平面法向量的求解及应用

1、图i设平面GEF的法向量为T ?n GE 二 0 ITn * FE = 01 1门；y _；z = o,2 211门x_ y=0,2 2y = z，令 y = 1,则z = 1,x = 1.= y,例谈平面法向量的求解方法及应用郭兴甫云南会泽一中邮编：654200平面法向量是空间向量中的一个重要内容， 是解决立体几何问题的强有力工 具，对解决线面平行，面面平行，二面角的大小，点面距离，线面角等问题具有 公式化，程序化的作用，本文举例说明怎样求一个平面的法向量及其法向量在解 决相关问题的应用，以期对同学们的学习有所帮助！一、平面法向量的求解方法例1在正方体ABCD - ABiGD,中，棱长为a,

2、G、E、F分别为AAAB、BC的中点，求平面GEF的法向量.解：如图1所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 D xyz，则 E(a,-,0)1 F(a,a,0), 2 2G°自，由此得ge2送)，以导专0)n =(x,y,z).则由 n _ GE, n _ FE 可得故平面GEF的一个法向量为 n二(1,1,1).评注：由上例可看出，在求平面:的法向量时，应建立空间直角坐标系，求 平面内两个不共线的向量的坐标，并设平面的一个法向量为n = (x, y,z). 由法向量的定义可知法向量必需与:内的向量垂直，进而得两个关于x,y,z的 三元一次方程令其中一个未知数为 1,进而可得另两个

3、未知数，即得平面的法 向量n .二、平面法向量的应用1. 证明两平面平行例2如图2，已知正方体 ABCD A1B1C1D1中E、F、G、H、M、N分别是正方体六个面的中心，证明平面EFG/平面HMN图2证明：建立如图2所示的空间直角坐 标系D -xyz,设正方体的棱长为2，易得：EF =(01,1),EG= (1,0,1), HM = (0,1,1),HN = (1,0,1).设 n1= (X1,y1,Z1),n 2=(xMy 2,z 2)分别是平面 efg，平面 hmn:DH,DA =60, DADH cos :： DA,DH 可得2m = . 2m21 解之令Z1的法向量，贝S由所以平面E

4、FG的一个法向量小=（一1,1,1） 同理由门2 _ HM ,n2 - HN可得平面HMN的法向量（-1,1,1） .n； = n2,即 n： n?即平面EFG/平面HMN评注：证明两个平面平行可由以下方法去证明：（1）转化为相应的线线平行或线 面平行，（2）求出两个平面的法向量，然后证明这两个平面的法向量平行而获证 这种方法过程虽复杂，但思路清晰，是解决立体几何问题常用方法2. 求直线与平面所成的角例3如图3,已知点P在正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，/ PDA=60°（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。 解：（1）略（

5、2）建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz,记 AB=1,则 A(1,0,0),C (0,1,0).连接BD,BQ1,延长DP交D1B1于H ,设DH、（m,m,1）,由已知得eJ 2、 寸 2 *''2得 m = 2,故 DH =( 2, 2,1)2 2 2又易知DC =(0,1,0)为平面AA1D1D的一个法向量，设DP与面AA1D1D所成贝U sin 日=cos c DH , DC>故直线DP与面AAiDi D所成的角为30评注：如图4所示若直线AB是平面的一条斜线，n是 平面的一个法向量，直线AB与平面的夹角为二，则sin B = cos v AB , n a

6、=AB * n应用该公式可把求直线与平面所成AB n角的问题转化为求直线与平面法向量所成角的问题。3.求二面角的大小例4.如图5,四棱锥A BCDE中，底面BCDE为矩形侧面ABC丄底面BCDE,BC=2,CD= 2,若 AB=AC=BC,求二面角 C-AD-E的余弦值.解：由于已知侧面 ABC与底面BCDE垂直, 且BCDE为矩形。因为三角形 ABC为等边 三角形，取BC的中点为0,则有AO丄BC, 取DE的中点为M,射线OC,OM,OA分别为 x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，因BC=2,CD= , 2 ,所以得到A(0,0,.3),D(1, 20),C(1,0

7、,0),E(-1, -2,0)、r (-'r 、 则 AD =(1,、2,3),CD =(0,、2,0), DE =(-2,0,0)设n = (x, y, z)为平面ACD的一个法向量，则J 、n AD 二 0 = |T、n *CD =0x+(2y-J3z=00 2 y = 0f ,?t- y =0,令z =1,则x =、3,可得 n =3,0,1)t 、rl厂又设m=(x,y,z)为平面ADE的一个法向量，则mAD=Ox + J2y %3z=0|T 0 2x = 0DE = 0 L.x =0.令 2、则y 二.3,可得 m =（0,、.3八2）所以cos,303021010设二面角C-AD-E的大小为v,观察图形可知v为钝角,T T-cos ： m ,n