直线倾斜角、斜率、斜率公式,直线方程的各种表示方法

1、仅供个人参考承接上次课：倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角关键：直线向上方向；x轴的正方向；小于平角的正角.注意：当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.斜率：一条直线的倾斜角Ot(c(=")的正切值叫做这条直线的斜率.记为k=tana.2当uW(0,")时，kA0,k随a的增大而增大，k也随a的增大而增大；2当aw(女,n)时，k<0,k随a的增大而增大，但k随a的增大而减小；TT当a=0时，k=0;当0(=时，斜率不存在。2斜率公式：已知直线上两点巳(为，山),巳&*)(为*x

2、2)的直线的斜率公式：k=2二.x2-x例题1：如图，图中的直线11、l2、13、的斜率分别为kl,k2卜3,则(D)A.ki<k2<k3B.k3<ki<k2C.k3<k2<kiD.ki<k3<k2例题2：若经过P(2,m)和Q(mi4)的直线的斜率为i,则m=(A)A1B、4C、1或3D、i或4例题3:若A(3,2),B(9,4),C(x,0)三点共线，则x=(B)A、1B、一1C、0D、7例题4:直线经过原点和(一1,1),则它的倾斜角为(B)A、45°B、135°C、45°或135°D、45°

3、;例题5：若经过点P(1a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围.解：(-2,1)学习小结：1 .任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是0,180).2 .直线斜率的求法：利用倾斜角的正切来求；利用直线上两点以用,%),已怀.)的坐标来求；当直线的倾斜角a=90。时，直线的斜率是不存在的-不得用于商业用途仅供个人参考3.直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系:直线的倾斜角a直线的斜率k直线的斜率公式士7E义取值范围题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1:经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率(1)(1,1),(-1,-2)(1,-1),(-2,

4、4)(3)(-2,-3),(-2,3)题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L过坐标原点，它的倾斜角为a，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转45°,得到直线L1那么L1的倾斜角为(D)A.:45B.1-135C.135：为a十45 口；当叫,为正135.不得用于商业用途例题3:变式：已知直线L1的倾斜角为a,则L1关于x轴对称的直线L1的倾斜角=题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k的范围如下时，求倾斜角a的变化范围：题型四：利用斜率判定三点共线例题5:已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一条直线上，求a的值。利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率用两点式计算斜

5、率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)(5-a)(2a-1)=9-2a2+11a-5=92a2-11a+14=0:a=7/2或a=2题型五：平行于垂直的判定例题6:已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线CD_LAB,且CB/AD.解：设D点坐标为(x,y)k的取值范围。题型六:综蝠用3%=乙,kAB一例题7：变式：若于建1a(3,1)以-2,k),C(8,1)能够成三角形，求实数kAD=-,kBC二一2,kAD=kBCx-1解：能够成三角受驷到珪3得AC垂直y轴l2x+y=1是y=1D(0,1)则kw1例题8:已知两点A(-3,4),B(3,2)

6、,过点P(2,-1)的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围例题1.下列命题正确的个数是(C)1)若a是直线L的倾斜角，则0OMa<180»2)若k是直线的斜率，则kWR3)任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率4)任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角A.1B.2C.3D.4例题2.直线L过(a,b),(b,a)两点，其中a#b,ab¥0则(D)A.L与x轴垂直B.L与y轴垂直C.L过原点和一，三象限D.L的倾斜角为135例题3.已知点A(1,1+2V3),B(1,1)，直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为(B)A.1B'3C.J3D.

7、不存在.3例题4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a,斜率为k,则(B)例题5.若A(1a,5),B(a,2a),C(0,a)三点共线,则a=2例题6.已知四边形ABCD勺顶点为A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5)，求m和n的值，使四边形ABC型直角梯形。解：有两种情况1、AB/CD角A=90=角D(5-3)/(2-3)=(n-1)/(m-6)2m+n=13(n-5)/(m-2)=1/2m=18/5n=29/52、AD/BC角A=90=角B(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/32m+3n=19(n-1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13

8、n=25/13两直线平行与垂直的判定：平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1/l2k1=k2-垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.1,k1即l1l2=k2=k1k2=-1学习小结：1 .l1I2uk1=k2或l1,l2的斜率都不存在且不重合.2 .l1_Ll2=kLk=T或k1=0且l2的斜率不存在，或k2=0且l1的斜率不存在.直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,则方程y-y0=k(x-%)为直线的点

9、斜式方程.直线的斜截式方程：直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.直线y=kxb叫做直线的斜截式方程.例题1、过点(5,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_2x-5y=0或y-2=-(x-5)_.例题2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。6.y-?=-2(x-13)13直线的两点式方程：直线的两点式方程：已知直线上两点P(x1,X2),P2(X2，y2)且(Xi=X2，yi=丫2),则通过这两点的直线方程为y-y1=xx1(x1#",y1#y2),由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它y2-yix2一

10、为叫直线的两点式方程直线的截距式方程.:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a#0,b¥0,则直线l的方程-=1叫做直线的截距式方程.ab例题1、已知直线l经过两点R(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.例题2、已知两点P(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1=x2,y1。y2),求通过这两点的直线方程。y-v=(x-xj例题x2x13、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。5x3y-6=0,x13y5=0直线BC：(y+3)/(y-2)=(x-3)/(x-

11、0)即5x+3y-6=0直线BC的中点坐标：x=(3+0)/2=3/2y=(-3+2)/2=1/2即点(3/2,1/2)直线BC边中线所在的直线方程：(y0)/(y+1/2)=(x+5)/(x3/2)即x+13y+5=0学习小结：1,直线方程的各种形式总结为如下表格:直 线 名 称已知条件直线方程使用范围占 八、斜式k存在斜 截 式k存在两占 八、式（x，y1）（x2, 2截 距 式Ax+By+C=0 (A, B不同日为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式2.中点坐标公式：已 知 A(xi，yi),B(x2，y2), 则 AB 的中点 M( x, y), 则x2 xiy2 yix 二,y =2

12、2.例题1、过点P(2, 1) 作直线l交x, y正半 轴于AB两点，当 |PA|，|PB|取到最 小值时，求直线l的 方程.直线的一般式 方it：直线的一般式方程： 关于x, y的二元一 次 方 程例题1、在方程Ax+By + C = 0中，A, B, c为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；(4)与y重合。解：(1) A=0 且 BW0 且 CW0 (2) B=0 且 Aw 0 且 Cw0(3) A=0 且 BW0 且 C=0 (4) B=0 且 Aw 0 且 C=0例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：1 斜率是一,经过点A(8,2

13、)；2经过点B(4,2),平行于x轴；在x轴和y轴上的截距分别是3 _3；2， 经过两点 B(3, -2), P2(5, -4).一1斛：(1) y=x 2；x 2y-4=0 2(2) y =2;y-2 =0(3)1y =1；2x - y -3 = 03(4)y 2 x -3=；-22x y -1 = 0两条直线的交点坐标:已知方程组A1x+Biy+G=0(1)Ax+B2y+G=0(2)当A,A2,B,B全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系解：在直线上另(1)XB(2)XB1得(AB2A2B1)x=BC2B2C11、当A1B2A2B1W0时，方程组有唯一解，相交：且当A

14、4=B1B2时，两直线垂直2、当A1B2A2B1=0,B1C2RGW0时，方程组无解，平行3、当A1B2A2B1=0,B1QB2C1=0时，方程组有无穷多解，重合例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：(1) 11:x-y=0,l2：3x+3y10=0(2) I.3x-y+4=0,I2：6x2y=0(3) 11:3x+4y-5=0,12：6x+8y10=0解：(1)相交交点坐标1,;33（2）平行，无交点（3）同一条直线，无穷多解例题2、求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程解：解法一：解方程组2xj7=°得,X=3

15、x+2y1=0y=-1，这两条直线的交点坐标为（3,-1）又二直线x+2y-5=0的斜率是1/3，所求直线的斜率是3,所求直线方程为y+1=3（x3）即3x-y10=0解法二：所求直线在直线系2x-y-7+入（x+2y1）=0中经整理，可得（2+入）x+（2入1）y入-7=02二-=3解得入=1/7因此，所求直线方程为3x-y-10=02-1两点间的距离：两点之间距离公式：已知平面上两点巳（为，%）,P2（x2,y2）,则RP2=J（x2%）2+（y2y1）2.特殊地：P（x,y）与原点的距离为OP=JK7.点到直线的距离：已知点P（x0,y0）和直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距

16、离为：Ax0By。Cd二A2B2注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式平行线间的距离：已知两条平行线直线11Ax+By+G=0,I2:G-C2Ax+By+C2=0,则I1与I2的距离为d=-（.'-A2B2注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使x,y的系数相等.仅供个人参考不得用于商业用途例题1、已知点P(x。,y。)，直线l：Ax+C=0,求点P到直线】的距离.X0-(-C)A例题2、已知点P(x。，y。)，直线l：By+C=0,求点P到直线的距离.y0-(-C-)B例题3、已知点P(x&

17、#176;,y°),直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线上的距离.例题4、点P(3,-2)到直线的距离为例题5、两条平行线间的距离是例题6、求平行线2x7y+8=0和2x7y6=0的距离.解：在直线2x7y6=0上任取点P(x°,y°),则2x°7y°6=0,点P(x°,y°)到直线2x-7y+8=0的距离是d|Sx0-7y9+8|6-bo14-755莉+(-7f45353?例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3,求l的方程解：3x±4y=0例题8、直线l过点(1,2)且两点(2,-3),(

18、4,-5)至ijl的距离相等，求l的方程解：x+y-3=0或3x+y-5=0例题9、ABC的一个顶点是A(3,-1),/B,/C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标t解：A点关于x=0的对称点为(-3,-1),A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1)例题10、已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积资,A亚运h的高为M；用!s好：一；1HB?n:IABI=J(1?3)2+(3?1)2=2J2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为x+y-4=0.因此/叱醇$仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcom