第2章第二章习题答案

1、2.2 函数的极限习题 2.21.根据函数极限的定义证明：（1） lim(3x -1) = 8x3x - 3 e ，所以取 d = e ，则(3x -1) - 8= 3 x - 3 0 ， 要使33x - 3 d 时，恒有 (3x -1) - 8 e ，所以lim(3x -1) = 8 。0 x3x2 - 4= -4（2） limx + 2x-2- (-2) 0 ，要使 x -2 时， ，只需取 d = e ，则x2 - 4 -x2 - 4x - (-2) d 时，恒有( 4) e ，所以 lim0 0 ，不妨设 e 1 ，要使 sin x - sin a e ，只需22 e2 2 arcsi

2、n e ，所以取d = 2 arcsin e ，则0 sin x - ax - ax - a d 时，恒有，即222 0 ， 不妨设 e 1 ，要使 cos x - cos a e，只需22 e2 2 arcsin e ，所以取d = 2 arcsin e ，则0 sin x - ax - ax - a d 时，恒有，即222 e ，所以lim cos x = cos a 。cos x - cos axa（5） lim 3 x = 3 axax 0 ，要使x - 0= 33x0 e 3 ，所以取d = e 3 ，则0 x - 0 d 时，恒有 x - 0 e ，所以lim 3 x = 0 。3

3、xx0情 形2 ： 设 a 0x - a 0， 此 时 要a， 当时使x - a e 3 a2e。 所 以x - 3 a=x - a3，只 需取+ 3xa + 3 a23 x23 a2d = mina , 3 a2e，则0 d 时，恒有 0。 e 0， 要 使 0 x -1 1x -1 1 时证 明 ： 当时，-1x -1 2e 。取d = min 1, 2e ，则 e ，只需x +11222x -1 - 1x -1= 1 。2x -1 d 时，恒有 e ，所以lim0 11证明： e 0 ，要使 e ，只需，所以取 X =，则x3e3 e1+ x3 - 11+ x31 X 时，恒有=。x当3

4、2x22x23xsin x= 0（2） limx+xsin x - 0 1 ，所以取 X =，则当11证明： e 0 ，要使=ee 2xxsin x - 0 X 时，恒有xx+xsin x2x +1x - a4.用单侧极限定义证明下列各式：x2 - 4= 0（1） limx2 - 4x2+证明：当0 x - 2 0 ，取d = 1 ，则0 x - 2 d时，恒x2 - 4x2 - 4- 0=0 - 0= 0 0)（2） lim xax0+11证明：当 x 0 时，e 0 ，要使xa - 0= xa e ，只需 x e a ，取d = e a ，则0 x - 0 dxa- 0 e，所以 lim

5、xa = 0 。时，恒有x0+1, x 0, x -1) = x, 0 x 1.答：因为 f (0- ) = lim1= -1 0 = lim x = f (0+ ) ,所以f ( x) 在 x = 0 处极限不存在。x -1x0-x0+因为 f (1- ) = lim x = 1 = lim1 = f (1+ ) ，所以f ( x) 在 x = 1 处极限存在。x1-x1+16证明：极限 lim cos不存在。xx0+12np1xn1= lim cos 2np = 1证 明 ： 令 x =；令=，则 lim cosxn，则 2np + pnnn2p11lim cos= lim cos 2np

6、 += 0。所以 lim cos不存在。2 xnxnnx0+7.证明 lim x 1 = 1. x x0+证明：1 1 1 ，所以 x 0 时， - 1，1取d = e ， x xx 1 -1 e ，所以 lim x 1 = 1.当0 x 0, 要使 e ，只需取d = e ，则当0 x - 0 d 时，就有 0 ，使得当 x X1 时，f ( x) - A 0, 由 limx+f ( x) = Af ( x) - A 0，使得当 x - X 2 时， lim。取 x-2 ，则f ( x) - A X 时，恒有xxf ( x) 当 x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、10根据函数极限的

7、定义证明：函数右极限各自存在并且相等。证明： 必要性： 由 limx x0f ( x) = A 知， e 0,$d 0 ，当 0 d 时， 有x - x0f ( x) - A ef ( x) - A e，所以当 0 x - x0 d 和-d x - x0 0,$d1 0 ，当 0 x - x0 d1 时， 有f ( x) - A e 。取d = mind1,d2 ，充分性： 若 limx0+x0-f ( x) - A 0 ，当-d2 x - x0 0 时，有f ( x) - A e ，所以lim f ( x) = A 。则当0 x - x0 0 ，使得函数 Xx范围内证明：设lim f ( x) = A ，则对于e = 1 来说，存在 Xf ( x) - A 0, 当 X 时，xxf ( x) XA ，所以函数x时，范围内是有界的。f ( x) = A, 且lim xn = + ，证明lim f ( xn ) =