外微分是和活动标架

1、第三章外微分是和活动标架 一外微分形式1 Grassmann 代数(1) 主要概念2°维向量空间G v ，外乘、Grassmann代数设V是n维向量空间，ei ,e2是匕的一组基。G V = V。二 V1 二二 V p= V其中V- R,Vn Rp IV 二仁二 aiiteii八氏八 A eiPL 1刊吒勺ip丿(2) 主要性质和公式命 题 1Grassmanm代数 满足反交换律。x Vp,y Vq贝Upqx y =1 y x推论设x,yw v1那么x y y x, x x = 0命题2设ei,e2 a 是V一 维基，yi,y2, yp v,那么有ny = 2 aij e( i =

2、1,2 p)a1ipyiy2apia pipei1eii2推论1 V中 的一组向量 yi, y2 yp是线性 无关的必要和充 分条件是：y y2y 0推论2设yi, y2y：是 V的另一组基，并 且ny 二誼訥=1,2, n,d e taj0那么有y y2yn 二 det a»ei een2外微分形式1主要概念坐标域U上 的c 函数环K 上的模V，外微分、外微分形式、P次外形式简称 P形式。2主要性质 与公式设坐标域U 中点的坐标是x：x2，xn，它 们的微分是d£,dx2,dxn， V 是以dx1,dx2, dxn基底的系数属于U上的C 函数 环K的模，然后用 做 Gra

3、ssmann代 数：G V = V。二 V1二v其中V- K,V-V,a(x1,x2, ,xn) dx1 八 dx2 A. dxn K,Vp = p =12n1仁ai ip(x，x，,X )dxdx 2入入dx 。定义 外微分d : V J Vp1 为对 于"Vp d p =/ai；j x",，x")d x5 八 d xlpw <ip勺n 点 a i ；-送 送dx1. dx1"- d x114r： %印 id ； xi定义了外微分的Grassm an代 数 G v ,d称为U 上的外微分形式 代数，它们的元素 称为U上的外微 分形式，其中vp中

4、的元素称为U上 的p次外形式，1 形式又称Pfaff形 式。Car tan引理 给U上的p个线性 无关Pfaff的形式 fl fn V PF ，如果在U上另有 p个Pfaff形式 g,g2,gn，使得f i g? f 2 g2 那么存在u上的 c:= 函 数 a，i,j = 1,2, ,p ， 使 得p,pg 八 a，f j i 二 1,2,j # 其中 a， = a，i.推论如果u 上存在两个c函数f和g，满足 f g = 0，那么存 在U上另一个 C 函数a使得 g 二 afPoincare引理 设一G V，那么2.d ° 二 dd二 0。Stokes公式 设G是Rn中一个 p

5、维区域1 - n , G是G的边缘，Vpj,那么以下公 式成立：g d3例题设U是R3中 的一个区域，坐标 是' x,y,z， K 是 C_ 函数环f x,y,z ,V 是 以 dx,dy,dz 为 基，系数属于K的 模。V = K,V V =P x, y,z dx+ Qx, y,zdy+ RE x, y,zdz2V =P x, y,z dy dzQ x, y,z dz dxRx, y,zdx dyV f x, y,z dx dy dz止 fx,y,z = K其中P,Q,R,f 都是x, y,z的C 函数设 3 V，,技=PdxQdy Rdz那么(£Q £p用=-d

6、x dyx 沔)Q：:zdy dz(ep-z主 dz dx,xd(d ) = 0o再设CO 乏 V 2=PdydzQdz dx Rdxdy,(cP cQ cR d=i+十Lx 点 y £zjdx dy dz,d d = 03 Frobenius 定理(1) 主要概念：Pffaf形式，Pffaf方程组、等价性、完全可积、积分曲面、Frobenius条件。(2) 主要性质和公式：给出坐标域U上的Pffaf形式I = 1,2, p，如果存在U的Pffaf 形 式fk l,k = 1,2, ,p，使得lp lkd八 f kl =,2,pk 411那么称为Pffaf形式i 1,2, ,p是 满

7、 足Frobenius 条件的，不过，常用的是这个条件的等价命题。d = 0 mod , , PI = 1,2, p命题如果两个Pffaf方程组J = 0和=o l 1,2, p是等价的，并且其中一组Pffaf形式满足 Frobenius条件，那么另一组形式也满足Frobenius条件。Frobenius定理如果一组Pffaf 形 式J1,2厂，p满足Frobenius条件， 那么Pffaf方程组0 1,2, ,p是完全可积的。下面要指出： 一个Pffaf方程组 等价于一个一阶 偏微分方程组，而Pffaf 方程的 Frobenius 条件 就是这个一阶偏 微分方程组的完 全可积的条件。设U是R

8、n p中 一个区域，坐标 F 1nPX ,X ,y ,y我们把上U的 Pfaff 方程组 0 1,2, ,p写成以下形式:I n IP怕三瓦屮ix, yd x'+送半 kX, y d y = 0, 1,2, p其中det n *0 ,于是我们可以从这组Pffaf方程中解出k /.dyk = 1,2, ,p，从而得到Pffaf方 程 组1 = 1,2/ ,p的等价Pffaf方程组n1 = dy1 三个；x, ydx = 0I = 1,2, p。这个Pffaf方程组又等价于一阶偏微分方程组dy1dxi；(x, y)(i= 1,2?，n)Pffaf 方程组FrobeniusZ codyk 八

9、 dxi)k=1)dx dx二 0。因为dx dx =-dx dx ,所以xJc * 1 L .ix.1p ?j I k 送一二i+ y(i,j 二1,2 ,n;11,2,k)它也可以写成-2 1- 2 1Dyc yi - j- j r ix xx x(i, j = 1,2,n)这就是一阶偏微分方程组的完全可积的条件。二活动标架1合同变换群(1)主要概念R3中的合同 变换、活动标 架。(2)主要性质和公式给出R3中一 个直角坐标 O;ei,e2,e3 系，R3中任意 一点P的坐标 是(Xi,X2,X3)， 即Tr = OP二 X£i3。3设合同变换 把点P变成 点，后者的坐标 是(x

10、l,X2,X3)， 即：=xi + x?e2 十 x 3e3现在我们要给 出合同变换的坐 标变换公式。设合同变换T把 直角坐标系0冷,2凤变成另一个直角坐标系O'e ,e'2,e'3，使得T*00 二 ae a?e2 a3e33® = aje/j = 1,2,3)容易证明：合同变 换T的坐标变换公 式是'3x厂启6 ai(“ 1,2,3)其中系数矩阵(aj 是正交阵，即33' a»aik 二 jk J aaki 二 jk i 4i 二(j,k = 1,2,3)；0,(P k);jk 二H,j k) 虫=deg) =± 1注意

11、：合同变换的 坐标变换公式中 的系数，完全由直 角坐标系IIIIO ;ei,e2,e3所 确定，因此，R3中 的合同变换和直 角坐标系是一一 对应的，一个直角 坐标系确定一个 合同变换。我们把 直角坐标系称为 标架，变动的直角 坐标系称为活动标架。命题R3中的全体合同变换或全体标架构成一个群，称为合同变换群。2活动标架设活动标架r;e“e2,e3变动时光滑地依赖于p个参数，(1 p兰6)贝Ir 二 r(u ,U,U);e厂 ei(U,U,.,U)(i = 1,2,3)称为p参数活动标架。计算p-参数活动 标 架r;ei,e2,e3的无穷小位移：严3dr =瓦 i丄de八；LJ =4(u,du)

12、e(u,du)ej其中系数 和 i都是参数 (u ,U ,uP) 的 Pffaf形式，称为 活 动 标 r;e1,e2,e3的相 对分量。j，把此式外微分以后，得到0(i,P 1,2,3)相对分量中 只有六个是独立， 这与合同变换的 系数或活动标架 的参数只有六个 是独立的这一事 实是一致的。活动标架 r;e,e2,e3的无 穷小位移实际上 就是活动标架的 微分方程，系数是 相对分量。这组微 分方程是否完全 可积呢？必须讨 论它的可积条件， 即 条 件 Frobenius禾口d(de) = 0(i = 1,2,3)。于是 我们得到了活动 标架口巳凤凤i3Z 0 i丄j k的结构方程:d ide

13、 二(i,P 1,2,3)3活动标架法(1)主要思想R3中的合同变 换是全体活动标 架所组成的群。给 出一个带有P个参 数的几何图形。(实例：曲线C :厂r(s)是单 参数图形；曲面S : r 二 r(u,v)是 双参数图形)设法 使图形的每一个 点对应一个标架， 那么这个几何图形 就转换成P参数活动标架。于是这 个参数活动标架 的无穷不位移就 变成了去计算p 参数活动标架的 相对分量，再计算 这组相对分量应 满足的结构方程， 使得方程完全可 积。因此，我们所 研究的几何图形 的微分性质完全 由它所对应的活 动标架的无穷小 位移的相对分量 和它们所满足的 结构方程所确定。这就是法国数学 家E

14、.Car tan所创J 造的活动标架的 主要思想。(2)活动标架法的步骤第一步：寻找与 所研究的几何图 形对应的 p 参数伏雷内活动 标架口巳心。第二步：计算 p参数活动标架 的无穷小位移从 而确定活动标架 的相对分量,：(i,j 1,2,3)第三步：计算活动标架的相对分量相应满足的结构方程：3dj (= 1,2,3)d ij3、-kz灼i1,2,3)(3)实例研究空间曲线C : r(s)的几何性质：第一步：寻找与空间曲线C : r 二 r(s) 一 一对应的单参数活 动标架，它就是空 间曲线伏雷内标架：r(s);e(s),e2(s),e3(s)drdsdeids第二步：计算伏 雷内标架的无穷

15、 小位移:dr =1 2e1(de =2e1 2 -5de2 二1a + co2 1 :de3 二1a +31因为dr二 e1ds1 ?以二 ds ,2 0,3 = 0。313223所e3dedsQds,k(s)ds(s)ds我们得到了伏雷内方程dr 二 e“dsdedsk(s)e2de2 ds de3 dsk(s)e(s)e3(s)e2所以，究竟曲线 的活动标架的无 穷小位移实际上 就是伏雷内方程。第三步：计算相 对分量所应满足 的结构方程。由于 相对分量特i :都 是单参数Pffaf形 式，它们的外微分 等于零，即 d = 0,d0 ，因此与空间曲线 相对应的单参活动标架没有结构 方程，换

16、言之，伏 雷内方程是完全可积的，也就是 说：给出了空间曲线C的曲率k(s) 和挠率(s)，伏雷内方程是完全中 可积的，通过积分 确定了活动标架r(s);e(s),e2(s),e3(s)。自然也就是确定 了曲线和的方程r = r(s)。三用活动标架法研究曲面主要计算和主 要公式给出曲面S : r(u,v)，我 们选定取正交标 网，那么有：s 22I = ds = dr dr 二 Edu Gdv其中：E = r r ,F = r r = 0vG = rv rv与曲面S对应的双参数标架是r;e“e2,e3:eiru：?丨此IEre2|rv |Ge3e1e'2 .先计算活动标架 r;ei,e2,e3的无 穷小位移。123dr 二ee?e3rudu rvdvo以Edu,特 2= PGdv3 = 0,1 2 2 21=()()再计算相对分量 (i= 1,2,3)的结构方程：1323O A 0 +co A 0=|11 2 v根据Car tan引理，31电 1 二 a(u,vp + b(u,v)w3.b(u,