第四节未定式的极限

1、第四节第四节 未定式的极限未定式的极限)(xf)(xg如果在同一极限过程中如果在同一极限过程中,两个函数两个函数 , 都是无都是无穷小量或都是无穷大量穷小量或都是无穷大量,那么那么 可能存在也可能存在也可能不存在可能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限通常称这种类型的极限为未定式的极限. )()(limxgxf一一. 未定式未定式 型的极限型的极限00定义定义,且满足且满足0)(lim0 xgxx10 0)(lim0 xfxx0 x定理定理 设函数设函数 和和 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有)(xg)(xf在在 的某一去心邻域内存在的某一去心邻域内存在,且且0 x0)(

2、xg)()()(lim300或或Axgxfxx)(xg)(.20 xf和和则有则有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx0 x)(xf)(xg可以补充或改变可以补充或改变 及及 在在处的函数值处的函数值,使使f(x0)=g(x0)=0 0 x)(xg)(xf的极限的极限 与与 及及 在在 )()(xgxf设设x 为为x0 的邻域内异于的邻域内异于x0 的任一点的任一点,利用柯西定理利用柯西定理,在以在以x0 为端点构成的闭区间上为端点构成的闭区间上,处的函数值无关处的函数值无关,所以所以,0 xx证明证明 由于当由于当 时时,则则f(x)和和 g(x) 就在点就在

3、点x0处连续处连续)()()()()()()()(00 gfxgxgxfxfxgxf ( 介于介于 与与 之间之间) 0 xx)()(lim0 xgxfxx则得则得)()(lim)()(lim00 xgxfgfxxx 0 x 对上式取极限并注意到当对上式取极限并注意到当 时时0 xx得得0 xx令令 ,2coslim0 xeexxx例例1 )00(sinlim0型型xeexxxxxx2)1(lim10例例220)1ln(limxxx)00(型型)00(型型616sinlim0 xxx例例3 xxeexxx2sin0sinlimxxeexxxx2sinsin0sin1lim30sinlimxxx

4、x203cos1limxxx洛比达法则可以连续使用洛比达法则可以连续使用例例5)00(123lim2331型型xxxxxx23266lim12333lim1221xxxxxxx11lim111lim2222xxxxxx例例4型型）00(1arctan2limxxx mnxnxmnmx1111111lim例例6型型）00(11lim1nmxxx二二 未定式未定式 型的极限型的极限定义定义,且满足且满足)(lim0 xgxx10 )(lim0 xfxx20 和和 在在 的某一去心邻域内存在的某一去心邻域内存在,且且)(xf)(xg0 x0)( xg)()(lim0 xgxfxx30 存在存在(或为

5、或为 )则有则有）或或 ()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxxx对于对于 时的未定式时的未定式 同样适用同样适用0 x定理定理 设函数设函数 和和 在点在点 的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有)(xg)(xf例例82coslim2)2( xxx型型）(tan)2ln(lim)2(xxx xxx2)2(sec21lim 01lim1lim1nxnxnxnxx例例9) 0(lnlimnxxnx例例100!limlim1xnxxnxenenx xnxex lim01sincos2lim)2(xxx )0( xnexx ln当当 x 充分大时，有充分大时，有例11)1ln()1

6、ln(lim102xxxxx注意注意 ：1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。1222coslim2sinlim00 xexxexxxx20coslimxxexx事实上事实上xxexxexxxx2sinlimcoslim02051)1(110)1(12lim1092xxxxxxx2）解题过程中注意及时化简函数式如约去零因子，提出能确定极限值非零的部分，且注意与其它求极限的方法结合起来。3）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件即当 不存在时，不能断定

7、不存在)()(limxgxf)()(limxgxf例1cos1limsinlimxxxxxx不存在但11sin1limsinlimxxxxxxx再如 用洛比达法则不存在xxxxsin1sinlim20事实上01sinsinlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx4）反复应用洛比达法则，若出现循环，要停止使用。例xxxxxeeeelim三. 其它未定式的极限0010010)()(0)(0 xxxxgxf或或)00()(1)()()(型型xgxfxgxf2 20 0)()()(0 xxxxgxf或或)()(1)(1)(1)(11)(11)()(xfxgxfxgxgxfxgxf型型）00

8、(301000)(ln)(ln)(1)(0)()(0)(0)()()(xfxgyxgxfxgxfxgxfxgxfy)(1)(lnlim)(ln)(limlnlimxgxfxfxgy0lim1limlnlim0100 xxxxxxxx例例1xxxlnlim0 例例2)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim10 xxxxx1)1(lnlnlim1例例3)cossin1(lim2xxx )()tan(seclim2xxx 例例4xxx0limxxylnln令令xxy 011lim1lnlimlnlim2000 xxxxxxxxx10lim0exxx21111lim21xxxx0)sincos(lim2xxx