矩阵的定义及其运算规则

1、矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n列（横的称行,纵的称列）的一个数表，并称它为mxn阵。矩阵通常是用大写字母A、B来表示。例如一个m行n列的矩阵可以简记为：我们称（2-3）式中的厘"为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母,表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j=1,2,，n）表示矩阵的列数。当m=n时，则称A=为n阶方阵，并用（哈表示。当矩阵（a.）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即%.=加,则称该两矩阵相等，记为A=Bo2、三角形矩阵由i=j的

2、元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：124口、00r.-5+1S0的口姐0C»4-1+3+20、01纪/Ai%1Q0+工o3、单位矩阵与零矩阵在方阵,中，如果只有1=J的元素不等于零，而其他元素全为零，如：ran0。、0口赘0L。则称为对角矩阵，可记为*=%日（%/必%J。如果在对角矩阵中所有的飞彼此都相等且均为1,如：00,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：,10。、010£=<'I100I)当

3、矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A=(a)mn和B=(bij)馆相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C=(Cij)mXn表布矩阵A及B的和，则有：式中：二”取十与'。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质(设(1)交换律：A+ B= B+A(2)结合律：(A+ B) + XA+ (B+C)A B、C都是mKn矩阵)5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵'=(4/)所中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如:kA二Ak由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：

4、设A、B都是mKn矩阵，k、h为任意常数，则：(1) k(A+B)=kA+kB(2) (k+h)A=kA+hA(3) k(hA)=khA6、矩阵的乘法4gQ若矩阵旧工乘矩阵板工，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵曲"的元素°济的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若：AB=Cc则矩阵曲修的元素由定义知其计算公式为:G=/1月匕+因3也;+&,=£(以以才)F-1(2-4)【例2-1】设有两矩阵为：*口J回%J,试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C:jq Cl2G =

5、其中:【例2-2 Go %如 十为% Cg = 加3+41口C? = "?Li +口嫡匕笃 匕立=&R% +.乳&加3 1、0 -121，求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下:A-B = C =0、a矩阵的乘法具有下列性质:(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。(2)矩阵的乘法是可结合的。(3)设A是mKn矩阵，B、C是两个nXt矩阵，则有：A(B+C)=AB+AG(4)设A是mKn矩阵，B是nXt矩阵。则对任意常数k有：k(AB)=(kA)B=A(kB)。【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为：7AX¥L(2-5)Ilxl猊X也fxl叔1式中:试将矩阵公式展

6、开，列出方程组。将上式右边计算整理得:血/十瓦两T十与%十4、 % + ”3工2 +=+E*马+，3（2-8）可得方程组：卜=宜T4-bK：+*'*十£箕+/匕=劭工4各产？+-4马*1工匕二外/斗"J+£金/+4可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差，乂方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中m1称为改正数阵，加1称为误XL差方程组的系数阵，血称为未知数阵，改称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。的匕+凹屿+%匕+，=口画+瓦妁+勾匕+町=0勺匕十万七十