离散数学习题答案解析

1、精品离散数学习题答案习题一及答案：(P14-15)14、将下列命题符号化：(5)李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p(6)王强与刘威都学过法语解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是pq(9)只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是qp(11)下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是(pq)r15、设p：2+3=5.q:大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：(4)(pqr)(pq)r)解：p=1,q=1,r=0,(pqr)(110)1,(p

2、q)r)(11)0)(00)1(pqr)(pq)r)11119、用真值表判断下列公式的类型：(pp)q解：列出公式的真值表，如下所示:pqpq(pp)(pp)q001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。20、求下列公式的成真赋值：(4)(pq)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：(pq)1p0q0q0所以公式的成真赋值有：01，10，11。习题二及答案：(P38)5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：(2)(pq)(qr)解：原式(pq)qrqr(pp)qr(pqr)(pqr)m3m

3、7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：(2)(pq)(pr)解：原式(ppr)(pqr)(pqr)M4，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：(1)(pq)r解：原式pq(rr)(pp)(qq)r)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m1m3m5m6m7，此即主析取范式。主析取范式中没出现的极小项为m0，m2，m4，所以主合取范式中含有三个极大项M0，M2，M4，故原式的主合取范式M0M2M4。9、

4、用真值表法求下面公式的主析取范式：(1)(pq)(pr)解：公式的真值表如下:pqrppqpr(pq)(pr)000100000110110101101011111110001011；010110111001011110101由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式m1m2m3m4m5m6m7习题三及答案：(P52-54)11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：pq,qr,rs,p结论：s证明：p前提引入pq前提引入q析取三段论qr前提引入r析取三段论rs前提引入s假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:(

5、2)前提：(pq)(rs),(st)u结论：pu证明：用附加前提证明法。p附加前提引入 pq附加 (pq)(rs)前提引入 rs假言推理 s化简 st附加 (st)u前提引入 u假言推理故推理正确。16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：(1)前提：pq，rq，rs结论：p证明：用归谬法 p结论的否定引入 pq前提引入 q假言推理 rq前提引入 r析取三段论 rs前提引入 r化简 rr合取由于rr0，所以推理正确。17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看

6、见他。所以，A是谋杀嫌犯。解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见过A。则前提：(pq)r，p，qs，s结论：r证明： qs前提引入 s前提引入 q拒取式前提引入pq合取引入(pq)r前提引入r假言推理习题四及答案：(P65-67)5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：(2)有的火车比有的汽车快。解：设F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x比y快；则命题符号化的结果是：xy(F(x)G(y)H(x,y)(3)不存在比所有火车都快的汽车。解：方法一：设F(x):x是汽车，G(y):y是火车，H(x,y):x比y快；则命题符号化的结果是：x

7、(F(x)y(G(y)H(x,y)或x(F(x)y(G(y)H(x,y)方法二：设F(x):x是火车，G(y):y是汽车，H(x,y):x比y快；则命题符号化的结果是：x(G(x)y(F(y)H(x,y)或xy(G(x)(F(y)H(x,y)9、给定解释I如下：(a) 个体域为实数集合R。(b) 特定元素a0。(c) 函数f(x,y)xy,x,yR。(d) 谓词F(x,y):xy,G(x,y):xy,x,yR。给出以下公式在I下的解释，并指出它们的真值：(2)xy(F(f(x,y),a)G(x,y)解：解释是：xy(xy0xy)，含义是：对于任意的实数x，y，若x-y=0则x<y。该公式

8、在I解释下的真值为假。14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：(1)x(F(x)y(G(y)H(x,y)解：取解释I如下：个体域为全总个体域，F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟，H(x,y)：x比y跑得快，则该公式在解释I下真值是1；''取解释I如下：H(x,y)：x比y跑得慢，其它同上，则该公式在解释I下真值是0；故公式(1)既不是永真式也不是矛盾式。此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。习题五及答案：(P79-81)5、给定解释I如下：(a) 个体域D=3,4(b) f(x):f(3)4,f(4)3(c) F(x,y):F(3,3)

9、F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1试求下列公式在I下的真值：(1) xyF(x,y)解：方法一：先消去存在量词xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4)(F(3,3)F(3,4)(F(4,3)F(4,4)(01)(10)115、在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：(3)前提：x(F(x)结论：xF(x)证明： xG(x) xG(x) G(c) x(F(x)G(x) F(c)G(c) F(c)G(x) ， xG(x)前提引入置换UI规则前提引入 UI 规则析取三段论EG规则 xF(x)*22、在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：(2)凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山

10、不是大学生。解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：x(F(x)G(x)，G(c)结论：F(c)证明： x( F (x)G(x)前提引入 F (c) G(c) UI 规则 G(c)前提引入F (c)拒取式25、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者， 并且是聪明的。所以， 王大海在他的事业中将获得成功。 (个体域为人类集合)解：设F(x) : x是科学工作者，G(x) : x是刻苦钻研的，H(x) : x是聪明的，I(x) : x在他的事业中获得成功， c ：王大海则

11、前提： x(F(x) G (x) ， x(G(x) H(x) I(x) ， F(c) H(c)结论： I (c)证明： F (c) H (c)前提引入 F (c)化简 H (c)化简 x( F (x)G(x)前提引入 F (c) G(c) G(c) G(c) H(c) UI 规则假言推理合取引入 x(G(x) H (x) I (x) 前提引入 G(c)H(c)I(c)UI规则 I(c)假言推理习题六及答案(P99-100)28、化简下述集合公式：(3)(AB)C)(AB)C)(AB)C)(AB)C)解：(AB)C)(AB)C)(AB)C)(AB)C)(AB)(AB)A30、设A,B,C代表任意

12、集合，试判断下面命题的真假。如果为真，给出证明；如果为假，给出反例。(6)(AB)AB解：该命题为假，(AB)ABA，如果BA，则BAB，否则BAB，故BAB为假。举反例如下：A1,2,B1,3,则(AB)A3B。(8)ABACBC解：该命题为假，举反例如下：如果B，C都是A的子集，则ABAC一定成立，但bC不一定成立，例如：A1,2,B1,C2,则ABACA,但BC。33、证明集合恒等式：(1)A(B:A)BA证明：A(B:A)(AB)(A:A)(AB)ABBA习题七及答案：(P132-135)26设A1,2,3,4,5,6,R为A上的关系，R的关系图如图7.13所示：(1)求R2,R3的集

13、合表达式；(2)求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。解：(1)由R的关系图可得R(1,5),(2,5),(3,1),3,3),(4,5)所以R2RR(3,1),3,3),(3,5)，R3R2R(3,1),(3,3),(3,5)，可得Rn(3,1),<3,3),3,5)，当n>=2;(2) r(R尸RUIa(1,5),2,5),(3,1),3,3),4,5),(1,11,(2,2),(4,4),(5,5),(6,6),s(R)RUR1；1,5,5,1;,.2,5.,5,2：,3,1,1,3：,3,3,4,5：,5,4,t(R)RUR2UR3URUR2；1,5,2,5；,3,1

14、,3,3；,3,5；,4,5：41、设A=1,2,3,4,R为AA上的二元关系，a,b,c,dAA,a,bRc,dabcd(1)证明R为等价关系；(2)求R导出的划分。(1)只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可，证明过程如下:(a)任取a,ba,b R a,b ，所以r具有自反性;(b)任取a,b ,c, dA A,若 a,b R c,d ,则有a bc,d Ra,b,所以R具有对称性;(c)任取a,b ,c,d ,e, fA A,若a, bR c,d且 c,d R e, f则有a ba,b Re, f ，所以R具有传递性,综合(a) (b)(c)可知：R为集合AA上的等价关系;感谢下载载

15、(2)先求出集合AA的结果：3,3 , 3,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 AA(1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,再分别求集合AA各元素的等价类，结果如下：1,1r1,1,1,2r2,1r1,2,2,1,1,3 r 2,2 r3,1r1,3,2,2,3,1,1,4 r2,4 r3,3 r4,2 r 2,4 , 3,34,2 ,3,4 r 4,3 r 3,44,3 ,2,3r3,2r4,1r1,4,2,3,3,2,4,1,4,4r4,4。等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集A/R,而集合A关于R的商集A/R是由R的所有等价

16、类作为元素构成的集合，所以等价关系R导出的划分是：1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,2,4,3,3,4,2,3,4,4,3,4,446、分别画出下列各偏序集(A,R)的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。(1) R(a,d),(a,c),(a,b),(a,e),(b,e),(c,e),(d,e)UIa解：哈斯图如下:bA的极大元为e、f,极小元为a、f；A的最大元和最小元都不存在。*22、给定A1,2,3,4,A上的关系R(1,3),1,4),(2,3,2,4),3,4),试(D(2)画出R的关系图;说明R的性质。解：(1)(2) R

17、的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的；的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R是反对称的，不是对称的；R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边，但顶点x到顶点z没有边的情况，故R是传递的。*48、设(A,R)和但S)为偏序集，在集合AB上定义关系T如下：a，bi：，a，b2：AB,：a1,bT：a2,b2；a1Ra2b1Sb2证明T为AB上的偏序关系。证明：(1)自反性：任取国心)AB,则：QR为偏序关系，具有自反性，aiRaiQS为偏序关系，具有自反性，biSb,aFabiSb又d,b1T包心；aiRa2bSb2,(ai,h)T(ai,2,故T

18、具有自反性(2)反对称性：任取侬心),上2口2AB,若(a川T(a2,t2且,2心)丁(济川,则有：aiRa2WSb(i)a2Rab2Sb(2)aiRa2a2Ra1,又R为偏序关系，具有反对称性，所以aia2biSbBSb,又S为偏序关系，具有反对称性，所以bib2(ai,b)(a2,b2),故T具有反对称性(3)传递性：任取卜,6),12扫2),k3也aB,若(ai,bi)T(a2,b2)且(a2,b2)T回),则有：ai,b1)T:a2,b2):aiRa2b1st2a2，b2；T3,0；a2Ra3bzSAaiRa2a2Ra3,又R为偏序关系，具有传递性，所以aiRa3b1sb2dS*又S为

19、偏序关系，具有传递性，所以b1sb3aiRa3b1sb3包上斤(a3,b3)，故T具有传递性。综合(1)(2)(3)知T具有自反性、反对称性和传递性，故T为AB上的偏序关系。习题九及答案：(P179-180)8、S=Q Q,Q为有理数集，为S上的二元运算，(a,b),(x,y) S有：a,b；: ： x,y ；: ax,ay+b ：(1)运算在S上是否可交换、可结合？是否为曷等的？(2)运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出 S中所有可逆元素的逆元解：(1)：x, y) ；a,b； :.xa,xb+y )ax,bx+y ： a,b, :x, y .运算不具有交换律x,y ；a,b； 1

20、c,d； ax,bx+y： ：c,d acx,adx+bx+y.而：x,y：a,b； ：c,d；x, y * ac,ad+bxac,xad+xb+y； acx,adx+bx+y ；x,y' ：a,b；：c,d；运算有结合律任取.'a，b s,则有：a,b； ab:a2,ab b； :a,b运算无幕等律(2)令a,b*(x, y) (a,b)对(a,b)则有：、ax,ay+b： ,©,：对 ；a,b.ax aay b bax 10 对ay 0s均成立s均成立a,b成立必定有运算的右单位元为(1,0),可验证(1,0)也为运算的左单位元,运算的单位元为.：1,0；-令(a

21、,b)*(x,y)(x,y),若存在(x,y)使得又t(a,b)s±述等式均成立,则存在零元，否则不存在零元。由a,b*x,y：x,yax,ay+b；x,yaxxa1x0aybya1y+b0由于a1y+b0不可能对：a,b;s均成立，故(a,b)*(x,y)(x,y)不可能对(a,b)s均成立，故不存在零元；1x a （当 a 0） by a设兀素：a,b：的逆兀为；x,y.,则令.a,b；：*'；x,y)eJ,0.ax1ayb0当a0时,(a,b)的逆元不存在；当a0时，ab；的逆元是1,:11、设S1,2,10,问下面的运算能否与S构成代数系统(S,)?如果能构成代数系统

22、则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。(3)x丫=大于等于x和y的最小整数；解：(3)由*运算的定义可知：xy=max(x,y),x,yS,有xyS,故运算在S上满足封闭性，所以运算与非空集合S能构成代数系统；任取x,yS,有xy=max(x,y)=max(y,x)=yx,所以运算满足交换律；任取x,y,zS,有(xy)z=max(max(x,y),z尸max(x,y,z尸max(x,max(y,z)尸x(yz),所以运算满足结合律;任取xS,有x1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,所以运算的单位元是1;任取xS,有x10=max(x,10)=10=max(1

23、0,x)=10x,所以运算的零元是10;16、设V111,2,3,1),其中xy表示取x和y之中较大的数。V2(5,6,6%其中xy表示取x和y之中较小的数。求出乂和V2的所有的子代数。指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。解：(1)Vi中运算的单位元是1,V的所有的子代数是：(1,2,3,1),(1,1),(1,2,1),(1,3,1);M的平凡的子代数是：j1,2,3,1.,：1,1;M的真子代数是：1,1,：1,2,111,3,1；;(2) 丫2中运算的单位元是6,V 2的所有的子代数是：(5,6,6),(6,6);V 2的平凡的子代数是：(5,6,6),6,6)；V 2的真子代数是：(6,6)。习题H一及答案：(P218-219)1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由解：(a)、(c)、(f)是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界；(b)不是格，因为d,e的最大下界不存在；(d)不是格，因为b,c的最小上界不存在；(e)不是格，因为a,b的最大下界不存在。2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。(1)L=1,2,3,4,5;L=1,2,3,6,12;解：画出哈斯图即可判断出：(1)不是格，(2)是格。4、设L是格，