2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛高三数学试题(解析版)

1、第1页共 9 页2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛高三数学试题一、单选题1设1若，则实数 的取值范围为（）A.一甌）B. 一 2）C.【刀D.闪）【答案】D【解析】【详解】因为：、：_ -开口向上，且：二 A ：- -:故-:解得:.故答案为：D2 .方程广厂甘；*二在复数集内不同的根的个数为（）B.至多 4 个D.可能为 8 个【答案】【答案】A【解析】【详解】由题设知 八门：八1,：一 一 =：；：c吐月REA. 2 或 4 个C.至多6 个【解【详x 为实数或纯虚数，方程至多有4 个实数根、2 个纯虚数根，故至多-3 +x/17 3-J17工=1, 2,- -if-一I:二二、= ：时

2、，共 6 个根.故答案为：C由题设知6 个根当3 .已知点 P Q 在厶 ABC 内，且：心八一二；：11则等于().A.：B.：1C.1D.第2页共 9 页SA ABP = S芯AIJQ=故.所以.第3页共 9 页116_30故答案为：A【答案】A【解析】【详解】（讪=-4）X6, - 42）,（8,56X（1434）/56,8）共 5 组.7xy =当二了时无解；当时，故,所以 r ，所以-1?综上共 5 组解.故答案为：A5 .设三位数 n 二赢，若以 a, b,c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有（）A. 45 个B. 81 个C. 165 个D.

3、216 个【答案】C【解析】试题分析：a,b,c 要能构成三角形的边长， 显然均不为 0。即 a,b,c1,2,3，,9（1） 若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 山,由于三位数中三个数码都相同， 所以 m =c；=9（2） 若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2 个不同数码设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a,b） 共有 2Cg 组但当大数为底时，设 a b，必须满足ba : 2b。此时，不能构成三角形 的数码是a987654321b4, 32, 14, 32, 13, 213, 211, 21 , 211共 20 种情况。

4、同时，每个数码组（a,b）中的二个数码填上三个数位，有C；种情况。4 .方程：的整数解（x, y）的个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8第4页共 9 页故 n? =C3（2Cg -20）=156.综上，n=nAA + BB，故祖川和旧引中必有一个小于，矛盾.）因此只需求点 A 到直线：的距离最小值的二倍， 则 A 为平行于：的cotC sinAsmBcosC ah a + b2019c -c=1009直线与 的切点，解得 ，故 Z 計的最小值为：32故答案为：；第5页共 9 页9 若正实数 x、y 满足；，则 y 的最大值为第6页共 9 页1【答案】：【解析】【详解】-5 一， 4k-5

5、(盘+盘十 2)y = i f (H) =/ (左)=- - -设丁二沁，则-.令丨，贝 U|,1 1/(A) ak- n E N6故对一切,有【答案】见解析【解析】【详解】联结，与：、：、分别交于点、由相交弦定理及切割线定理得皿：川小閒， - CK川BC QPQA BC = 5T QH=两式相加得:-.又匚一 | 比 rg：-；：-； .一(2)当y =1+x 08一 +y =玄_卞或岳.综上，点 A 的轨迹方程为! -： ；：| 一匚-匚2令直线 0P 的方程是. ，与圆 M 相切，则有IMo-Xol-=rI?即.:-:厂H： :; .X厂-：J又直线 OQ 与圆相切，设直线 0Q 的方程

6、是,同理有(xl -r)吒-2x0y0fc2+ 尤-r10则 i .是方程 怎八; 适应飞的两实根，因此,r2 1 _7_r2rz=爲+又,、为定值，设,，则T 21 一T4幻矶二2-T C応-r.2由于 M 为椭圆上的点，且 c 为定值，因此必有y kxxr2 L jk, k7=-，故12 凋J- ，此时设点， ，联立缶亠yi - -21 + 4 局1 + 4 幷? ，解得同理1+ 4kE2，所以,OP2OQ2=4、1 + 4/Cj 1 + 4k；4第11页共 9 页4(1 + 时)4(1 +kl + 4f1 + 4 血第12页共 9 页_ 4(1 +kj1 + 4局故|苗-二的最大值为.14 已知实数、b、c 满足，求阳八的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】【详解】 由均值不等式和柯西不等式可得a2bc+ ab2c + abc2 abc+ (a| + |b + |c|)Aa + | + c-f(x =-最大值点因此，是 M 的最小值.卢十 2 0 /c | .1 + 1 昭2) _ 251 +斗府* (1 + 4 时 F4(1 + 冋 +c). 1 1a = b c _当时取等号，故 M 的最大值为：.要