72线性定常系统状态方程的解

1、给定线性定常系统非齐次状态方程为x(t) = Ax(t) + Bu(t)(6-4)其中，x(t) Î Rn, u(t) Î Rr, AÎ Rn´n, B Î Rn´r,且初始条.件为= x(0)x(t)t=0将上面方程（6-4）改写为x&(t) - Ax(t) = Bu(t)在上式两边左乘 e- At ，可得d e- Atdte-At x&(t) - Ax(t) =x(t) = e-At Bu(t)1线性系统状态方程的解n 将上式由0到t，得tòtt )dte- Atx(t) - x(0) =e- ABu(o

2、n 故可求出其解为tòA(t -t )t )dtx(t) = e At x(0) +eBu(on 或tx(t) = F (t)x(0) + òF (t -t )Bu(t )dtoF(t) = eAtn 式中为系统的状态转移矩阵。(也见书7-18 式)2线性定常系统的状态转移矩阵当系统为线性定常系统时，A(t)为常数， 此时有：n性质nF(0) = I 且F(0) = AF(t) = AF(t) = F(t) AF(t)是非奇异的，且有F-1(t) = F(-t)(1)(2)(3)3F(t) = eAtA(tt0 )当t0 ¹ 0时，F(tt0 ) = e性质续F(

3、t1 + t2 ) = F(t1 )F(t2 ) = F(t2 )F(t1)x(t2 ) = F(t2 - t1 )x(t1)F(t2 - t1 )F(t1 - t0 ) = F(t2 - t0 )任意非奇异矩阵P，总有：exp(P-1APt ) = P-1 exp(At)P若A、B为可交换方阵，即AB = BA，则：exp(At) exp(Bt) = exp éë( A + B)tùû(4)(5)(6)(7)(8)4性质续éel1tùúúú00êel t0F(t)= ê2设A = d

4、iag l1, l2, ln ，则有：(9)ê0êúl têëúû00en(10)若A阵为m阶的约当阵，即：él1êêA = êêêêë 0tm-1el1t1010 ùúú0 úúéùl tl têete ú11l(m -1)!úúúê那么有F(t) = êêê1lel1t1tel1tel

5、1t1 úl úúêú1 ûm´mëû5eAt矩阵指数函数的计算方法一 直接计算法(矩阵指数函数)A2t 2A3t 3¥1+L = åA te= I + At +Atk k2!3!k!k =0可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。方法二 对角线标准形与Jordan标准形法eAt 可由下式给出若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么éel1têùú0el t= PeLt P -1 = PêúP -12e

6、 Atêêúúelnt úûOêë0式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。eAt类似地，若矩阵A可变换为Jordan标准形，则eAt = SeJt S -1可由下式确定出6矩阵指数函数的计算 例1é00ù1A = ê01 ú【例】 考虑如下矩阵A，0-3êúêë13úû| lI - A |= l3 - 3l2 + 3l -1 = (l -1)3 = 0【解】 该矩阵的特征方程为因此，矩阵A有三个相重特征值=1，

7、则矩阵A具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。从而，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵é0ùé10120ù101-2= ê-10ú为S = ê10ú, 矩阵S的逆为S -1êêëú1 úûêêë1ú1 úû101é1010ù é00ù é1则S -1AS = ê-10ú ê01 ú ê1

8、0êêëú êú êêë01 úû07矩阵指数函数的计算 例1é1t ùtt2êetet e2úêúúúúû= ê0e J tet0teteteAt = SeJt S -1则，从而可得ê0êëéet1 t2et ùtetet00ù êú é 1é101201-20ù2t

9、et et0ú ê 0ú ê-1ê10ú即ú êú êêêë1ú1 úû1 úû ê 0ú êë 1êúëtet - t2etû1 t2et21éetùúúúúú+ 1 t2et- tetê2ê 1= ê t2etet- tet - t2e

10、ttet +t2etê 22ê11ête +t e-3te - t ee + 2te +t eút2 tt2 ttt2 têëúû228eAt矩阵指数函数的计算方法三拉氏变换法= L-1(sI - A)-1e At为了求出 eAt，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。一般来说，当系统矩阵A的阶次较高时，可采用递推算法。9矩阵指数函数的计算 例2【例】 考虑如下矩阵,试用对角矩阵法和拉氏变换两种方法计算 eAt 。A = é01ùê0-2úëû【解】对角矩阵

11、法 由于A的特征值为0和-2（ l1 = 0, l2= -2 ），故可求得所需的变换矩阵P为P=é11ùê0-2úëû éelùú1t0êel t因此，由= PeLt P -1 = PêúP -12e Atêêêë0úúelnt úûùO可得é12ùé12ùê1ú1ùéeoúê(1 - e

12、-2t )é110ú = êúúúûe At= êúêê0-2ûë0ë0e-2t ûê0- 1 úe-2têëêë2 úû10矩阵指数函数的计算 例2拉氏变换法由于-1sI - A = és0ù - é0ù = ésù1ê0súê0-2úê0s + 2

13、0;ëûëûëû可得é11ùê ss(s + 2) ú(sI - A)= êúúúû-1checkê0 1s + 2êë因此éù1(1 - e2-2t= L-1(sI - A)-1 = ê1)úúúûeAtê0e-2têë11状态转移矩阵 例1és + 31ù1【例】 试求如下线性定常系统的状态(s

14、I - A)-1 =(s + 1)(s + 2) ê- 2súëû转移矩阵(t)和状态转移矩阵的s + 3éù1逆。éx&1 ùF-1(t)ê(s + 1)(s + 2)(s + 1)(s + 2) úé01ùéx1 ù= êú súú = êêúêúê- 2ê(s + 1)(s + 2)ë- 2-3ûëx2

15、ûëx&2 û(s + 1)(s + 2) úëû【解】对于该系统，因此 F(t) = e At = L-1(sI - A)-1A = é0ù1= é2e-tùúû- e-2t-t + 2e-2te-t - e-2têúë- 2-3ûêë-e-t-2t- 2e+ 2e其状态转移矩阵由下式确定F(t) = e At = L-1(sI - A)-1由于由于 F-1(t) = F(-t) ,故可求得状态转移矩阵的逆

16、为-1és0ùé01ùésùsI - A = ê0sú - ê- 2-3ú = ê2s + 3ú= é2e - eùúû12e - eë其逆矩阵为ûëûëût2tt2tF-1 (t) = e-Atê- 2e + 2e2t-et + 2et2të状态转移矩阵 例2【例】 求下列系统的时间响应，其中，u(t)为t = 0时作用于系统的阶跃函数，即u(t)=1(t

17、)。x&éùé1xùéùé ù001=1+ uêx&úê- 2-3úêxúê1 úë 2 ûëûë 2 ûë û【解】 对该系统é01ùé0ùA = ê- 2B = ê1 ú-3úëF(t) = e Atûë ûe-t -

18、e-2t状态转移矩阵为é2e-tù- e-2t= êúë- 2e-t+ 2e-2t-e-t + 2e-2t û因此，系统对阶跃输入的响应为：t é2e-(t -t ) - e-2(t -t )e-(t -t ) - e-2(t -t )ù é0ùx(t) = eAt x(0) + òú1(t )dtêú êo ë-2e-(t -t ) + 2e-2(t -t )-e-(t -t ) + 2e-2(t -t ) û ë1 ûé1 - e-t + 1 e-2t ù即é2e-tùéx (0) ù- e-2te-t - e-2téx (t) ùú + ê 2úúúû1ú =