平方及 dV 成正比。成正比。 单位体积内粒子出现的概率单位体积内粒子出现的概率),(),(),(*2trtrtrdVdWw概率密度：概率密度：),(),(),(*2txtxtxdxdWw一维情况：一维情况：大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第15

3、15章章 量子物理量子物理dxtxdW2),(),(),(),(*2txtxtxw对于一维空间：对于一维空间：粒子出现在粒子出现在 x x + dx 区间区间内概率：内概率：概率密度：概率密度：212),(xxdxtxW粒子出现在粒子出现在 x1 x2 区间区间内概率：内概率：大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 微观粒子的微观粒子的状态状态可以用可以用波函数波函数来描写，而波函来描写，而波函数随时间的演化，遵从数随时间的演化，遵从薛定谔方程薛定谔方程.2、波函数满

4、足的条件波函数满足的条件粒子在整个空间出现的粒子在整个空间出现的总概率等于总概率等于 1 , 即：即：波函数归一化条件波函数归一化条件波函数波函数满足的满足的标准化条件标准化条件：单值、连续、有限单值、连续、有限1),(2dVtr1)(2dxx一维情况：一维情况：大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 例例: 设一粒子在一维空间运动，设一粒子在一维空间运动， 其定态波函数为：其定态波函数为： 求：求：1) 归一化的波函数；归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数；粒

5、子的概率密度函数； 3) 在何处发现粒子的概率最大？在何处发现粒子的概率最大？解：解：32 A1）归一化的波函数归一化的波函数:2) 粒子的概率密度函数粒子的概率密度函数：0,00,2)(3xxxexx由归一化条件由归一化条件:1| )(| )(|0202dxxdxx)0(0,00,)(xxAxexx1)(2dxx10222dxexAx2)()(xxw0,00,4223xxexx大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 例例: 设一粒子在一维空间运动，设一粒子在一维空间

6、运动， 其定态波函数为：其定态波函数为： 求：求：1) 归一化的波函数；归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数；粒子的概率密度函数； 3) 在何处发现粒子的概率最大？在何处发现粒子的概率最大？解：解：)0(0,00,)(xxAxexx02242223xxexxe3）粒子出现的粒子出现的概率最大的位置概率最大的位置:0)()(2dxxddxxdw0)4(223xexdxd2)()(xxw0,00,4223xxexx1,0 xxx概率最小概率最小 1x0,0wxx时，大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星

7、期二第第1515章章 量子物理量子物理大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理四四、薛定谔方程的建立、薛定谔方程的建立 薛定谔薛定谔（Erwin Schrdinger）（18871961）奥地利物理学家）奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学基础的波动力学,并建立了量子力并建立了量子力学的近似方法学的近似方法 . 1933年与年与狄拉克狄拉克获诺贝尔物理获诺贝尔物理学奖学奖.大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介

8、 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理1、一维自由粒子一维自由粒子薛定薛定谔谔方程方程 量子力学找到量子力学找到微观粒子微观粒子在不同条件下的波函数在不同条件下的波函数的方法，的方法，归结为归结为求各种条件下求各种条件下薛定薛定谔谔方程方程的解的解. . 由于微观粒子具有波粒二象性，因此对于由于微观粒子具有波粒二象性，因此对于微观粒子微观粒子的的动力学问题，动力学问题，牛顿方程已不再适用牛顿方程已不再适用，因此，必须另新建一，因此，必须另新建一套处理微观粒子问题的方法。套处理微观粒子问题的方法。1926年奥地利的物理学

9、家薛年奥地利的物理学家薛定谔在德布罗意波假说的基础上建立了势场中微观粒子的定谔在德布罗意波假说的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程。微分方程。 薛定谔方程既不能由经典的理论导出，也不能用严薛定谔方程既不能由经典的理论导出，也不能用严格的逻辑推理来证明，它是薛定谔在旧的波动方程的基础格的逻辑推理来证明，它是薛定谔在旧的波动方程的基础上改造而来，它的正确与否只能用实验来验证。上改造而来，它的正确与否只能用实验来验证。大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理1、一维自由粒子

10、一维自由粒子薛定薛定谔谔方程方程)(),(PxEtioetx)(xPtEioeEit)(2222xPtEioePx薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明mPEEk22一维自由粒子的一维自由粒子的含时薛定谔方程含时薛定谔方程tixm2222以一维自由粒子为例以一维自由粒子为例EiP22(适用条件适用条件 v c，非相对论条件下讨论，低速微观粒子，非相对论条件下讨论，低速微观粒子)大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理

11、量子物理E itPx2222PPkEmPEEE22titxEx2mP222),(2、一维势场一维势场 中运动粒子中运动粒子薛定薛定谔谔方程方程),( txEP一维运动粒子一维运动粒子含时含时薛定薛定谔谔方程方程txEmPtiP),(22mPxm222222大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理titxEx2mP222),(3、一维一维定态定态薛定谔方程薛定谔方程)()(),(txtx分离变量分离变量: : dttdixxxExx2mtP222)()()()()()(E

12、tixEx2mP222)()()()()(1xxExx2mxP222dttdit)()(1若势能若势能 EP (x) 与与 t 无关，仅是坐标的函数无关，仅是坐标的函数大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理3、一维一维定态定态薛定谔方程薛定谔方程若势能若势能 EP (x) 与与 t 无关，仅是坐标的函数无关，仅是坐标的函数)()(),(txtx分离变量分离变量: : )()()()()()(1xExxExx2miEdttdtP222tEiet)(0)()()(xEE2

13、mdxxdP222一维一维定态定态薛定薛定谔谔方程方程tEiex)(大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理3、一维一维定态定态薛定谔方程薛定谔方程若势能若势能 EP (x) 与与 t 无关，仅是坐标的函数无关，仅是坐标的函数)()(),(txtx分离变量分离变量: : tEiex)(2*)()()(xxx粒子在空间各处出现的概率粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。不随时间变化的。2),(txw 定态：定态：微观粒子在各处出现的微观粒子在各处出现的概率与时间无关概率

14、与时间无关2*2)(),(),(),(xtxtxtxwEtiEtiexex)()(*大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理一维一维定态定态薛定谔方程薛定谔方程0)()()(xEE2mdxxdP222一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程若势能若势能 EP (x) 与与 t 无关，仅是坐标的函数无关，仅是坐标的函数)()(),(txtxtEiex)(2h0)()(8)(2xEEhmdxxdP222大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mec

15、hanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理titxEx2mP222),(一维运动粒子一维运动粒子含时含时薛定薛定谔谔方程方程推广到三维情况，推广到三维情况， 薛定薛定谔谔方程可写为：方程可写为：titzyxEzyxmP),(22222222拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：2222222zyx 一般的薛定一般的薛定谔谔方程：方程：ttzyxitzyxtzyxEmP),(),(),(222 一般一般定态定态薛定薛定谔谔方程：方程：0),()(8),(22zyxEEhmzyxP2大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mech

16、anics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理四四、薛定谔方程的建立、薛定谔方程的建立4、薛定谔方程的意义薛定谔方程的意义 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典物理中的地位相当。典物理中的地位相当。 薛定谔方程本身薛定谔方程本身并不是实验规律的总结并不是实验规律的总结，也没有，也没有什么更基本的原理可以证明它的正确性。什么更基本的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验需要用实验事实去验证事实去验证。 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的一条是量子

17、力学的一条基本假设基本假设。大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理五五、一维无限深势阱、一维无限深势阱 The infinite poten

18、tial wellBA金属表面PE势阱势阱一维无限深势阱一维无限深势阱)(xEPaxx, 0,0, 0 x a0ax0 x)(xEP金属中自金属中自由电子的由电子的势能曲线势能曲线大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理五五、一维无限深势阱、一维无限深势阱 The infinite potential well)(xEPaxxax, 0,0,00 0ax0EP 与与 t 无关，写出无关，写出定态薛定谔方程定态薛定谔方程0)()(8)(2xEEhmdxxdP222大学物理

19、大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理1 2 3 1= 0 3 = 0E 为有限值，所以为有限值，所以),0(,0)(axxx0)()(8)(2xEEhmdxxdP2220)()(8)(2xEhmdxxd22200ax1、势阱外、势阱外),0(axx大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理2、势阱内、势阱内0)()(8)(2xEEhmdxxdP2220

20、)(8)(2xhmEdxxd2221 2 3 1= 0 3 = 000ax（1）解方程）解方程2228khmE0)()(2xkdxxd22xkBxkAxcossin)(令令:)0(ax )0(ax 大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理1 2 3 1= 0 3 = 000ax（2）确定常数）确定常数 A、B (x) = 0 , （ x 0 x a ）kxBkxAxcossin)()0(ax 由波函数由波函数连续性连续性， (0) = 0 , (a) = 0 00cos

21、0sin)0(BA0Bka =nn = 1， 2， 3，n = 0 ?0sin)(kaAa2228khmE222222282mahnmanEEn量子数：量子数：n = 1 ， 2 ，3 ，大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理aA2122aA归一化条件为：归一化条件为：, 1)(2-dxx1sin20dxxanAa1)()()(22020dxxdxxdxxaaxanaxnsin2)(（ 0 x a ）由归一化条件由归一化条件确定系数确定系数A (x) = 0 , （

22、x 0 x a ）)0(,sin)(axxanAx大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理)(xn（ 0 x a ）,sin2xana0（ x 0, x a)tEinnnextx)(),( 考虑时间因子，考虑时间因子，（ 0 x a ）,)sin(2, 0tEinexana（ x 0, x a)大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理00ax)(

23、xn（ 0 x a ）,sin2xana0（ x 0, x a)2228mahnEn量子数：量子数：n = 1 ， 2 ，一维无限深势阱一维无限深势阱2)()(xxwn（ 0 x a ）,sin22xana, 0（ x 0, x a)概率密度概率密度大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理n = 1n = 2n = 3xaasin21xaa2sin22xaa3sin23na2218mahE 2nnw124EE 1w2w3w139EE 0 xnE0 xnEa一维无限深势阱

24、中粒子的一维无限深势阱中粒子的能级能级、波函数波函数和和概率密度概率密度大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理六、六、一维方势垒一维方势垒 隧道效应隧道效应 Tunnel Effect (了解了解)(pxEaxx , 0, 0axE0,p0 一维方势垒一维方势垒 当粒子能量当粒子能量 E a 的区域的区域; 在量子力学中，在量子力学中，应求解应求解定态薛定谔方程定态薛定谔方程, 才能下结论。才能下结论。0pE)(pxEaoxE0pEE 粒子的能量粒子的能量大学物理大学

25、物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 经量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒。经量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒。从左方射入的粒从左方射入的粒子，在各区域内子，在各区域内的波函数的波函数123)(xaxo 粒子能穿过比其能量更高的势垒，粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象这种现象称为称为势垒贯穿势垒贯穿亦称亦称 隧道效应隧道效应。 这是微观粒子波动性的表现。这是微观粒子波动性的表现。 隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、

26、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。要的应用。大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理QuantumClassical大学物理大学物理 15-8 量子力学简介量子力学简介 Quantum Mechanics理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理金属样品金属样品nm1电子云电子云UbScanning Tunneling Microscopyd隧道电流隧道电流 I分辨率分辨

27、率:横向横向0.1nm ，纵向纵向0.01nm，电子显微镜电子显微镜（0.30.5nm）重新排列原子（重新排列原子（1990年用年用35个个Xe原原 子在子在Ni表面拼缀出表面拼缀出 IBM 纳术米技纳术米技正式诞生）。正式诞生）。1982电子云电子云重重 叠叠大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理15-915-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介一一、氢原子的、氢原子的薛定谔方程薛定谔方程 Schrdinger Equation of Hydrogen电子的势能函数电子的势能函

28、数:定态定态薛定谔方程薛定谔方程:0)4(802222reEhmreE02p4re+e 一般一般定态定态薛定薛定谔谔方程：方程：0),()(8),(22zyxEEhmzyxP2大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理0)4(8sin1)(sinsin1)(102222222222reEhmrrrrrr分离变量法求解分离变量法求解, ,设设 :采用采用球极坐标球极坐标:xzyOr22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr定态薛定谔方程定态薛定谔方程:)(),(rRr)()(

29、大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理0dd222ml) 1()dd(sinddsin1sin22llml) 1()4(8)dd(dd1022222llreEhmrrRrrR大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理 二、二、量子化条件量子化条件和量子数和量子数（以下重点）（以下重点） （量子力学中的氢原子问题的严格解量子力学中的氢原子问题的严格解）（不深究繁琐的求解过程，着重讨论所得

30、出的几点（不深究繁琐的求解过程，着重讨论所得出的几点重要结论重要结论）, 3, 2, 1,1)8(22204nnhmeEn1、能量能量量子化量子化和和主量子数主量子数 Principal Quantum Numbern 主量子数主量子数eVhmeE6 .13822041, 3,2, 1,6.1311212neVnEnEn( (与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设) )大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理

31、量子物理2 2、角动量角动量量子化量子化和和角量子数角量子数 Angular Quantum Number电子绕核运动的电子绕核运动的( 轨道轨道 )角动量：角动量：) 1(2) 1(llhllLl : ( 轨道轨道 )角（副）量子数角（副）量子数1, 3,2, 1,0nlzLO( (与玻尔的假设与玻尔的假设 有所有所 区别，区别， 实验证明实验证明 ，量子力学的结果更为准确。），量子力学的结果更为准确。） 2hnL 大学物理大学物理 15-9 氢原子的量子理论简介氢原子的量子理论简介理学院物理系 王 强2022年3月8日星期二第第1515章章 量子物理量子物理0, 0Ll例如，例如，n =3 时