用洛必达定理来解决高考压轴题

1、用洛必达定理来解决高考压轴题一.洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)limf(x)=0及limg(x)=0；xax>a可导且g'(x)w0;limf-=,x)agx那么imUx)=imJUxJ=oxagxxagx法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)=0及limg(x)=0；xL：x(2)三A>0,f(x)和g(x)在(*,A)与)上可导，且g'(x户0；limf-=l,x:gx那么lim3limUx_)=l。Xfgxxfgx法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)li

2、mf(x)=g及limg(x)=g；x>ax.a-(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)w0；(3)limf-=,x旧gx那么f)=im3。xagxxagx利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:将上面公式中的x-a,x-8换成x一+8,x-8,xta*,xta洛必达法则也成立。0二-洛必达法则可处理一，08,80二-二二00 一,08，1 ,od ,0,0°-00 型©在着手求极限以前，首先要检查是否满足00定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从

3、另外途径求极限。(4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理x,21 .(20XX年全国新课标理)设函数f(x)=e-1-x-ax。(1) 若a=0,求f(x)的单调区间；(2) 若当x之0时f(x)0Q,求a的取值范围原解：(1)a=0时，f(x)=ex1x,f'(x)=ex1.当xw(-ooQ)时，f'(x)<0；当xw(QF)时，f'(x)>0.故f(x)在(3,0)单调减少，在(0,依)单调增加(II)f'(x)=ex-1-2ax由(I)知ex>1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f'(x)>

4、x-2ax=(1-2a)x,1 _从而当12a20,即a<-时，f'(x)之0(x之0),而f(0)=0,2于是当x之0时，f(x)之0.xx1.由e>1+x(x=0)可得e>1x(x=0).从而当aa时，2f'(x)<ex1+2a(e，1)=e/(ex-1)(ex-2a),故当xw(0,ln2a)时，f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x-(0,ln2a)时,f(x)<0.一m1综合得a的取值范围为-8,一2原解在处理第(II)时较难想到，现利用洛必达法则处理如下:a,均在f (x)-0 ；xxeg (x) = -e-x2e x

5、2另解：(II)当x=0时，f(x)=0,对任意实数xx-1当x>0时，”*)之0等价于2q62xx人a_x_1令g(x)=e2(x>0),则xxx-xx-xh(x)=xe-2e+x+(x2则h0(x)=xe-e+1,h(x)=xe>0,知h'(x)在(0,收)上为增函数，h'(x)>h'(0)=0；知h(x)在(0,收)上为增函数,h(x)>h(0)=0；,g'(x>0,g(x)在(0,依让为增函数。xe一 lxm 万xxx-1由洛必达法则知，lime_=|im聂x0xxj0x一1故a三一2-Ef1)综上，知a的取值范围为|

6、_o0一I,2；2. (20XX 年全国新课标理)已知函数，曲线y = f (X)在点(1,f (1)处的切线方程为x + 2y 3 = 0。b的值;(n)如果当In x kx >0 ,且x#1时，f(x)> 求k的取值范围。x -1 x原解：(I) f '(X)=x 1：(-|nx) b(x 1)2"1) = 1,由于直线x+2y3 = 0的斜率为1且过点(1,1),故2f'(1)=-b =1,a_ -b2(n)由(I)知 f(x)=In x 17 1 ,所以x 1 xIn x k f(x)？1 -x22c(k-1)(x2-1)、(2ln x+A斗。x考

7、虑函数 h(x) = 2ln x、(k 1)(x 1) (x a 0),贝U h '(x)=x(k -1)(x2 1) 2x设 kE0,由 h'(x) =k(x2 1) - (x -1)2知，当x#1时，h'(x) <0, h (x)递减。而1当xw(1,+8)时，h(x)<0,可得2h(x)>01一x从而当x>0,且x#1时，f(x)-(-ln-x-+)>0,即f(x)>-ln-x-+kx-1xx-1x2_2-(ii)设0<k<l.由于(k1)(x+1)+2x=(k1)x+2x+k1的图像开口向下，且=4一4(k一1f&

8、gt;0,对称轴x=>1当x三(1,1)时，(k-1)(xh 1 =0，当 xW(0,1)时，h(x)<0,当 xW (1, +)时，h(x)>0二当 xW(0,1)时，g'(x)c0,当 乂三(1, +8)时，gx)> 0j.g(x旌(0,1)上为减函数，在(1户)上为增函数+1)+2x>0,1-k1-k.11故h(x)>0,而h(1)=0,故当xW(1,)时，h(x)>0,可得1-k1-(x)<0,与题设矛盾。(iii)设k21.此时x2十1之2x,(k-1)(x2+1)+2x>0h'(x)>0,而h(1)=0,1

9、故当xw(1,+笛)时，h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。1-x2综合得，k的取值范围为(-8,0原解在处理第(II)时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：(II)由题设可得，当x0,x#1时，k<2xlnj+1恒成立。1-x2xlnxx21Inx-x21令g(x)=2-+1(x>0,x=1),则g'(x)=22，1-x1-x22再令h(x)=(x2+1)Inxx2+1(x>0,x*1),贝Uh'(x=2xnx.1_h(x) = 2Inx+1易知 h(x)=2ln 升 12 在(0,)上为增函数，且 xxh"(1) =

10、0；故当 xw(0,1)时，h'x)<0,当 xw (1, +8)时，h”(x)A0；，h'(x )在(0,1 )上为减函数，在(1,)上为增函数；故h'(x)>h'(1 )=0二h(x而(0,抬)上为增函数-,xx）由洛必达法则知cxlnx（c1lnx（小1（八则gx=2则不1=2则FT1=2-2k<0,即k的取值范围为（-8，0规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。1.y=c(c为常数)y'=02.y=xAny'=nxA(n-1)3