直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1、直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与明白得一.直角坐标系1. 直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。如此咱们就成立了直线上的坐标系(即数轴)。它使直线上任意一点P都能够由惟一的实数x来确信。2. 平面上，取定两条相互垂直的直线作为x、y轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。如此咱们就成立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P都能够由惟一的二元有序实数对(x,y)来确信。3. 在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线别离作为x、y、z轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条

2、直线的正方向。如此咱们就成立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P都能够由惟一的三元有序实数对(x,y,z)来确信。事实上，直线上所有点的集合与全部实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全部二元有序数对(x,y)的集合一一对应；空间中所有点的集合与全部三元有序数对(x,y,z)的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换1.平移变换在平面内，将图形F上所有点依照同一个方向，移动一样长度，称为图形F的平移。假设以向量a表示移动的方向和长度，咱们也称图形F按向量a平移在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x,y)，向量a(h,k),平移后的对应点为P(x,y).那么有：(x,y

3、)(h,k)(x,y)即有：xhx.yky因此，咱们也能够说，在平面直角坐标系中，由xhx所确信的变换yky是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小因此，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离维持不变。例1.已知点P(4,3)按向量a(1,5)平移至点Q求点Q的坐标；.求直线l:3x2y120按向量a(2,3)平移后的方程。一样地咱们有如下关于平移变换的结论：.将点P(x,y)按向量a(xo,y。)平移，所得点P的坐标为：P(xx0,yy0).将曲线C:f(x,y)0按向量a(%,y0)平移,所得曲线C的方程为C:f（xXo,yy。）0.注：点P(4,3)按向量a(

4、1,5)平移，得点P(41,35),即：P(3,8)；0.直线l:3x2y120按向量a(2,3)平移，得直线l:3(x2)2(y3)120,即：l:3x2y2.有关曲线平移的一样性结论过点(%, y). .直线l:axby0,按向量a（x。，y。）平移后得直线l:a(xx0)b(yy0)0. .曲线C:x2y2r2,按向量a（均，y0）平移后得曲线 C : (x 先)2 (y y0)2r2中心为（4, y）.22.曲线C：x2七1,按向量a(x0,y0)平移后得ab22曲线C:(x0(yJ0)1中心为(x,y).ab22.曲线C：x2冬1,按向量a(x0,y0)平移后得ab22曲线C:(xx

5、0)(y1中心为(,y).ab.曲线C:y22px,按向量a(x,y)平移后得曲线C：(yy)22p(xx)极点为(x0,y).例2.说明方程4x29y216x18y110表示什么曲线，求那个曲线的极点、中心、核心、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换1.伸缩变换例3.咱们已经明白，方程ysin2x所表示的曲线能够看做由方程ysinx所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变成原先的得到的曲线；同理，将方程ysin2x所表示的曲线上所有点的纵坐标维持不变，而横坐标变成原先的2倍，也能够取得方程ysinx所表示的曲线.这也确实是说，方程ysin2x所表示的曲线能够通过伸缩变换取得方程y

6、sinx所表示的曲线.事实上，设2xx,yy，那么ysin2x能够化为ysinx.由2yxyx，所确信的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变成原先的2倍，也能够称为曲线按伸缩系数为2向着y轴的伸缩变换(那个地址P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).一样地，由xx，所确信的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴yy的伸缩变换(当1时，表示伸长；当1时，表示伸长；当1时，表示紧缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原先的倍(那个地址P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).由xx，所确信的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按伸缩yy系数向着y轴的伸缩变换(当1时，表

7、示伸长，1时，表示紧缩；当1时，表示伸长，当1时，表示紧缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标别离变成原先的倍和倍(那个地址P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在.那么缩变换有什么特点呢？咱们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的转变.例4.对以下曲线向着X轴进行伸缩变换，伸缩系数是k1.4 .2x3y60； .x2y216.(设P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).注：.直线2x3y60通过伸缩变换后的方程为x6y30,它仍然表示一条直线；2.圆x2y216通过伸缩变换后的方程为xy21,它变成椭圆.1672.有关曲线

8、伸缩变换的一样性结论.直线通过伸缩变换后，仍是直线.因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质维持不变。.曲线C: f(x,y) 0在伸缩变换yxyx （或/或鸿)作用下(,1时表示拉伸,1时表示紧缩)，所得曲线C的方程为：C:f(1x,y)0Mf(x,1y)0或f(x,y)0).曲线C:f(x,y)0上各点的横坐标(或纵坐标、或横坐标和纵坐标)紧缩为原先的1,可得曲线C:f(x,y)0(或f(x,y)0或f(x,y)0,1时表示紧缩，1时表示拉伸)2 .例5.设曲线C：ylog2x,C1:ylog2x1,C2:y章og2x,3C3:y210g2xlog29.由曲线C通过何种变换能够取得曲线Ci、C

9、2、C3.例6.设Mi是A(xi,yi)与B(x2,y2)的中点，通过伸缩变换k1x后，它k2yy们别离为M2,A2,B2,求证：M2是4B2的中点.(设P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).四.典型例题1 .两个定点的距离为4,点M到这两个定点的距离的平方和为16,那么点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2 .将函数ysinx图象上所有点的横坐标扩大为原先的2倍，纵坐标拉伸为原先的2倍，取得的函数图象的解析式为11.1A. y 2sin 2x b. y 2sin 2 x C. y 2sin 2x D. y1 2sin1 x23.将点P( 2, 2)变换为点P (

10、 6,1)所用的伸缩变换公式是A. x 3x B.y 2y1x 2x C.y 3yx 3x1 D. y 2yx 3xy 2y4 .已知点P(2,3)按向量a(1,4)平移至点Q求点Q的坐标;已知点P(3,2)按向量a平移至点Q(2,0),求平移向量a.5 .将对数函数ylog3x曲线的横坐标拉伸为原先的2倍,求所得曲线的方程.6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换x 3x2y y. .求点A(1，2)通过变换所取得的点A的坐标；3 .点B通过变换取得点B(3,2),求点B的坐标 .求直线l:y6x通过变换后所取得的直线l的方程；2 .求双曲线C:x2y-1通过变换后所取得的曲线C的核心坐标.64

11、227 .在平面直角坐标系中求将曲线C:x2y21变为曲线C:左上一194的伸缩变换.8 .方程C：3x24y218x16y70表示何种曲线，求它的中心坐标、核心坐标、准线方程、离心率.五.课外练习六.补充练习1 .将点P(x,y)的横坐标伸长到原先的2倍，纵坐标紧缩为原先的1,取得3点P的坐标为()A.(X,3y)B.(2x,y)C.(3x,y)D.&2y)x2.曲线C通过伸缩变换y2323x的方程为y310g2(x2)y1og2(3x2)线 CB.D.1后取得曲线C的方程为ylog2(x2),3y那么曲()1A.y110g2(x2)3C.yiog2(1x2)33.已知点P(3, 2)按向量a(1,4)平移至点Q求点Q的坐标;已知点P(1,3)按向量a平移至点Q(3,1),求向量a.4.写出曲线按向量（4,3）平移后的方程. .3x4y50； .y2