李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)

1、线性代数冲刺笔记1201【例题1】B=03a，A 2AB = E，r( AB- 2BA+ 3A)=()005(A) 1(B) 2(C)3(D)与a有关【解】/ A(A 2B)=EA可逆，且A1 = A 2B1 1= A(A 2B)= ( A 2B) A ( A A = A A)=AB = BA那么，AB 2BA+ 3A = 3A AB = A(3 E B)又，A可逆，知r( AB- 2BA+ 3A) = r( A(3 E B)= r(3 E B)-a有|3E B| = 0,又3E B有二阶子式不得零，从而 r(3 E B) = 2.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法设矩阵A n阶，B

2、n阶，若AB = BA = E，则称矩阵A可逆，且B为A的逆矩阵由此有A A 1= A1 A.【例题2】Amxn， n 1， n 2，n t是Ax = 0的基础解系，a是Ax = b的一个解.证明 a ， a+n 1， a+n 2，a + n t线性无关.(II)证明Ax = b的任意一个解都可以由a ， a+n 1， a + n 2，a + n t线性表出.【分析】n 1， n 2，n t是Ax= 0的基础解系，那么 n 1， n 2，n t必定线性无关，从而证明a ， a + n 1， a + n 2nt线性无关可以用定义法。【证】(I)(用定义，重组，同乘)设 k oa + k1 ( a

3、 + n 1) + k2( a+n 2) + +kT a+n t) =0(1)即 (ko + k1 + k2+ ki) a + k1 n 1 + k2 n 2+ + kT n t = 0(2)由 Aa = b，A n i = 0 (i = 1，t)，用 A 左乘(2 )，有(k0 + + k?+ kt) Aa + kAn 1 + k?An 2+ ktAn t = 0即(k 0 + k + k? + kt )b = 0又 b工 0，有 ko+ k1+ k2+ kT= 0(3)带入(2)有 k 1 n 1+ k2 n 2+ kt n t = 0，而n 1， n 2，n t是Ax= 0的基础解系，那

4、么 n 1， n 2，n t必定线性无关，从而 k1 = k2 = kt = 0,带入(3)有 ko = 0.所以k 0 = k1 =k2= kt = 0=a ， a+n 1， a+n 2，a + n t线性无关.(或用秩)n 1， n 2，n t线性无关，a是Ax=b的解= a不能由n 1， n 2，n t线性表出.= x1 n 1 + X2n 2+ xt n t = a 无解= r( n 1， n 2， n t)工 r( n 1， n 2， n t， a )r(n1， n 2，n J =t = r(n 1， n 2，n t，a )=t + 1=r(a， a+n1， a+n 2，a+n t)

5、 = t +1 =a，a+n1，a+n 2，a+nt 线性无关.(II)设卩是Ax= b的任意一个解，则卩a是Ax= 0的解. 从而卩a = 11 n 1+ 12 n 2 + +11 n t .=B= a +1 1 n1 +1 2n 2+ 11n t = (3 = (11112It) a+ 11 n 1 +12n2+Itn t即 3 可由 a， a + n 1， a + n 2， a+n t 表出.【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组 n， n，n满足：(1) An = 0 (i =1,，t),即 n 是 Ax = 0 的解.(2)

6、Ax = 0的任意一个解都可以由n, n，n表出.【例题3】Amx n, r( A) = n, a 1 , a 2,，a s是n维列向量.证明：a 1, a 2,，a s线性无关的充分必要条件是 A a 1, Aa 2,，Aa s线性无关. 【证】必要性(用定义)设 kAa 1+ k2Aa 2 + + ks A a s= 0，即 A(k 1 a 1+ k2 a 2 + ks a s) = 0.由 Amxn, r( A) = n= Ax=0 只有零解.故 k1 a 1 + k2 a 2 + ksa s= 0 ,又 a 1, a 2 , a s线性无关 = k°= k1= k2 = =

7、ks= 0.从而 Aa 1 , A a 2 ,Aa s线性无关.充分性(用秩)因为 Aa 1 , A a 2 ,Aa s = A( a 1, a 2,a s),所以r( Aa 1 , Aa 2, , Aa s) = r( A( a 1 , a 2,a s) < r( a 1, a 2,',a s)由 Aa 1,A a 2,，A a s 线性无关知 r( A a 1 , Aa 2，A a s) = s.而 r( a 1,a 2,，a s) < s，从而 r( a 1, a 2,，as) =s = -a 1, a 2，a s线性无关.【例题4】设A= a1, a 2, a 3,

8、 a 4 , Ax= 3 的通解是1 , 2 , 1, 1 T + k1 , 3 , 2 , 0T , B=a 3, a 2, a 1 ,3+a 4 , Y=a 13 a 2+ 5 a 3, a 1能否由a 2,(II) a 4能否由a 1, a 2, a 3线性表出？(III) Bx = y求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构a 3线性表出?.并且由于系数矩阵没有明确给岀,所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的【证】(I) Ax = B解的结构知r( A) = 3.0 = a 1 +3 a 2+ 2 a 3= 0 =

9、a 1能由a 2, a 3线性表出.(II) 由(I)设 X1 a 1+ X2 a 2+ X3 a 3 = a 4知 r( a 1, a 2, a 3) < 3，而 r( a 1,a 2, a 3, a 4) = 4，知方程组无解，故a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表出.(III)3 a 1 2 a 2 + a 3 a 4 =B,那么B= a 3, a 2, a 1,3 + a 4 = a 3, a 2, a 1, a 1 2 a 2+ a 3 a 4=， r( B) = 4.从而n-r( B) = 2._ 21-2-/ 10因为a 3, a 2, a i, a i 2 a 2

10、 + a 3 a 45 1-3由知 a 1 + 3 a 2+ 2 a 3= 0，从而a 3, a 2, a 1, a 1 2 a 2 + a 3 a 4o,用观察法，取另一个向量使得它与2 , 3, 1, 0所以5 , - 3 , 1, 0 T是Bx= y的一个解-3-/ 10-#-/ 10线性无关，即-n-2 、a 3, a 2, a 1, a 1 2 a 2 +a 3 a 4= 0,所以 Bx= y 的通解是1-#-/ 10-#-/ 105 , 3 , 1, 0T + k12 , 3 , 1, 0 T + k2 1 , 2 , 1, 1 T，其中匕，k2为任意常数.【评注】本题考查了方程组

11、解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量【例题 5】A = a 1, a 2, a 3 , a 11工0满足AB= 0.其中B=231,求a 1, a 2, a 3的一个极大线性无关组，并用它表出其他向量.【分析】从AB= 0要得想到两方面的信息：(I) r( A) + r( B) < n (II)的列向量均是Ax= 0的解.【解】由 AB= 0=r(A) + r( B)< 3.因为 A工 0 , B工 0 知 1 <r( A) < 2 ,

12、K r( A) < 2 当k工9时,r( B) = 2,从而r( A) = 1,此时极大无关组为a 1.由AB= 0得:、2:23:3 =04 26： 3 二 0= (k 9) a 3= 06 2 k： 3 =0k工9,故 k= 9 时， r( A) = 1 ,a 3= 0 , a 3 = 0 a 1.r( B) = 1,从而 r( A) = 1 或 2.则极大无关组为 a 1 ,a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 a 4= 0= 2 二 t& ,r( A) = 2,则极大无关组为a 1, a 2 ( a11 2t ： 132必定线性无关，否则 r( A) = 1)1 1盲1

13、亏2-4-/ 10'123 1【例题6】设A=012,r( A) = 2, _则Ax =0的通解是-1a4 ap,【分析】若A为n阶方阵，则r ( A)1,0,1r (A)二 nr ( A) = n 1，从而由 r( A) = 2 知 r( A*) =1，又 | A| = 0，得 A* A = A A* = | A| E=r (A)v n10二.A的列向量是 A*x = 0解.由解的结构知应填 kd ， T + k2 ， T的形式.【解】而由r( A) = 2知r( A) = 1,所以通解由n r( B) = 3- 1 = 2个解向量构成.又 |A| = 0,得 A A = A A*

14、= |A|E= 0= A 的列向量是 A* x = 0 解.即1 , 0, 1T , 2 , 1, a T , 3 , 2, 4 aT.又2 , 1 , a T +3 , 2 , 4 a T = 5 , 4 , 3 T，显然1 , 0 , 1 T 与5 , 4 , 3 T 线性无关，故 kf , 0 ,=0的通解,其中k1 , k2为任意常数.1 T + k25 , 4 , 3 T 是 A* x【例题 7】设 a 1, a 2, a 3 是 Ax= b 的解，r( A) = 3,若 a 1 +a 2= 1 , 2 , 3 , 4 T , a 2 + 2 a 3= 2 , 3 , 4 , 5 T

15、 ,则 Ax= b 的通解是,【解】由r( A) = 3知Ax= 0的通解由n r( B) = 4 3= 1个解向量构成.从而3( a 1 + a 2) 2( a 2 + 2 a 3)是 Ax= 0 的解，即1 , 0 ,1 , 2(a 2+ 2 a 3) ( a 1+ a 2)是 Ax= b 的解,即1 , 1 ,1 , 1从而,1 , 1 , 1 , 1T + k 1 , 0 ,1 , 2T是Ax=b的通解,其中k为任意常数【评注】由非齐次方程组和齐次方程组解的性质知：若a , a是Ax= b的解，那么a a是Ax=0的解.而若a , a分别是几个解向量的线性组合时 ，相减时用最小公倍数的

16、方 式选择系数做减法.即若a, a分别是2个和3个解向量的线性组合 (即a=n +n，a =邛+叩+ n,这里n， n， n， n， n也是Ax= b的解)时，那么3 a 2 a也是Ax=去除.因为 A( k1 n + k2 n + k3 n) = k1A n + k2A n+ k2A n= (k1 + k2 + k3) b,所以1A k1 即+ k2 n + k3 n) = bk1k2kg即1k1k2k3也可以用减法，设 叩,n ,邛是Ax= b的解，又已知 B =珞耳+ k2yp+ kr n ,1 1【例题8】设a=1 a-31-11-1只有2个线性无关的特征向量.求A的特征值与特征向量3

17、-6-/ 10【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根| 入 E A| = -1-13-1先a-1 -10-1a-111=入(入一 a)(入一 4) = 0.丸-3(1)若 a = 0,贝U 入 1 =入 2 = 0.-1-11j0-1【-101 T010 ，从而3-1-3一卫00 一对4 E A x=0,有对0 E A x = 0,有a 1 = 1 , 0 , 1丁，k1 a 1,其中k1为任意常数.3-111j-4_1 1-141T0114，从而-3-11000(2)若a = 4,则入1 =入2二=4.对0 E A x=0,有a 2= 5, 4, 11 T, k2 a 2

18、，其中 k2为任意常数.|1-1-101 j 0 -11 T 010 ，从而a 3 = 1 , 0, 1T, k3 a 3,其中k3为任意常数.-3一 卫 00 一对4 E A x = 0,有3-1_3-1 11 -4 -141 t 0114 ，从而-1 1 一 .0 0 0 一a 4= 1 , 4 ,1T,k4 a 4,其中k4为任意常数.-7-/ 10-#-/ 10【例题9】设A是3阶矩阵，且(I) 证明0是A的特征值.(II) 证明a + R , a R是A的特征向量(III) 求二次型xtAx的正负惯性指数.【证】(I) a R = R a =.2R a 丁，R a 丁是秩为1的矩阵.

19、从而 r( A) = r( a R 丁+ R a T) < r( a R T) + r( R a T) = 2< 3.即 | A| = 0=0 是 A 的特征值.(II)A( a+ R )二=(aR T+R aT)( a + R)=TT=a R a + R a a + aTTR R + R a R113/a + R ),=a +R + aR =(222又(a+ R)半0,否则a +R =0 = a =TT R ' a R = R a =1 、1工(a , R是3维单位列向量)23 从而a + R是A的属于特征值的特征向量.211同样有A a R ) = ( a R )，且(

20、a R )工0，从而a R是A的属于特征值一的特征向量22(III) 由(I)、(II) 知A的特征值是:3_ 2O1 ，又At= A (否则A不是二次型的矩阵) = p= 1, q = 12-#-/ 10【例题10】设A是3阶矩阵，a 1, a2,a 3是3维线性无关的列向量，a 1是Ax= 0的解，Aa 2= a 1 + 2 a 2, A a3=a 1 3 a 2+ 2 a 3.(I) 求A的特征值，特征向量.(II) 判断A是否和A相似？【分析】由Aa 2= a1+ 2 a 2,Aa 3= a 1 3 a 2+ 2 a3,1 是 Ax= 0 的解，得到 A a 1 , a 2, a 30

21、, a 1 + 2 a 2,1 3 a 2+ 2 a 3=a 1, a 2, a 3001 13.记2B=001-3，若2a 1, a 2,a 3可逆，则必有A= a 1, a 2,3 B a 1, a 2,卫1 a 3，现在冋题是a 1, a 2,和B相似.所以求A的特征值和特征向量就转为求了 p飞，就可以求出Z .而问A是否和A相似，由于已经求出了 A的特征值，特征向量，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断 的传递性，a 3可不可逆呢？题目中又给出了a 1,B的特征值与特征向量a 2, a 3线性无关，故三阶矩阵a 1, a 2, a .记A的特征向量为Z，则B的特征向量为3必可逆，所

22、以A1P Z ，所以知道.也可以根据相似【解】因为 a 1,由于上一步中已经得到了 A和B相似，故若有B和A相似，则有A是否和AA a 1, a 2, a 3 = 0 , a 1 + 2 a 2 ,a 2, a 3线性无关，故a 1, a 2 , a0相似.a 1一 3 a 2+ 2 a 3 = a 1, a 2, a 33可逆，从而1a 1, a 2， a 3 A a 1 , a 2， a 3 = B=由B的特征值为0, 2, 2 (B为上三角矩阵,2.0°-3 ，即A和B相似.2或者用定义，由|入E B|=入(入一2)2由已知，k1 a 1是A的属于特征值0的特征向量，其中k1为

23、不等于零的任意常数.对于B的属于特征值2的特征向量，有Z1 = 1，2,0=a 1 , a 2, a 30=入=0, 2, 2.)知A的特征值为0, 2,2 = a 1+ 2 a 2，二 k2 a 1 + 2 a 2是 A 的属于特0j征值2的特征向量，其中k2为不等于零的任意常数.(II) 由(I)知A只有2个线性无关的特征向量，故A不和【评注】这是特征值与特征向量的另一种考法,由 A a= a + 2 a, Aa= a 3 a + 2 a要想到相似的信息这里缺少A a,如果有A a的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以得到相似的信息，而这里题目中又给出了a是Ax = 0的解，所以可以做分

24、块矩阵的乘法,有 A a, a, a0a+ 2 a, a 一 3 a+ 2 a = a, a,a1200一 1a,现在冋题是ai, a,若a1,游,a可逆，贝U必有A = a ,游,a B a, a,a可不可逆呢？题目中又给出了a, a,a线性无关，故-9-/ 102【例题 11】设 A + 2A= 0, r(A) = r.证明A和A相似.(II)求 |A+ 3E|.【分析】由入2+ 2入=入=0, 2.即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析 【证】(I)(用秩)r( A) = r =. A= a 1, a 2，a n中有r个向量线性无关.2由 A = 2A= A a 1， a

25、r个线性无关的特征向量.由r( A) = r知卩1，卩2，旦量.1，a 2,，a n是A的属于特征值一2的特征向量 一2有i = 1, 2,n r) =特征值0有n r个线性无关的特征向(II)由(I)知|A+ 3E| = 3 nr【评注】若矩阵A满足f( A) , f( A)为A的多项式，那么A的特征值由f( I给出，但是各有一0【例题12】已知A是3阶矩阵，各行元素之和为2,且AB= 0，其中B=11【解】因为A各行元素之和为2,所以，若卩=2 , 3, 4T,求 A B .1 = 2 1UJ L1J2是A的特征值,111是对应的特征向量，记 a 1=1jJJ J0a 2 =1-1J1a

26、3= 12 J设 X1 a 1 + X2a 2 + X3 a 3=3 ._10 1 2*101 1 21111-1 j 3T1-211'1-12 ! 4-1 ! 3处理3 4个3维向量必相关X1 = 5, X2= 5, X3= 3,1112,1-11-/ 10=3 = 5 a 1 5 a 2 3 a 3' A 3 = 5A a 1 5A a 2 3Aa 3= 10 a 1"5 2n5 2nnn 1八 _ 八 n 1、n 1_ j= A 3= A A= 10 A a 1= 10 入 1 a 1= 5 2 a 1 =k -22-4X2-4X2-4由|入E B| =-1九+

27、1-2=扎九+1-2=0& 一 120000扎00丸入 2（入1） = 0【例题13】已知A=31_2-2410, B=0-1a 相似,01求可逆矩阵P使P AP= B.【解】因为A和B相似,所以r( A) = r( B) = a = 2.K -1-2-3又|入E A|-1） = 0-入=0,0, 1.对入=0,有0 EA x = 0,-1-2-30T a1 = 2 , 1, 0T ,a 2= 3 ,0,1T.对入=1 有E A x = 0 ,0 -21-31T a 3= 1 , 0 , 0.0令 F1 = a1,a 2 , a 3，有 F1AF1=入=0 , 0 , 1. 对入=0,

28、有0 EA1112,1-12-/ 101112,1-#-/ 10-22-4 1-11_2J00 一入=1,有E A-12-4 1-12_2:.001 一P2=3 1 ,3 2 ,x对令0,-1°3 3，有1 1由 P 1AP1 = P 2BB二-2则 P= P1 P 12-14P 12BF2 =P2P-31 11AP1 F 200L01 =1 ,1, 0T,2,0,1T.3 3 = 2 , 1 , 0T.B，记 P= P1 P-13.02 为所求.11112,1-13-/ 10T222【例题14】已知a = 1，k，- 2T是二次型x Ax= axi + ax2 + kx3 - 2

29、X1X3 2 *沁矩阵A的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型, 并写岀所用的坐标变换.【解】二次型的矩阵为'aA=一1-1k设Aa =入a，有广1-1-1 1-1k上-21k -L_ 2 _la 2 ='1(1)ak 2 =二 1 k(2)- 1 - 3k 二2 1(3)-14-/ 10k(1) - (2) = 2k - 2= 0- k= 1，带入有入 1 = 2,带入(1)有 a= 0.由|入E- A|入(入一2)(入 + 1) = 0=入=0，2，1.0，有0 E-A x = 0，-111 a 2= 1， 1，0T.-#-/ 10-#-/ 101 有-E- A0 -1 1T0 -1 1T0 1 -1J 1-2_i0 1 1 _i i0 0 0 一0因为正定矩阵不同特征值的特征向量已正交,故只需单位化，得T a 3= 1 ，1T.1v62 一12= 21-1.0那么，令_xjX2 =/3 j61 62 6yJ右 丁人T22y2，有 x Ax= y 人 y = 2yi - Y3 .一-#-/ 10-#-/ 10【例题15】已知n阶矩阵A, B均正定.证明：AB正定的充分必要条件是 AB可交换，即AB= BA【分析】设n阶矩阵A为正定矩阵，隐含着潜台词：A是对称的，所以必要性由此推得。正定矩阵是由