天津市南开中学2014-2015学年高中二年级(下)期中数学试卷

1、市南开中学2021-2021学年高二下期中数学试卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.第四象限1. 2021春？校级期中i是虚数单位，那么复数丄在复平面所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数.复数对应点的坐标分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数对应点，判断即可.1 二丄；2+TL(2+i) (2-D B 5】解答：解：复数二. 亍在第四象限.应选：D.点评：此题考查复数的几何意义，复数代数形式的混合运算，考查计算能力.2. 2021春？校级期中函数f x =2x3-4x的单调递减区间是A

2、.(-丨，IJD (-B.)C.考点：利用导数研究函数的单调性. 专题：计算题；导数的综合应用.分析：求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间. _ 2解答：解：因为f'( x) =6x - 4=6 (X令 f '( x)v 0,解得-3所以函数f x =2x - 4x的单调递减区间-).应选：C.点评：此题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系,求函数的单调区间，属于根底题.3. 2021春？校级期中某班级要从4名男生、3名女生以与3位任课教师中选派一位男生, 一位女生，一位任课教师共 3人参加社区效劳，那么不同的选派方案的种数为A.

3、12 B.24 C.36 D.48考点：排列、组合与简单计数问题. 专题：排列组合.有结论(1) fX=sinx , (0 v x Vn)成立(2) f(x)=lnx成立(3) f(x)3=X ,(x> 0)有成立=ta nx , (0 v x v有Ki 2> f 一7一成立分析：分别从从4名男生、3名女生以与3位任课教师哥各选一个，根据分步计数原理即可 解决.解答：解：分别从从4名男生、3名女生以与3位任课教师哥各选一个，故有C41C31C31=36种，应选：C.点评：此题考查了分步计数原理，属于根底题.324. 2021春？校级期中设函数 f x =x - 3ax+3bx的图象

4、与直线12x+y -仁0相切于点 1, - 11,那么实数b的值是A.1 B.- 1 C.3D.- 3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的概念与应用；直线与圆.分析：由函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程即可解得.解答：2解：求导得 f'( x) =3x - 6ax+3b .由于f (x)的图象与直线 12x+y- 1=0相切于点(1 , - 11), 所以 f ( 1) =- 11, f'( 1) =- 12,即：1 - 3a+3b=- 11, 3 - 6a+3b= - 12,解得：应选：点评：a=1, b= 3.D.此题考查导数的运用：求切线的

5、斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键.5. 2021春？校级期中点 A X1, f X1, B X2, f X2是函数f x =2x的图象 上任意不同的两点， 依据图象可知，线段AB总是位于A, B两点之间函数图象的上方，因此K 1 + X 9> f 一成立.运用类比的思想方法可得以下结论2其中，正确的结论的个数为)A.个1个B. 2个C. 3 个 D. 4考点：类比推理.专题：综合题；推理和证明.分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的， 即可得到>f ( 一)成立，再根据函数图象的特征，即可类比得到相应的不等式2x解答： 解：函数y=2上任意两点A,

6、B两点之间函数图象的上方， 函数y=2x上的图象是向下凹的，可得不等式!>f( ),I 2据此，(1) y=sinx (x (0, n)图象可以看出：y=sinx (x( 0,n)图象是向上凸的,故可知v f ()成立，故不正确£ Cli) +f (xn) K i + X ?(2) f (x) =lnx是向下凹的，有>f ( )成立，故不正确;(3) f (x) =x3, (x> 0)是向下凹的，有>f ()成立，故正2 2确；(4) f (x) =tanx ,f ( H 1)+f ( K 2)2> f (2(0vxv )是向下凹的，有)成立,故正确.应

7、选：B.点评：此题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答此题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法.6. (2021春？校级期中)函数 f (x) =ax3-2x2+4x - 7在(-汽 +)上既有极大值， 也有极小值，那么实数 a的取值围是(A.avgB. aw£C. av壬且 a0D. av -或 aK3考点：函数在某点取得极值的条件.专题：计算题；导数的概念与应用.分析：先对函数进行求导，根据函数 f (x) =ax3- 2x2+4x - 7在(-, +)上既有极大 值又有极小值，可以得到>0,进而可解出a的围.总"总32解答： 解

8、：t f ( x) =ax - 2x +4x - 7,2 f ( x) =3ax - 4x+4函数f (x) =ax - 2x +4x - 7在(-汽 +m)±既有极大值，也有极小值，2 :, = (- 4)- 4X 3ax 4> 0 且 aKa< -且 aM0应选：C点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件属根底题.7. ( 2021 春?校级期中)设 f (x)那么 f J (x) dx=()A.12B.一C.-D.ln21n216iTz考点：微积分根本定理. 专题：导数的概念与应用.分析:原积分转化为=J2-xdx+2xdx，再根据定积分的计算法那么计算即可.J

9、0解答:解： f ( x) =2凶,:|x12?肓1.=1 1=|lnZ(1 - 4)-X2-Xdx+ 卷 2Xdx= - 2+ (16- 1)=(3+15)=:ln2|ln2U3f ( X )应选:点评:那么dx= Jg& ( 2021春？校级期中)函数y=的最大值为(A.B.C.D.C.此题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于根底题.x的值该方程有实数解，所以 = ( 2y2- 2)解得应选：A.考点：函数的最值与其几何意义.专题：函数的性质与应用.分析：先求函数的定义域，然后两边平方，将式子整理为关于 x的一元二次方程，该方程有解，那么判别式非负构造出关于 y的不等式，解得

10、y的最值，并求出取得最值时对应的是否在定义域即可.2解答： 解：由题意得2x - x?0得OWx< 2,故定义域为0, 2.2 2 2 2将原式两边平方整理后得：(y +1) x + (2y - 2) x+y =0,2 2 2-4y (y +1)> 0.x=.符合题意.点评：此题考查了判别式法求函数的值域，要注意取得最值时对应的自变量是否在函数的定义域取值.二、填空题：本大题共8个小题，每题4分，共32分.9. (2021 春？校级期中)函数 f (x) =xsin (2x+5)的导数为sin (2x+5) +2xcos (2x+5).考点：简单复合函数的导数.专题：导数的概念与应

11、用.分析：根据导数的运算法那么和复合函数的求导法那么计算即可.解答： 解：f '( x) =x' sin ( 2x+5) +x (sin ( 2x+5)' =sin ( 2x+5) +2xcos (2x+5), 故答案为：sin (2x+5) +2xcos (2x+5),点评：此题考查了导数的运算法那么和复合函数的求导法那么，属于根底题.10. (2021春？校级期中)f ( x) =x3 - 4x+4的极大值点为x= - 2 .3考点：利用导数研究函数的极值.专题：导数的综合应用.分析：先求导，再导数等于 0，判断函数的单调性，得到函数的极值点.-3解答： 解： f

12、( x) =x - 4x+4,2/ f '( x) =x - 4,令 f '( x) =0,解得 x= - 2 或 x=2 ,当f'( x)> 0时，解得x v- 2或x > 2，函数单调递增，当f'( x)v 0时，解得-2v xv 2,函数单调递减，当x= - 2时，函数有极大值，I 3 f ( x) =：x - 4x+4的极大值点为 x=- 2,故答案为：-2.点评：此题考查了导数和函数的极值的关系，关键是判断函数的单调性，属于根底题.211. (2021春？玉田县期中) 2i - 3是关于x的方程2x+px+q=0 (其中p, q R的一个根

13、，那么p+q= 38.考点：实系数多项式虚根成对定理.专题：数系的扩充和复数.分析：利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出.2解答： 解：t 2i - 3是关于x的方程2x +px+q=0 (其中p, q F)的一个根, - 2i - 3也是关于x的方程2x +px+q=0 (其中p, q F)的一个根. 2i - 3+ (- 2i - 3) =-£, (2i - 3) (- 2i - 3)=.解得 p=12, q=26. p+q=38.故答案为：38.点评：此题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于根底题.、. 3212. (2021?清城区一模)函数 y=2x -

14、 3x - 12x+5在0 , 3上的最小值是 -15 考点：利用导数求闭区间上函数的最值. 专题：计算题；导数的综合应用.2分析：先求导y' =6x - 6x - 12=6 (x- 2) (x+1),从而判断函数的单调性，再求最小值即 可.2解答： 解：y' =6x - 6x- 12=6 (x- 2) (x+1),那么y=2x3- 3x2- 12x+5在0 , 2上单调递减，在2 , 3上单调递增，*y min=2X 8 3X 4 12X 2+5= _ 15.故答案为：-15.点评：此题考查了导数的应用，属于根底题.213. (2021春？校级期中)抛物线y =2x上的点与A

15、 (0, 6)距离最近的点的坐标为(2, 2)；不等式3ax - 2lnx >0对任意x >0恒成立，那么实数 a的取值围是二,+)3e考点：抛物线的简单性质.专题：函数的性质与应用；不等式的解法与应用；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设抛物线上一点 P (丄y2, y),运用两点的距离公式，再求导数，求得单调区间，2即可得到最小值点；运用参数别离，可得：a>(山)ma，令y=h人，求出导数，求得单调区间和最大值，即 可得到a的围.解答：解：设抛物线上一点 P Jy2, y)，2 "I 42令 t=|PA| =、+(y-6)，43由于 t ' =y +2y

16、- 12，3方程y +2y- 12=0的解为y=2，当 y>2 时，t '> 0，当 yv 2 时，t '< 0，即有y=2取得极小值，且为最小值.那么有所求点P (2，2)；不等式3ax - 2lnx >0对任意x > 0恒成立，即为:a>( ) max当 x>e 时，y '< 0，当 0< x< e 时，y '> 0， 即有x=e处函数y取得极大值，且为最大值 1,e即有，解得a?_l.2 e3e故答案为：(2, 2), 2, +R).3e点评：此题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：

17、求最值，运用参数别离和不等 式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题.14. (2021秋？期末)函数f (x) =x (x - c) 2在x=2处有极大值，那么 c= 6 .考点：函数在某点取得极值的条件.专题：导数的概念与应用. 2分析：由函数f (x) =x ( x- c)在x=2处有极大值，那么必有 f '( 2) =0,且在x=2 的左侧附近f '( x)> 0,右侧附近f '( x)v 0,据此即可求出c的值.2 2 2 解答： 解：T f'( x) = (x- c) +2x (x - c) =3x - 4cx+c，且函数 f (x) =

18、x (x - c) 在x=2处有极大值，2 f '( 2) =0,即 c - 8c+12=0，解得 c=6 或 2.经检验c=2时，函数f ( x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去.故 c=6.故答案为6.点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键.15. (2021春？校级期中)给出以下四个命题：(1) 对于任意的 n>4, n Z, 2n>n2(2) 对于任意实数_a, b,总有2 (a2+b2)>( a+b) 2(3) + v 2 T(4) 平面的4条直线，最多将平面分割成11局部.这四个命题中，真命题的序号为(1)、( 2)、(3)、(4)

19、考点：命题的真假判断与应用.专题：综合题；函数的性质与应用；不等式的解法与应用；空间位置关系与距离. 分析： (1) n>4,且n Z时，2n> n2恒成立；(2) 由根本不等式得出a2+b2>2ab,从而得2 (a2+b2)>( a+b) 2成立；(3) 用分析法证明+ I v 2 ! 成立；(4 )画图表示平面的4条直线，最多将平面分割成11局部.解答：解：对于(1),任意的n>4, nZ,都有2n>n2,命题(1)正确；2 2对于(2),任意实数a, b,总有a+b >2ab,22229 2 ( a +b )>a +b +2 ab= (a+

20、b),命题(2)正确；对于(3),假设需+J?v2VE 贝U 3+7+刃 3 X T v (奶)S 即.二 v 5 , 21v 25,命题(3)成立；对于(4),平面的4条直线，最多将平面分割成11局部，如下列图;命题(4)正确.综上，以上正确的命题是(1)、(2)、( 3)、(4).故答案为：(1)、( 2)、(3)、(4).点评：此题考查了指数函数与幕函数的应用问题，也考查了根本不等式的应用问题，考查了不等式的证明与应用问题，考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目.16. (2021春？校级期中)在区间0, 1上给定曲线 y=X，如下列图，0v t v 1, Si,在是t 的函数，那么

21、函数g (t) =3+S的单调递增区间为 1).考点：定积分在求面积中的应用. 专题：分析：解答:导数的综合应用.首先利用定积分分别求出 Si, S2，得到函数g (t ),然后分析其单调性. 解：由题意dx=(t2x-3=十.-.<=(一 '.)33所以 g (t) =Si +=4t2- 2t=2t (2t - 1),令 g' (t )> 0 解得 t >；或 t v 0，又 0v t v 1,所以函数g (t) =S+S的单调递增区间为(；,1);故答案为：(g, 1).属于经常点评：此题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以与利用导数求函数的单调区间; 考查

22、的题型.三、解答题：本大题共 4小题，共36分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (2021春？校级期中)求证：对于任意的 x R, ex> 1+x ( e为自然对数的底数)考点：导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：证明题；导数的综合应用.分析：构造函数f (x) =ex -( 1+x),从而求导f'( x) =ex - 1，从而判断函数的单调性即 最值，即可证明.x解答： 证明：令f (x) =e -( 1+x),那么 f'( x) =ex - 1,故f (x)在(-a, 0) 上是减函数，在(0, +8)上是增函数；故 f (x )> f ( 0

23、) =1-( 1+0) =0;故 e -(1+x) > 0,即对于任意的x R, ex > 1+x.点评：此题考查了导数的综合应用与函数的性质与不等式的关系应用，属于中档题.18. (2021 春？校级期中)n 为正整数，求证：1? (n+1) +2? n+3? (n- 1) + + ( n+1) ?仁2( n+1) (n+2) (n=3)6考点：数学归纳法.专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法.分析：根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可.解答：证明：设 f (n) =1? (n+1) +2? n

24、+3? (n- 1) + + ( n +1) ? 1.(1 )当n=1时，左边=4,右边=4,等式成立；(2)设当 n=k 时等式成立，即 1? (k+1) +2? k+3? (k- 1) + + (k+2) ? 2+ (k+1) ? 1 6(k+1) (k+2) (k+3),那么当n=k+1时，f (k+1) =f (k) +1+2+3+- +k+ ( k+1) + ( k+2)(k+1) (k+2) (k+3) 丄(k+2) ( k+2+1)丄(k+2) (k+3) (k+4)，即n=k+1时等式也成立；由(1) (2)可知当n N*时等式都成立.点评：此题考查数学归纳法的证明，需要牢记数

25、学归纳法证明的步骤，特别要注意从 k+1等式的形式的变化、区别.19. (2021春？校级期中)用总长 29.6米的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制容 器底面一边的长比另一边的长多 1米，那么高为多少时容器的容积最大？最大的容积是多 少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根本不等式在最值问题中的应用. 专题：导数的综合应用.分析：先设容器底面短边长为 xm利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数 研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可.解答：解：设容器底面短边长为xm,那么另一边长为(x+1) m,=6.4 - 2x.高为：由6.429.6-4x-4 (z+1)4-2x&g

26、t;0 和 x>0,得 0vxv 3.2 ,设容器的容积为 yn?,那么有 y=x (x+1) (6.4 - 2x) (0v xv 3.2 )32整理，得 y= - 2x +4.4x +6.4x ,. 2/ y =- 6x +8.8x+6.42 2令 y' =0,有-6x +8.8x+6.4=0，即 15x - 22x - 16=0,解得xi=2, X2=-±i (不合题意，舍去).5从而，在定义域(0, 3.2 )只有在x=2处使y =0.由题意，假设x过小(接近0)或过大(接近3.2 )时，y值很小(接近0),因此，当x=2时y取得最大值，y最大值=-2X 8+4.

27、4 X 4+6.4 X 2=14.4，这时，高为 6.4 -2X 2=2.4 .答：容器的高为2m时容积最大，最大容积为14.4m3.点评：此题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、 解方程、不等式、最大值等根底知识. 220. (2021 春？校级期中)函数 f (x) =ln (x+1) +ax - 2x+1;(1) 求函数曲线在x=0处的切线方程；(2) 函数f (x)不单调，求参数 a的围；(3) 曲线C: y=f (x)与(1)中的切线只有一个公共点，数a的取值围.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题：导数的综合应用.

28、分析：(1 )根据导数的几何意义求出函数f ( x)在x=0处的导数，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；(2 )求出函数f (x)的定义域，化简 f '( x)的表达式，将条件转化为：f '( 0) =0有 解，对讨论a与0的关系，根据导数与函数的单调性，以与二次函数的图象与性质，分别列 出不等式组，求出 a的取值围；(2)将条件转化为：方程 ax - 2x+1+ln (x+1) = - x+1即ax - x+In (x+1) =0有且只有一 2T个实数解.令h (x) =ax - x+ln (x+1),求出h' (x),然后讨论a与0、勺的大小，

29、利用导 数研究函数的单调性，利用函数的单调性与特殊的函数值，分别求出满足使方程h (x) =0有一解x=0的a的取值围即可.解答： 解：(1)由题意得，F (幻二土卄2眾一 2,且f (0) =1,所以曲线在x=0处的切线斜率 k=f'( 0) = - 1,那么曲线在x=0处的切线方程是 y-仁-x,即x+y -仁0;(2)函数f (x)的定义域是(-1 , +8),且因为函数f (x)不单调，所以f '( 0) =0有解,2即 2ax + (2a - 2) x- 1=0在(-1, +8)上有解,当a=0时，方程为-2x -仁0,得>-1,成立,当a0时，函数y=2ax2+ (2a- 2) x - 1的对称轴x= - I吕,a所以rQ>oCa-1 ) 2-F8a>0*0£ ( - n -2-(2a-2) -l>0解得a> 0或av 0, 综上可得，参数 a的围是R;(3)由(1)得，切线与曲线 y=f (x)有且只有一个公共点等价于2 2方程 ax - 2x+1+ In (x+1) = - x+1 即 ax - x+ln (x+1) =0 有且只有一个实数解.2令 h (