四川省射洪县射洪中学高二数学《2.5直线与圆锥曲线》教学过程一

1、用心爱心专心-1 -四川省射洪县射洪中学高二数学2.5 直线与圆锥曲线教学过程一一、基本知识概要：1. 直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解 必相交；一组解时，若化为 x 或 y 的方程二次项系数非零，判别式=0 时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3. 当直线的斜率存在时，弦长公式：I=心+疋忆x2=(1+疋厂&+x2)24x2】或当k存

2、在且不为零时,1+占卜1一 丫2,(其中(捲畀！ ), (X22)是交点坐标)抛物线y2=2px的焦点弦长公式|AB|=Xi X2 P二2p,其中a为过焦点的直线的sin 倾斜角。4. 重点难点：直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。5. 思维方式：方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6. 特别注意：直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一 是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：A。没有交点B。只有一个交点C 。有两个交点2 21 解：当 x0 时，双曲线=1 的渐近线为:942 210

3、因94此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3 个交点，选 D思维点拔注意先确定曲线再判断。【例 2】已知直线l : y =tan(x 2-2)交椭圆x29y2=9于A、B 两点，若为I的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求 的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y, 得(1 9tan2_：i) x236 2 tan x 721 a：n 9 = 0【例 1】直线 y=x+3 与曲线y2x|x1D 。有三个交点y二 X,而直线 y=x+3 的斜率为 1,2用心爱心专心-2 -胚6ta n2a + 62 = 2(1 9tan : )1 9tan :-由A心得t屛以3,牛潮,.:-的取值范围是0

4、,-6 IL6思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于I的方程由tan给出,所以可以认定f，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。2 2【例 3】已知抛物线y2二-x与直线y =k(x 1)相交于 A、B 两点(1)求证：OA_OB(2)当OAB的面积等于.10时，求k的值。y2= x2(1) 证明：图见教材 P127 页，由方程组丫消去x后，整理得ky2+y-k = 0。y = k(x +1)设A(xyj, B(x2，y2)，由韦达定理得y“2=-1；A, B在抛物线y = -x上,2 2 2 2y1i X1,y2 -X2,y1y2 =X1X2(2)解：设直线与x轴交于N,

5、又显然k =0,.令y =0,则x二-1,即N(1,0)=寸1晶1+y2)2-4%y2弓花)2+4二10,.10 =1一 4,解得k二丄2 k26思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以 及分析问题、解决问题的能力。【例 4】在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。解设 B C 关于直线 y=kx+3 对称，直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得：AB =+ tan2a x2捲=Ji + tan2ayy2%y2- *-=-x1x2x-1x2二-1,. OA _ OBy1 72 S OAB=SOAN

6、 SOBN1 1 .=才。| +?|。业|匕刖卜-y2SOABSOABkOA用心爱心专心-3 -y +4ky-4m=0，设 B (x，yj、C (X2，y2)， BC 中点 M( x。，y)，贝U2y= (y+y?) /2=-2k。X0=2k +m用心爱心专心-4 -两点， =16k2+16m0 把 m 代入化简得32k 2k 3. 即(k 1)(k- k 3) o，kk解得-1k0思维点拔对称问题要充分利用对称的性质特点。【例 5】已知椭圆的一个焦点 Fi（ 0，-2 ,2），对应的准线方程为 y=-92，且离心率 e 满足:42/3，e，4/3 成等比数列。（1） 求椭圆方程；一 一 一1

7、一（2） 是否存在直线I，使I与椭圆交于不同的两点M N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分。2若存在，求I的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。2心21解依题意 e=2 23/八a29/2门石(1 ).-c=-2 , 2 =僅，又e=2-2a=3, c=2 .2, b=1，又 R (0, -22),c443对应的准线方程为 y=-乞上。椭圆中心在原点，所求方程为：42x2=191（2）假设存在直线I，依题意I交椭圆所得弦 MN 被 x=-丄平分，直线l的斜率存在。设直2(k29)x22kmx m2-9=0直线I与椭圆交于不同的两点2 2即 m-k -90设 M (X1, yj、N (x2, y2)x1x2-km1,k2+9-m2k2922k把代入可解得：k3或k：3点 M（xo, yo）在直线上。2-2k (2k +m) +3,32k 2k 3m=-又 BC 与抛物线交于不同x21 消去 y,整理得9用心爱心专心-5 -思维点拔倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。三、课堂小结：1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系 数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。2、涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否 则不宜用此法。3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式I二持1 k2忆-X2（1