常微分课后答案

1、2 In y = x C，因而，通解为1 一 =Tn x +1 + C，因而，通 y解为1In |x+1|+C，这里C是任意常数.此外,x - -1和y = 0是两条积分曲线.由yx =1得c =1，特解In |x + 1| 十1第二章一阶微分方程的初等解法§ 2.1变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解1.=2xy，并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.dx解 分离变量，得到dy 2xdx，两边积分，即得yy = Ce"，这里C是任意常数此外，方程还有解y = 0 .2由 y xt i得 c =1，特解 y =ex .22. y dx (x 1)dy = 0 ,

2、并求满足初始条件：x = 0, y = 1的特解.解 分离变量，得到 卑=，两边积分，即得y 2 2所以得通解(1 x )(V y Cx，这里C 0是任意正常数. x +1dy 1 y23.dx xy x y解 分离变量，得到上笃dx，两边积分，即得In(y2)=ln 亠石(,1+y2x(1+x2)1 + x24. (1 x)ydx (1 - y)xdy 二 0.解 分离变量，得到_Llldy =，两边积分，即得 y_|n y =yx因此得通解x - y In xy = C，这里C是任意常数另有特解5.(y x)dy (x - y)dx = 0 .变形得dydxy -xy x,这是齐次方程，设

3、u =',x得一=u x，代入原方 dxdxu -1u 1，1 2arctanu+-ln(1+u ) = -lnx2这里C是任意常数.6. x虬dx程得udux -dx分离变量得y . x1 2 - y2解变形得dy _ ydxsgnx, 1 -代入原方程得dux -dx1 udxrdu =1 uxC，即 arctan ln(x2 y2) = C ,x 2，两边积分，即得2,这是齐次方程，设u ='，得鱼=u X空,x dxdx，分离变量积分，即得arcsinu = sgnxln x C，即yarcsin =sgnx ln x +C .xy 122C，即 arctan ln(x

4、 y)= C ,x 27. tan ydx - cotxdy = 0 .解 分离变量，得到cotydy =ta nxdx，两边积分，即得In si ny = - In cosx - ( ,所以通解为cosxsin y =C ,这里C = 0的任意常数.另有特解y = k二，k Z及31x =, k Z，这只须在通解表达式中允许 C = 0即可，故通解为cosxsin y = C ,2这里C是任意常数.y这里C是任意常数. 3 xdy ey八&o.2 c-e + C，得到通解3dx y解 分离变量，得到 弓e3xdx,两边积分，即得-ee22e3x _3e=C，这里C是任意常数.9. x

5、(ln x -In y)dy -ydx 二 0 .dx x(ln x In y) 人 xdxdu解 变形得，令 u ,则u y，代入方程并分离变量dyyydydy得, =巴，两边积分，即得In In u= In y +(，或In u = Cy +1，回代原u(l nu1) y另有特解满足In u -1 = 0 ,变量有，In x = Cy 1，或x二yeCy 1，这里C = 0的任意常数. y即x =ey，这只须在通解表达式中允许C =0即可，故通解为x = yeCy 1，这里C是任意常数.10.dydx二 ex_y解 分离变量，得到eydy =exdx，积分得ey =ex C ,这里C是任意

6、常数.作适当的变量变换求解下列方程(11 17)11. d = (x y)2.dx解设u=x，y，则空=1史，原方程化为生=u2 1 = arctan = x C，即 dx dxdx通解为 a r c t axn (y)二x C，这里C是任意常数.12.dy 1dx " (x y)2dx2晶"八由上题，注意到这里的x和y相当于上题的y和x，得到方程的通解为ar ct exn (y y C，这里C是任意常数.13.业=归山dx x -2y 1x_y+1 =0K _2y +1 =0x =，得*y =，令就有dYdX=2X -，这是齐次X -2YY dY du方程，令 U汝，有，

7、代入方程后分离变量,1 -2u , dX 厂du二2(1 - u u ) X得到In(1u+u2)=_2InX+(，回代变量得x2 xy + y2+x y = C即为原方程的通14.dy x - y 5dx x - y - 2解，这里C是任意常数.解 令x_y = u，则1_史=竺,代入方程得 屯=一一7,分离变量并积分得，dx dxdx u - 2u2 -4u14x =C ,即x2 -2xy y2 10x 4y = C为方程的通解，这里C是任意常数.15.=(x 1)2(4y1)2 8xy 1 .dx解变形为dy =(x 4y 1)22，令x，4yT=u，则du =14dy，代入原方dxdx

8、dx-J . .Q程得 一 =4u2 9，分离变量解之得，arctan-u = 6x C，回代原变量并变形化简，得 dx3到通解 3t a r6x C 2(x 4y 1)，这里C是任意常数.16 虬 y62"522dx 2xy x y变形为先 J?，令"I，则原方程化为du _u2-u-6dx 一 2u 1解之得(u -3)7(u 2)3二Cx5，即(y3 -3x)7(y3 2x)3二Cx15为方程的通解，这里 C是任意常数.17.dy 2x3 3xy2 xdx 3x2y 2y3yd(y2) 2x2 +3y2 +1 令;X = x2 d(x2) _3x2 +2y2 _1 i

9、 y = y2，原方程变为dY 2X 3Y 1dX 3X 2Y -1 '2X +3Y +1 =0,X =1,由，得到丿设丿3X +2Y 1 =0Y = 1k.解变形为=X -1,uv 二Y 12u 3v3u 2v得到dudss v -, dvdv于是ds 3(1-s2) vdv 3s 2，解得(s 1)(s-1)5v6=C，逐步回代变量,得原方程的通解为(x2 * y2)(x2 - y2 -2)5 =C，这里C是任意常数.18.证明方程巴二f(xy)经变换xy =u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程: y dx(1)22y(1 x y )dx 二 xdy ；(2)x dy 2 x2

10、y2 y dx 2 _x2y2证明令xy = u，则得瞥詈，代入原方程得x=uf(u) 1是变量分离方程.(1)中 f (xy)=1 x2y2，所以xdU =u(u22)，分离变量求解得dx42 arctan= ln x4 (u2 + 2) + C ,V2即得原告方程的通解J2 arctan = ln x4(x2 y2 + 2) + C . J2(2)中 f (u)二2/，所以x，分离变量求解得2u1u3 = 4lnx C ,1即得原告方程的通解2xy -丄x3y3 =4In x C .319.试求函数f (x)的一般表达式.变形后等式两边对x求导，有x10fdt"帀，即 f(x)屮

11、，解f 2(x)得 f(X)二 _2(C)，由20.求具有性质x(t s)x(t) x(s)1 -x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在.因为x (0)存在，故x(t)在t = 0连续，即lim x(t) = x(0).x )0x(t) x(s)由x(ts)m就有x(t)，得到 x(0“0 .1 -x(t)x(0)x(t)+ x(s)_x(t) 2x(t s) -x(t)1 -x(t)x(s)1 x (t) x(s),ss1 - x(t)x(s) s令Sr 0取极限，由于右边的极限为1 x2(t)x (0)，故左边的极限存在，从而得到函数2x(t)满足的方程， x(t)二1 x (

12、t)x(0),解之得 arctanx(t)=x (0)t C ,或 x(t) =t anx(0)t C 由 x(0) =0 ,推出 C =k二，k Z，所以 x(t) =tanx (0)t k二, k Z 21 求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分.解 由习题1.2 9 (4),知曲线y = f (x)应满足的方程xy"十y = 0 ,即一=,dx x分离变量解之得，In y|=lnx+(，或xy=C为所求的曲线.22 在图(2.1)所示的R - C电路中，设E =10伏，R =100欧，C =0.01法，而开 始时电容C上没有电荷，问：(1) 当开关K合上

13、“1”后，经过多长时间电容C上的电压uC =5伏？(2) 当开关K合上“ 1”后，经过相当长的时间(如 1分钟后)开关K从“ 1”突然转至“ 2”，试求uC的变化规律，并问经过多长时间uC =5伏？Jt解 (1)由例 7, uC =E(1 -e RC )，将 E =10 , R = 100 , C = 0.01 代入，有Uc =10(1-e),由5=10(17，)，反解出t =ln 2 : 0.6931 (s)，即经过约0.6931秒，电容C上的电压 uC = 5 伏.丄u(2)同样由例7, uc =Ee RC，代入具体数值有Uc =10e ，由5=10e ，同样得到t=l n 2 : 0.6

14、931 (s)，即经过约0.6931秒，电容C上的电压uC = 5伏.环23. 求出习题1.2第9题(1)所确定的曲线，其中4. y + xa a兀 . y + x解由习题1.29 (1) , y =,代入a =得y =,这是齐次方程，x yaa4xy令 y=u ，贝y 业二口,代入得 xdu = 1, 解出 2arctan$ 二 ln(x2y2) C 即xdxdxdx 1-u2x为所求曲线.24. 证明满足习题1.2第9题(7)所给条件的曲线是抛物线族.1 2证明 由习题1.2 9 (7), y' = kx(k：0常数)，解之得y=kx2+C，这是抛物线2族，顶点在(0,C)，对称轴

15、为y轴.§ 2.2线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解：.dy1.y sin x .dx解首先，求齐次线性方程芸二y的通解，从 3二dx得到齐次方程通解 y= ce ,y1令 y = c(x)ex 为方程的解， 代入得 c"(x)=es inx,即 c(x) = - e(Sn x+csx)+ ,21故原方程的通解为 y = -(sin x cosx) ex，其中为任意常数.22.空 3x =e2t .dtdx解 由 3x = 0，解出x rce*，设x =c(t)e是原方程的解，代入原方程得,dtc(t) =e5t，故c(t)二1e5t，所以原方程的通解为ceJ3t

16、 -e21，其中为任意常55数.3.c(t)二虫-scost 1 sin 2t .dt2ds- t- t由scost ,解得s二ce"5”，设s二c(t)e亠 是原方程的解，代入原方程得，dt1 esint sin 2t，得 c(t) = esint(si n t -1) ，所以通解为 x = e'nt si nt -1，其2中为任意常数.4. 史-° y =, n为常数.dx x解 由dy - n y =0，解得y =cxn，设y = c(x)xn是原方程的解，代入原方程得，dx xc (x)二ex，即c(x)二ex ，所以通解为y = (ex )xn，这里为任意

17、常数.5.史护y-1=0 . dxx21 1解 由1y =0，解得y =cx2ex，设y =c(x)x2ex是原方程的解，代入原dx x方程得,1c (x)2ex"xc(x)= e x ,所以通解、二x x2ex，这里为任意常数.6.dydx丄 3y2xy原方程即dx3-，这是nydz 3z 3x ,解这个一阶线性方程得通解为dx x这里c为任意常数.3=-2的Bernoulli方程，令z = y ,就有，333z = x (3ln x + c)，即 y = x (3ln x + c),7.解屯=空(x 1)3.dx x 1由dy = 2y，得y二c(x，1)2，令y二c(x)(x，

18、1)2为原方程的解，代入原方程dx x 111得，c(xx 1 ,即 c(x) (x 1)2 c ,所以原方程通解为 y (X T)4 c(x 1)2,22其中为任意常数.dy _ ydx x y3dx 1_dx解 变形为x y2，把x看作未知函数，y看作自变量，对于 y及 来说，dy ydy这是一个线性方程.dx 1先解对应的齐线性方程x，得X = cy，其次把c看作c(y)，即设x =c(y) y为dy y变形后方程的解，代入变形后的方程得2二y，得到c(y- y2 ，从而原方程的dy2通解为x = 1 y3 cy，其中为任意常数.2dy ay x 19.dx x x解 先解翌=翌，得y二

19、cxa，设y二c(x)xa为原方程的解，代入原方程得，dx x(产-_丄1a =1 ,所以原方程通解为x 1+cx1 -a a =« xln x 1CX其中为任意常数.x +11c(xr，即 c(x) =<ln X +xx In x 10.即 c( X)11.dyx ydx先解xdy dxx44理dxcy，得y ，设y二x，所以原方程通解为 yxy = x3 y3.c(x)为原方程的解,x1X4代入原方程得，c(x) = x3 ,3 c，这里为任意常数.x-J 这是n =： 3的Bernoulli方程，令z二y 代入有 一 =2xz - 2x3，解这个一阶线性dx222这里c为

20、任意方程得通解为z = cexx 1，即y2 (x2 1 cex ) = 1为原方程的通解,常数.另有特解y =0.12. (y In x - 2)ydx 二 xdy .解 变形为鱼二y2 - -y，这是n = 2的Bernoulli方程，令z = y'代入有dx x xdz 2 ln xzdx x x1 1 2 1 1 2解这个一阶线性方程得通解为z ln x cx ,即y( In x ex ) = 1为原方424程的通解，这里c为任意常数另有特解y = 0 .213. 2xydy = (2yx)dx.解变形为2 M 丫吒，这是n的Bern0Ulli方程，令z V代入有3z-1 ,d

21、x x解这个一阶线性方程得通解为z = x cx2，即y2 = x ex2，这里c为任意常数.dy ey +3x14 .2.dx xydu y dy dydu 312解设ey =u，则 ey u ',代入原方程得2 u2，这是n=2dx dx dxdx x x的Bernoulli方程，令z = u J代入有 竺=z -厶，解这个关于z的一阶线性方程得通 dx x x1 解为z亍，回代原变量得原方程的通解(c-x2)ey =2x3，其中e为任意常数.15.dydx2x x1'33 - xy x ydxdx解 变形为yx y3x3，把x看作未知函数，y看作自变量，对于 y及 来说，

22、dydydu这是一个n =3的Bernoulli方程.令u=x ，有2yu-2y3，解这个一阶线性方程dy22得通解为u二ce* -y2 1,即得原方程的通解 X，二ce* - y2 1,这里c为任意常数.x16. y =ex°y(t)dt.解 两边求导得一阶线性方程矽=y ex,解之得通解y = (x c)ex,从原方程知道dx有初始条件y 乂由=1，代入通解表达式中得 c = 1，故原积分方程的解为y = (x 1)ex.17. 设函数：(t)于-：:：t ： :上连续，：(0)存在且满足关系式：(t - S) hf (t) (S),试求此函数.解由于 H(t)= E(s (t，

23、且(0)存在，故在该SSS式中令 S > 0取极限就有，(t) =(t)(0)，解得(t)二 ce'：(0)t .若:(t)三0,则是解；若;:(t)不恒为零，则由，(t)二(t 0 (t) (0)得(0) = 1 , 由此得C =1，所以(t)二e，0)t.18.如图所示的R-L电路，试求：(1)当开关K1合上10秒后，电感L上的电流；（2） Ki合上10秒后再将K2合上，求K2合上20秒后，电感L上的电流.解 （1）由 Kirchhoff 第二定律得，R1IL E，把 R, =10, L=2 , E = 50 代dt1入得到微分方程 虫51=25，初始条件t =0时，1=0

24、解之得I=5_5e3，当t =10 dt时，I =5 -5e“约为5安培.（2）由Kirchhoff第二定律得,RI LdldtR R2Ri R210 2010 2020L = 2 , E二50代入得 生 10 I =25 ,初始条件t = 0时，I =5 解之得 dt 3I(3-e10t当t =20时，2005I(3 - e 3 )约为7.5安培.219试求图示的R-L电路电感上电流I（t）的变化规律，并解释其物理意义，设t=0时,I -0 t=0由Kirchhoff第二定律得，RI二0，求出其通解为2 由初始条件得，_RtI 二 ce LLEdtUm.R2 L2 2Um牛sint，初始条件

25、sin( t-)，其中tan，,Rsin，所以,Umsin(，t - ) _Rtsin :e L .R2 L2 2其物理意义是：当t增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用.而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）稳定电流是一个周期函数， 其周期与电动势的周期相同，而相角相差-20.试证：（1） 一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解;（2）若y =y（x）是（2.3）的非零解，而y = （x）是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为y=cy（x） + （x），其中c为任意常数；（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任

26、两解之和（或差）仍是（2.3）的解.证明 （1 ）设 y = % （x）, y = y2（x）是方程（2.28）dy P(x)y Q(x) dx二 P(x)yi Q(x) , * 2 = P(x)y2 Q(x)，由此得到dxdy22 <P(x)yi Q(x) -P(xM Q(x)=P(x)(yy2),的任意两个解，即一也dxd(yi -y2) dyidxdx dx所以y = yi(x) y2(x)是齐线性方程(2.3)：= P(x)y之解.dx(2)由于 y = y(x)是(2.3)的非零解，故 dy(x)二 p(x)y(x)，而 y = (x)是(2.28) dx的解，即凶二P(x)(

27、x) Q(x)，所以dx忙河 乂警警二 cP(x)y(x) P(x)(x) Q(x)dxdx dx=P(x)cy(x) (x) Q(x)，所以y =cy(x) (x)是(2.28)的解，其中含有一个任意常数c，故是方程(2.28)的通解，其中c为任意常数.dyi(x)dx= P(x)yi(x),dy2(x)dx= P(x)y2(x),(3)设y = yi(x) , y = y2 (x)都是方程(2.3)的解，即因此有d(k%( x)dxdyi(x)dx二 kP(x)y'x) =P(x)k%(x),d yjx) 士 y2(x)dy1 (x) dy2(x)1同样先解对应的齐次方程v = y

28、，得到y x，设原方程的解为 y =c(x). x ,2x1t_代入原方程得c (x)，即c(x) = _.、x c，故所求曲线方程为 y = _x c、x，其2jx中c为任意常数.22.求解下列方程：(1) (x2 -1)y -xy 仁 0 ；(2) x(x2 -1)y - (2x2 -1)y x = 0 ；(3) y sin xcosx - y -sin3 x = 0 .解 (1)先解(x2 1)y" = xy，得 y = c、： x2 -1，设方程的解为 y = c(x).'|x2 -1 ,3i代入方程得 c"(x) = _x2 _1 2 sgn(x2 _1)

29、 ,推出y(x) = x +cp|x2 -1为原方程的通解(需分x 1, x ： -1及x ：1三种情形分别求解后再统一)，这里c为任意常数.(2 )先解x(x2 _1)y' = (2x21)y ,得到y = cxfx21 ,设原方程的解为y=c(x)xx2 -1 ,代入原方程得c(x)二即 c(x)二c,所以原方程的通解为 y=x+cxx2 -1，这里c为任意常数.(3)先解y sin xcosx - y = 0 ,得到y = ctan x,设原方程的通解为 y = c(x)tan x , 代入原方程得c (x) =sin x ,即c(x) = cos x c,所以通解y - -si

30、n x ctanx ,这里c为任意常数.即所给方程是恰当方程.2 xyy )=0，得原方程的，即所给方程是恰当方程.x-x32y2) = 0，得原方程的§ 2.3恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解:21. (x y)dx (x-2y)dy=0.证明 M=x2 y,N=x-2y，所以, cyex21 3改写方程为 x dx (ydx xdy)2ydy = 0，即 d x132解为 x xy - y =c，其中c为任意常数.322. (y -3x )dx -(4y - x)dy 二 0.证明 M 二 y -3x2 , N - -(4y - x)，所以 =1

31、 =改写方程为(ydx xdy)3x2dx -4ydy = 0，即 d(xy解为xy-x3 - 2y2 =c，其中c为任意常数.2 2r y1丄1x 3. 2 一一吨2】dy =0.(x-y) x y (x-y)证明 My(x-y)2x2丄，nJ-亠，所以巴x y (x-y)鋼启厂弓，即所给方程是恰当方程.改写方程为y2dx_x2dy dx dy 0(X - y) x y凑为(x -y)d(xy) -xyd(x- y)dx _ dy = 0y ，(x-y)2即ddx yIn-In y) = 0，得原方程的通解为x In x - In y = c，其中c为任意 x 一 y常数.4. 2(3xy

32、2 2 2x解 改写方程为(2xex dx y ex dy) - 2xdx = 0 ,即 d(yex)dx 3(2x2y y2)dy = 0.证明M =2(3xy2 2 x3) , N =3(2 x2y y2)，所以=12xy = N，即所给方 cyex程是恰当方程.改写方程为 6xy(ydx xdy) 4x3dx 3y2dy = 0，即 d(3x2y2 x4 y3) = 0 ,得原方程的解为3x2y2 x4 yc，其中c为任意常数.-y1 . x5. (sin y证明由于Mcos- x冬osx x1 . xsiny y1y1)dx (-cosxx4cosyx x1. x xsin 3 y y

33、 yxxsin yyiN cosxx cosy12)dy =0 .y sinZx y y丄,所以,y=，即所给方程是恰当方程.:x改写方程为ydx - xdy .sin-型严 cosy dx 2dy = 0,y xxy即 d (sin xx -cosy-cos X - x )=0，得原方程的解为siny 二 c,其中 c y y为任意常数.求下列方程的解:2 2-x2) = 0，所以得到原6. 2x(yex -1)dx ex dy =0.x22方程的通解yex -x= c，这里c为任意常数.7. (ex 3y2)dx 2xydy=0 解由于 M = ex 3y2 , N = 2xy，故= 6y

34、 ,=2y cyex；:MjN Ox2因为 y -只与x有关，所以方程有只与 x有关的积分因子Nxxdx2ln|x2J = e x =ex ,2以=x乘方程两边得，x2exdx 3x2y2dx 2x3ydy = 0，即 d(x3y2) x2d(ex) = 0,故得原方程的通解为x3y2 - (x2 -2x 2)ex = c，这里c为任意常数.2& 2xydx (x 1)dy = 0.解 改写为(2xydx x2dy) d0，凑微分得(yd(x2) x2dy) d0,得原方程的通解x2y y = c，其中c为任意常数.2 29. ydx -xdy =(x y )dx .解 以x2y2除方

35、程两边，有-一2" = dx，即d(arctan )二dx ,得到原方程x +yyx的通解为arctanx c，这里c为任意常数.y310. ydx _(x y )dy =0 .解 改写为 ydx - xdy = y3dy，得 ydx 2xd ydy，即 d()y2)，所以得到yy 2原方程的通解=-y2 c，或x =丄y3 cy，其中c为任意常数. y 2211. (y T -xy)dx xdy 二 0 .:M :NcMcNcyex解 由M = y-1-xy,N=x，得1 -x,1，由于1与y无dyexN关，故方程有只与 x有关的积分因子-e-(J)de，以乘方程两边有,e(y_

36、xy)dx exdy =0,分组得，e(ydx xdy) -xyedx - e*dx = 0，凑微分得 d(xy De二 0，即得方_x程的通解为xy 1二ce，这里c为任意常数.212. (yx )dxxdy 二 0 .；:M ；:N2 MNy x 2 n解 由M二y - x2 , N - -x，得 1 ,1 ,由于只与x有tydxNx关，故方程有积分因子11以冷乘方程两边并组合变形有,xydx - xdy dxdx ,x即d(-Y)二dx，得到方程的通解为x-y=x-c，或y = x(c-x)，这里c为任意常数.x13. (x 2y)dx xdy = 0 .解 改写为xdx - 2 ydx

37、 xdy = 0，显然有积分因子 x，故以"二x乘方程两边有，13213x dx yd(x ) x dy = 0，即 d( x ) d(x y) = 0,得到通解 x x y = c,其中 c3 3为任意常数.14. xcos(x y) sin(x y)dx xcos(x y)dy = 0.解 改写为 xcos(x y)(dx - dy) sin(x y)dx = 0 ,即 xd(sin(x y) sin(x y)dx = 0，或 dxsin(x y) = 0 ,所以原方程的通解为 xsin(x y)二c，其中c为任意常数.15. (y cosxxsin x)dx (ysin x x

38、cosx)dy 二 0 .cN 解 M=yco% xsinx,N=ysinx xcos:，贝Uyaosx cosx-xsi nx ,ex:M : N= cosx ,由于一x = 1与x无关，故方程有积分因子 "二e dy = ey，以ey乘方 -:y-M程两边并分项组合有，(ey cosxdx - xey sinxdx xcosx eydy) ey(y - 1)cosxdx yey sinxdy = 0, 或写为ey(cosxdx xd(cosx) xcosxd(ey) ey(y1)d(sinx) ysin xd(ey)二 0,即 d(xcosxey) (y1)eyd(sinx) s

39、inxd(ey) eysin xdy = 0 ,也即d(xcosxey) (y -1)d(ey sinx) ey sin xd(y -1)=0 ,故 d(xcosxey (y-1)eysi nx)=0，得到方程的通解为 xcosx (y-1)si nxey=c, 这里c为任意常数.316. x(4ydx 2xdy) y (3ydx 5xdy) = 0.2432解 改写方程为 4xydx 2x dy 3y dx 5xy dy = 0，可看出=x y是一个积分 因子，用它乘方程两边有 4x3y2dx 2x4ydy 3x2y5dx 5x3y4dy = 0，分项组合就有， d(x4y2)，d(x3y5

40、) =0，故方程的通解为x4y2 x3y c，其中c为任意常数.17.试导出方程 M(x,y)dx N(x,y)dy =0分别具有形为 -(x - y)和丄(xy)的积分因子的充要条件.解 设J(x y)是M (x, y)dx - N(x, y)dy二0的积分因子二 J(x y)M (x, y)dx： ：(x y)N(x, y)dy =0是恰当方程：M)屮N)"iF=.:y;xd(x y)d(x y)八M ;:NX lz 、()(x y):-y M -N(.一 .)x + y)=-'x应为 x - y 的函数 f (x - y).M N又设J(xy)是M (x, y)dx N

41、(x, y)dy =0的积分因子= (xy)M (x, y)dx(xy)N(x, y)dy =0 是恰当方程；：() _ ；(N)_yxd 叫xy)d(xy).:y；:xyN -xM(JMyN -xM八(xy)18.设f(x, y)及 连续，试证方程dy - f(x, y)dx =0为线性方程的充要条件是它 有仅依赖于x的积分分子.证明 “=”即例4.”若方程dy - f(x, y)dx =0有反依赖于x的积分因子，贝UM;Nf/ 、()p(x)：y:x:y仅与x有关，所以f (x, y)Ldy 二 p(x)dy 二 p(x)y Q(x)，其中 Q(x)是 x 的任意连续函数.从而方程为 dy

42、 - p(x)y - Q(x)dx = 0，即 史=p(x)y - Q(x)是线性方程. dx19 .试证齐次方程M (x, y)dx - N(x, y)dy =0当xM yN = 0时有积分因子xM yN证明 将方程两端同乘以 丄，得 dx dy = 0 , 即卩g (乂)dx dy =0N Nx设 u = y，则 y = ux，从而 g(u)dx udx xdu = 0 ,或g(u) udx xdu = 0，这 x是可分离变量方程，取积分因子1 1，则有 dlnxrgUFUdu=0,得到通解为In x +1g(u) u其中c为任意常数.积分因子为1_ 1N xg(u) uMxNyx1xM

43、yN通解可写为In x + Nd(y)二c , c为任意常数.xM yN x20.设函数f(u), g(u)连续、可微且f(u)g(u)，试证方程yf(xy)dx xg(xy)dy 二 0有积分因子=(xy f (xy) - g(xy) J .证明以(xyf(xy)-g(xy)乘以方程两边，有 yf (xy)dx xg(xy)dy = °，或 xy f (xy) g(xy)f(xy)(ydx xdy)丸,即 d(xy f(xy) -g(xy) yuf(u)-g(u)f(u)du - ln y) = 0 (u = xy),因而方程1yf (xy)dx xg(xy)dy = 0 有积分因

44、子' - (xy f (xy) - g(xy).21 .假设方程(2.43)中的函数 M(x, y), N (x, y)满足关系刑：N =Nf(x)Mf (y) :y ；x其中f (x), g(y)分别为x和y的连续函数，试证方程(2.43)有积分因子J 二exp( f (x)dx g(y)dy).-R力-R力证明因为(M)二M = Mlg(y),.:yy ；:yy(N)二 NN = Nf (x,:x: X : X: xFRjjcR/ljKI所以一(JM) (N)=叫 Mg(y) -Nf (x)氾-=0 ,:y;x:y; xaa即：(M )二(N)，从而方程MdxNdy =0是恰当方程

45、，故方程(2.43)有积分.y:x因子"二 exp( f(x)dx 亠 I g(y)dy).22.求出Bernoulli方程的积分因子.解 Bernoulli 方程为 dy = P(x)y Q(x)yndx令y1対=u，化为关于u, du的一阶线性方程 史dxdx(n - 0,1)，以(1 - n)y*乘方程两边，并1 -u=(1 - n)P(x)u (1 - n)Q(x),后者有积分因子 e-(1-n)P(x)dx，从而 Bernoulli 方程的积分因子.(1 J)P(x)dxyn23 设 叫x, y)是方程(2.43)的积分因子，从而求得可微函数U (x, y),使得dU =：

46、=(Md xNdy 试证(x, y)也是方程(2.43 )的积分因子的充要条件是(x,y)(U)，其中:(t)是t的可微函数.证明“.二”若(x, y)是方程(2.43)的积分因子，且 dU - ' (Mdx - Ndy)，则0 二 (Mdx Ndy)二叫Mdx Ndy) (U ) = (U )dU = d( (U)dU )，所以.(U )dU二C为(2.43)的通解，故(X,y) - ' (U)亦是方程(2.43)的积分因子， 其中(t)是t的可微函数.:V: V“二”设2Mdx /Ndy =dV，贝U2M，2N excy：V；:UI I" I A”由dU =Mdx

47、Ndy，则 =M , U，得到仝二兰 x，所以,xy:V N:-y:yV:V:x:y -o，因而存在函数门，使得v二“(U)，由此得-U : U:x旳dV =W(U)dU =2(U)(MdxNdy)-叮(U )(Mdx Ndy)=j2(M dx Ndy,得到'叱(U) = tF：(U) 24设"i(x, y), J(x, y)是方程(2.43)的两个积分因子，且 1 *2不恒为常数，求 证U，, =C (任意常数)是方程(2.43)的通解.证明 由于7 , J2是方程(2.43)的两个积分因子，由上题结论1二，2(U)，其中dU = J2(Mdx Ndy),这里：(t)是t的

48、可微函数.由于 亠.2二(U)不恒为常数，故有(U )不恒为零，由此在(U ) = c两边微分得:(U尸2 (Mdx Ndy)二0 ,因此得到,2(Mdx Ndy) = 0 ,所以(U ) = c是方程(2.43)的解，又(UH c中含有一个任意常数，故(U )二c即叫.2二C (任意常数)是方程(2.43)的通解.25 .假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为xM (x, v) yN(x, y) = c ( c为任意常数).xM yN就知道它的证明 由于方程是恰当的，故叫=1即是一个积分因子，而由第19题2 也是积分因子，且 叫.二xM yN不恒为常数，所以由第 24题所证结论

49、, 通解为xM (x, y) yN(x, y c，c为任意常数.2.4一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程:1.xy 3= 1 y .1 + V "解出x，设v方程为x 厂，两边对V求导，有P-(2Z)亚43dV3即 dy = -(3P-22)dp，所以 p =2P亠2p2-c，因此得原方程的通解为c 32. VX1312P P厂六2 c2p P3(1-y) =0.p为参数)，c为任意常数.* -2t)dt,解 设 1 - y =t，则 y =1-t,x=f-t2 .由 dy = y dx = (1-t 3)(-t22t5 c ,从而通解为53.h2 yy = y ey1x =ty£t-t2，（t为参数），c为任意常数.c设y = p，则原方程为y = p2ep，两边对 x求导有，p = (2 p)pep-dp，即dxdx =(2 - p)epdp，解得 x =(p)ep - c,所以通解为02 p）ep（ p为参数），c为任意常数.y = P ep4.y(i y.2)=2a ( a为常数).解出y2a1 y 2，二p，则原方程为y2a7，两边对x求导有,1 + pp 2p色,(1 + p )dx或dx二4a(1 p2)2dp，解得x = - 2ap