用圆锥曲线定义求曲线方程

1、用圆锥曲线定义求曲线方程圆锥曲线的定义尽管简单，但很重要，是推导标准方程和研究几何性质的基础和根源。圆锥曲线这一部分是高考考试的重点内容，其中对定义考查的试题又层出不穷，高考常常涉及，2008高考试题中有七套考察了定义。回归定义和有意识利用定义是高三学生需要加强的一个意识。把握圆锥曲线的定义从两个方面入手即可：定义表达式和限制条件。现归纳对比如下表：圆锥曲线定义表达式限制条件椭圆+=2a<2a双曲线-=+2a>2a抛物线=dP不在定直线L上圆锥曲线的应用主要有三个方面：1 .求曲线的轨迹，即定义法。2 .涉及椭圆和双曲线上的点和两个焦点的“焦点三角形”问题，常利用定义表达式结合余弦

2、定理解决。3 .研究曲线上的点和定点间距离的最值问题（和抛物线的焦点弦问题）。现只对利用定义求曲线方程这部分试题总结如下:、与向量法有关的圆锥曲线定义试题例1已知=(c,o)(c>0),=(n,n)(nR),|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件；|=(a>c>0)(其中动点P的轨迹C经过点B(0,-1)I求c的值；H求曲线C的方程；川是否存在方向向量为a=(1,k)(k)的直线I,使I与曲线C交于不同的点N、M且？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题的三个条件中的实质是用向量法给出了圆锥曲线的定义。因为F为一定点，(其中实质说明E点在定直线x=,

3、且PE平行于x轴，即垂直于直线x=；|=结合说明了动点P到定点F和到定直线x=的距离之比为定值。又根据a>c>0可知P点的轨迹为椭圆。解：I由可知P点轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，故可设方程为又由=(c,o)(c>0),=(n,n)(nR),|的最小值为1可知点F到直线y=x的距离为1,可求得c=口又点B(0,-1)在椭圆上可得b2=1,a2=3所以曲线方程为川假设存在方向向量a0=(1,k)(kz0)的直线I满足条件，则可设上y=kx+m(kXO)，与椭圆联立，消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0由判别式公>0,可得m2V3k2+1,(1)设M

4、(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(xO,yO),由|BM|=|BN|,则有BP±MNo由韦达定理代入kBP=-可得m=,(2)联立(1)(2),可得，k2-1<0kz0,A-1<k<0或0<k<1即存在k(-1,0)(0,1),使L与曲线C交于两个不同的点M、N,且说明：实质上，本题给出了圆锥曲线用向量法定义的统一定义，我们只需把条件a与c的大小关系改变一下即可。若00即为抛物线。二、与三角形有关的圆锥曲线定义试题例：已知B、C是两个定点，|BC|=6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴，

5、建立坐标系，由题意知|AB|+|AC|+|BC|=16又|BC|=6A|AB|+|AC|=10>6由椭圆的定义知：A的轨迹为以B、C为焦点椭圆aa=5,c=3A方程为+。又当A在BC上时不能构成三角形，Ay工0.故A的方程为+(yz0)变式：在三角形么ABC中,A、B、C所对三边分别为a、b、c,且B(-1,0),C(1,0),求满足b>a>c,b,a,c成等差数列时，顶点A的曲线方程，并画出方程的图形。解：b,a,c成等差数列,b+c=2a=4,即|AB|+|AC|=4动点A(x,y)符合椭圆的定义，且椭圆方程中的a=2,c=1a=2,b=A点的轨迹方程+(x<0且y

6、z1)三、与圆有关的圆锥曲线定义试题例：一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切，圆02：(x-3)2+y2=81内切，试求这动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，故可以设出动圆的圆心和半径，利用两圆相切的关系，找到动圆圆心满足的条件。解：设动圆圆心为M仪,y)半径分别为R,则由题设得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10o由椭圆定义可知M在以01、02为焦点的椭圆上。且a=5,c=3,.b2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为+O变式：一动圆与已知圆01：(x+3)2+y2=1和圆02：(x-3)2+y2=9同时相切，试求

7、这个动圆圆心的轨迹方程。解：设动圆圆心为M(x,y)半径分别为R,当动圆与圆01、02同时相外切时则由题设有|M01|=1+R,|MO2|=3+R |M02|-|M01|=2o当动圆与圆01、02同时相内切时则由题设有|M01|=R-1,|M02|=R-3 |M02|-|M01|=-2o由可得|M02|-|M01|=2<6。由双曲线定义可知M在以01、02为焦点的双曲线的上。且a=1,c=3,Fb2=9-1=8故此时动圆圆心的轨迹方程为X2-当动圆与圆01相内切，与圆02相外切时则由题设有|M01|=R-1,|M02|=3+R |M02|-|M01|=4o当动圆与圆01相外切，与02相内

8、切时则由题设有|M01|=R+1,|M02|=R-3 |M02|-|M01|=-4o由可得|M02|-|M01|=4<6o由双曲线定义可知M在以01、02为焦点的双曲线的上。且a=2,c=3,F.b2=9-4=5故此时动圆圆心的轨迹方程为-O例：动圆与定圆x2+y2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A(0,2),求动圆圆心P的轨迹。解：定圆x2+(y+2)2=36,圆心的坐标为B(0,-2),半径r=6设动圆圆心坐标为P(x,y),动圆半径为|PA|,由于动圆与定圆相内切，所以|PA|+|PB|=6因此动圆圆心P到两定点A(0,2)、(0,-2)的距离之和等于定长6,所以点P的轨迹

9、是以A、B为焦点的椭圆，并且有a=3,c=2所以b2=5所以，所求的动圆圆心P的轨迹方程为+=1变式：已知动圆与定圆(x+c)2+y2=4a2相切且过定点A(c,0),(a>0,c>0且ac),求动圆圆心P的轨迹，并讨论方程表示曲线的形状。解：设动圆圆心坐标为P(x,y),动圆半径为R,B(-c,0)以由于动圆与定圆相切且过定点A(c,0),当动圆与定圆相外切是时，|PB|-|PA|=2a当a>c时无轨迹。当avc时，为双曲线右支-(x>a)当相内切时，(?)当R>2a时,|PB|-|PA|=-2a,当a>c时无轨迹。当avc时，为双曲线左支-(xwa)(?

10、)当Rv2a时，|PB|+|PA|=2a当a>c时，为椭圆+当a<c时无轨迹。四、既与圆又与三角形有关的圆锥曲线定义试题例：已知线段|AB|=4,动圆0'与线段AB切于点C,且|AC|-|BC|=2,过点A、B分别作O0'的切线，两切线相交于P,且P、0,均在AB的两侧。建立适当的坐标系，当0'位置变化时，求动点P的轨迹E的方程；过点B作直线I交曲线E于点M,N,求AMN面积的最小值。解:以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y),PAPB分别切O0'于E、F则|PE|=|PF|,|AE|=|AC|,|

11、BC|=|BF|,又|AC|-|BC|=|PA|-|BP|=2>0故点P的轨迹E为以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线右(除去与x轴交点)，由题意知，a=,c=2则故P点轨迹E的方程为设直线I的方程为：y?cote=x-2,9,联立方程组设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=|y1-y2|=SAAMN=|AB|?|y1-y2|=又B则sin0而函数y=2x-在(0,+8)上单调递故当sin0=1时，即0=时，SAAMN取得最小值，最小值为4o五、与立体几何相关的圆锥曲线定义试题例:已知P为四面体SABC的侧面SBC内的一点，动点P至I)底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的A.线段或圆的一部分B.椭圆或双曲线的一部分了C双曲线或抛物线的一部分D.椭圆或抛物线的一部分解:如图，过点P作PH面ABC于