奇妙的再植数

1、奇妙的再植数在自然数里 , 会有好多巧妙的数字规律，让人感到奇异 有趣.如 142857 X 4=571428, 76923 X 3=230769, 式子中呈现 了这 样一种规律 : 一个数的倍数仍然是这个数字的循环排列 我们从中欣 赏到一种秩序对称的美妙。如果给这类数下一个 定义 ，即就是一个 自然数 A 乘以一个自然数 K 其积是 A 的各 位数字的循环排列，那 么称 A 是关于 K 的再植数。再植数的 概念早在 80 年代的一本?数 学通讯?月刊中就被提了出来。 现在, 我们要对再植数的范围、 性质, 作进一步的探讨 , 目 的是希望大家对这类趣味数学有一个系统的了 解。怎样的一个数会成

2、为我们探讨的再植数 , 这是我们首先关心 的问题 , 由于再植数乘以一个数会成为这个数字的循环数 , 因此再植数与循 环小数有着密切关系。我们知道： , 我 们看到 , 分别乘以 2, 3, 4, 5, 6 以后获得的数的组成同完 全一样 , 只是次序有了变化。如果 我们把 142857 写在圆周 上, 我们看到 ( =1, 2, 3, 4, 5, 6)恰好 是 142857 的循环 变化。 但不是所有的循环小数的循环节都是我们找的再植数 , 如 , 123 并不是再植数。为此我们考察一些质数的倒数：，。(=1 , 3, 4, 9, 10， 12) 是的循环变化， (=2， 5， 6， 7，

3、8， 11)是 153846 的循环 变化。而 (=1, 2, 17)是0588235294117647 的循环变化。 从中可见，循环小数的循环节长度与再植数密切相关。的循 环节为 1，为 6，为 2，为 6 ，为 16。 当一个质数的倒数的循 环节大于 2 时，其循环节与再值数相关 . 由 以上探讨，我们可以得到以下再植数，(1) 142857 X k, ( k=1 , 2, 3, 4, 5, 6);(2) 153846 X k, (k=1 , 3, 4);(3) 076923 X k,(k=1,3,4,9,10,12) ;058823529411764 7 X k,(k=1,2,3,16)

4、；X k,(k=1,2,3,4,18);0434782608695652173913 X k,(k=1 , 2, 322);X k,(k=1,2,3, 28)( 8) 32258064516129 X k,(k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28);96774193548387 Xk,(k=2,3,4,5,7,8,9,10)(9) 027Xk,(k=1,10,26);(10) 02439Xk,(k=10,16,18,37);04878Xk,(k=10,16,18);07317 X10。这些再植数,是我们考察 7 至 41 内的 10 个字数的倒数得到 的,如

5、 果继续探讨下去 , 可发现再植数有无穷多个。 再植数有许多奇妙的性质：1、与 9 的联系：142857 X 7=999999, 142+857=999 , 14+28+57=99 ， 1+4+2+8+5+7=27 ，而 2+7=9 。这种特点对于 142857 的倍数也成 立，例如 142857 X 285=40714245, 245+714+40=999 。2、 待合再值数，把再值数142857 X7 以上的数字时，也会出现一些有趣的现象。例如， 8X 142857=1142856 首尾相 加后得142857, 9X 142857=1285713 首尾相加后得 285714,13X 142

6、857=1857141, 首尾相加后得857142 。14X 142857=2021998 ， 首尾相加后得 999999 。我们把上述现 象 称为待合再植数，待合再植数可归纳如下：结论 1: 对于自然数 m 假设 详 i ( mod?) i=1,2,3,4,5,6 。那 么 mX 142857 的积的首几位数取下来加到末尾的几个位数上 去。结果为 142857 X i 。证明：因 m9(mod7),贝 U m=7k+i,142857 Xm=142857 X(7k+i), =(142857 X 7)k+142857 Xi =999999k+142857 Xi=kX +142857 Xi-k显然

7、式中结果的首几位数为k，末几位数为142857i个位数减去k，将首位数k取下来加到末尾的几位上去，结果为142857i。结论 1 中，当 k> 10 时，例如 71 X 142857=10142847 ；我们首两位数取下来加在末两位数时，有 142847+10=142857 ，可称为两位待合再植数，当 k> 100 时，如702 X 142857=100285614 首三位加末三位后得 285714 。可称为三位待合再植数。当k时，称为n+1位待合再植数。当 n+1=6 时，我们举以下例子：700001 X 1 42857=999999 1 42857999999+ 1 42857

8、= 1 1 4285761428576+ 仁 142857 。显然，在 n+1 ?6 时，我们需要通过首 尾两 次以上的相合才能复原成再值数。3、再值数的平方数。我们来考察以下再植数的平方数。 1428572=20408122449, 但 20408+122449=142857 。 5714282=326529959184但 326529+959184=1285713285713+1=285714 ， 但 183673+10204 仁 285714 , 8571422=734692408164有 734692+408164=1142856但 142856+1=142857 。可见再植数的平方数

9、，表现出一种很奇妙的特征，前 6 位与 后 6 位 的和，又可以重新变成了再植数。 现在我们索性来考察一下再植数的立方和四次幂， ；2915+443148+696793=1142856 ； 而 142856+1=142857 ；1428574=416491461 ， 893377 ， 575601 ，而 416+491461+893377+575601=2142855 ，而 142855+2=142857 ，位相加，最后结果可得再植数。4、再植数与数列，数列1,3,9,27,81,243,729,2187,是公比为3的等比数列，下面我们进行一种限位叠加法，表 示如下：1 X 105+3X 104+9 X 103+27 X 102+81 X 101+243 X 100+729X10- 1+2187 X 10 - 2+6561 X 10 -3+19683 X 10 - 4+59049X 10 -5+ 177147 X 10-6+ ，其结果的整数局部是142857 ，我们称这种运算为限位叠加法。我们还可用等差数列14, 28, 56, 112,224，限两位叠加，也可获得再植数142857。以上性质对于其它一些再植数事来说大体上也都是成立的，成立的条件是再植数是一个质数的倒数 , 且的循环节的长度 h 到达最大值 , 这个最大周期为 p-1 ,